關(guān)廣豐，王海濤，熊 偉

(大連海事大學(xué) 機(jī)械工程系，大連 116026)

振動(dòng)模擬實(shí)驗(yàn)的目的在于考核設(shè)備或試件在振動(dòng)環(huán)境下保持其原有性能的能力，為試件的性能測(cè)試和技術(shù)改進(jìn)提供實(shí)驗(yàn)依據(jù)。試件在工作環(huán)境中經(jīng)受的振動(dòng)形式大多為隨機(jī)振動(dòng)，振動(dòng)信號(hào)的頻率不局限在確定的頻率點(diǎn)上，其特征經(jīng)常用功率譜密度等統(tǒng)計(jì)特性描述［1］。隨機(jī)振動(dòng)功率譜再現(xiàn)實(shí)驗(yàn)的目的，就是在實(shí)驗(yàn)臺(tái)上高精度再現(xiàn)實(shí)測(cè)的功率譜密度信號(hào)(即參考譜信號(hào))，研究試件的結(jié)構(gòu)可靠性和操縱可靠性［2］。

液壓振動(dòng)模擬系統(tǒng)負(fù)載能力大，易實(shí)現(xiàn)低頻大位移、大推力的振動(dòng)激勵(lì)，常用于大型工程結(jié)構(gòu)或試件的模型及實(shí)物的振動(dòng)模擬試驗(yàn)［3，4］。但受系統(tǒng)頻寬的限制及液壓系統(tǒng)非線(xiàn)性因素的影響(如油溫變化等)，僅采用伺服控制很難滿(mǎn)足隨機(jī)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)的精度要求。為了提高控制精度，更準(zhǔn)確地再現(xiàn)參考譜信號(hào)，需要通過(guò)振動(dòng)控制對(duì)驅(qū)動(dòng)信號(hào)進(jìn)行迭代補(bǔ)償，減小響應(yīng)信號(hào)的功率譜密度與參考譜信號(hào)的差別，形成一種真正意義上的振動(dòng)閉環(huán)控制［5］。

傳統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)控制算法大多基于頻響函數(shù)的離線(xiàn)辨識(shí)結(jié)果對(duì)驅(qū)動(dòng)譜進(jìn)行修正，再通過(guò)頻域隨機(jī)化和時(shí)域隨機(jī)化方法將功率譜信號(hào)轉(zhuǎn)換為時(shí)域信號(hào)，驅(qū)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)［6，7］。時(shí)域隨機(jī)化后生成信號(hào)的頻譜存在泄漏現(xiàn)象，在頻率分辨率之間可能產(chǎn)生欠試驗(yàn)或過(guò)試驗(yàn)，影響系統(tǒng)的控制精度。而且，由于傳統(tǒng)控制算法為離線(xiàn)迭代算法，當(dāng)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中系統(tǒng)特性發(fā)生變化時(shí)，很難保證實(shí)驗(yàn)的控制精度。

基于自適應(yīng)濾波理論辨識(shí)系統(tǒng)的阻抗特性，并依據(jù)實(shí)時(shí)辨識(shí)結(jié)果修正驅(qū)動(dòng)信號(hào)，將有利于提高隨機(jī)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)的控制精度。Karshenas等［8］基于快速塊LMS自適應(yīng)濾波算法，應(yīng)用自適應(yīng)逆控制技術(shù)實(shí)現(xiàn)了沖擊波形的高精度再現(xiàn)。Groud等［9］應(yīng)用LMS自適應(yīng)濾波器設(shè)計(jì)了電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)隨機(jī)振動(dòng)控制器，并通過(guò)仿真驗(yàn)證了算法的有效性。

LMS算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，但收斂速度慢?；谶f歸最小二乘估計(jì)的RLS算法可以將自適應(yīng)濾波算法的收斂速度提高一個(gè)數(shù)量級(jí)。進(jìn)一步研究表明，RLS算法實(shí)際上只是Kalman濾波算法在無(wú)激勵(lì)線(xiàn)性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型假設(shè)條件下的一種簡(jiǎn)化，基于線(xiàn)性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的Kalman濾波算法更適合于進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)［10］。因此，研究基于Kalman濾波的隨機(jī)振動(dòng)控制算法有利于進(jìn)一步提高控制算法的實(shí)時(shí)性。

本文首先提出基于濾波器設(shè)計(jì)理論的時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)生成方法，基于參考譜的信息設(shè)計(jì)FIR濾波器，通過(guò)對(duì)白噪聲信號(hào)的濾波生成時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)。然后利用Kalman濾波器辨識(shí)系統(tǒng)的阻抗特性，基于自適應(yīng)逆控制方法對(duì)激振系統(tǒng)的輸入信號(hào)進(jìn)行補(bǔ)償，使得系統(tǒng)的響應(yīng)信號(hào)能夠?qū)崟r(shí)再現(xiàn)時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)參考譜的高精度再現(xiàn)。最后通過(guò)隨機(jī)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)對(duì)算法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)生成方法

圖1所示為基于濾波器設(shè)計(jì)理論的時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)生成過(guò)程原理圖。利用參考譜設(shè)計(jì)FIR濾波器，通過(guò)對(duì)白噪聲信號(hào)的濾波生成時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)。

圖1 時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)生成方法Fig.1 Time domain drive signal generation

定義Gdd(f)為系統(tǒng)輸入信號(hào)功率譜密度估計(jì)值，Gcc(f)為系統(tǒng)響應(yīng)信號(hào)自譜密度估計(jì)值，H(f)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。由隨機(jī)過(guò)程理論可知:

式中，上角標(biāo)H表示復(fù)向量的共軛轉(zhuǎn)置。

取驅(qū)動(dòng)信號(hào)為白噪聲信號(hào)，則其功率譜密度Gdd(f)可近似看為常數(shù)。設(shè)Gdd(f)=b，式(1)可簡(jiǎn)化為:

由式(2)可得:

實(shí)驗(yàn)中，設(shè)定白噪聲輸入信號(hào)的功率譜密度為b，令參考譜信號(hào)為Gcc(f)，由式(3)計(jì)算所設(shè)計(jì)的FIR濾波器的幅頻特性。

取線(xiàn)性相位φ作為FIR濾波器的相頻特性，有:

式中，M為FIR濾波器的階數(shù)。

已知濾波器的幅頻特性和相頻特性，基于Parks-McClellan方法，通過(guò)最小化FIR濾波器頻率特性和期望頻率特性之間的最大誤差，利用Matlab信號(hào)處理工具箱中的Remez函數(shù)設(shè)計(jì)等紋波FIR濾波器［11，12］。

利用所設(shè)計(jì)的FIR濾波器對(duì)白噪聲信號(hào)進(jìn)行濾波，生成時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)。由于白噪聲信號(hào)的功率譜均勻分布在整個(gè)頻段內(nèi)，因而大大減小了濾波生成的時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)的頻譜泄漏現(xiàn)象。

2 自適應(yīng)阻抗辨識(shí)

基于單步預(yù)測(cè)的Kalman濾波算法辨識(shí)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的阻抗特性，利用自適應(yīng)逆控制技術(shù)對(duì)系統(tǒng)的輸入信號(hào)進(jìn)行修正，使得系統(tǒng)的響應(yīng)信號(hào)能夠再現(xiàn)參考信號(hào)。

2.1 Kalman濾波器

Kalman濾波器基于隨機(jī)狀態(tài)空間模型給出了線(xiàn)性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)向量的最小均方估計(jì)。取狀態(tài)向量的估計(jì)值為FIR濾波器的權(quán)值向量，圖2給出了Kalman濾波器的實(shí)現(xiàn)框圖［13］。

圖2 Kalman自適應(yīng)濾波器Fig.2 Kalman adaptive filters

圖2中u(n)和y(n)分別為濾波器的輸入和輸出信號(hào)，d(n)為期望信號(hào)，e(n)為偏差信號(hào)，w^(n)為FIR濾波器權(quán)值向量的估計(jì)值。由圖可知:

對(duì)于線(xiàn)性定常系統(tǒng)，Kalman濾波器的單步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為常值。由于穩(wěn)態(tài)時(shí)FIR濾波器的權(quán)值收斂于常數(shù)，或處于緩變狀態(tài)，因此取單步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為單位陣［14］?；跇?biāo)準(zhǔn)Kalman濾波算法可得

式中，g(n)為Kalman增益矩陣，K(n)為狀態(tài)估計(jì)誤差的相關(guān)矩陣，QM為測(cè)量噪聲的相關(guān)矩陣，Qp為過(guò)程噪聲的相關(guān)矩陣?；趀(n)和g(n)更新FIR濾波器權(quán)值向量的估計(jì)值:

式(5)～式(9)給出了基于單步預(yù)測(cè)Kalman濾波算法的FIR濾波器權(quán)值的最小均方估計(jì)遞推公式。迭代過(guò)程趨于穩(wěn)態(tài)時(shí)，F(xiàn)IR濾波器即為u(n)與d(n)之間脈沖傳遞函數(shù)的最優(yōu)估計(jì)。

2.2 阻抗辨識(shí)

激振系統(tǒng)的輸出信號(hào)往往存在噪聲。由Kalman自適應(yīng)濾波器原理可知，將系統(tǒng)輸出信號(hào)作為濾波器的輸入信號(hào)直接辨識(shí)系統(tǒng)阻抗時(shí)，無(wú)法得到阻抗特性的最優(yōu)估計(jì)。而系統(tǒng)輸出信號(hào)的噪聲不影響自適應(yīng)濾波器辨識(shí)傳遞函數(shù)的精度。因此，基于自適應(yīng)逆控制原理，首先利用自適應(yīng)濾波器辨識(shí)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，再通過(guò)辨識(shí)傳遞函數(shù)的逆得到系統(tǒng)的阻抗特性［15］。圖3給出了基于Kalman自適應(yīng)濾波器的阻抗辨識(shí)方法原理圖。

圖3 基于自適應(yīng)濾波器的阻抗辨識(shí)Fig.3 Inverse modeling based on adaptive filters

將激振系統(tǒng)的輸入信號(hào)作為Kalman濾波器1的輸入信號(hào)，系統(tǒng)的輸出信號(hào)作為濾波器1的期望信號(hào)，基于單步預(yù)測(cè)Kalman濾波算法辨識(shí)激振系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

取限帶白噪聲信號(hào)作為建模信號(hào)，基于Kalman濾波器1的辨識(shí)結(jié)果，通過(guò)復(fù)制濾波器的權(quán)值重構(gòu)濾波器1并對(duì)建模信號(hào)進(jìn)行濾波，所得輸出作為Kalman濾波器2的輸入信號(hào)。將建模信號(hào)經(jīng)參考模型之后的輸出信號(hào)作為Kalman濾波器2的期望信號(hào)，基于單步預(yù)測(cè)Kalman濾波算法辨識(shí)Kalman濾波器1的阻抗特性?？芍?，濾波器2的辨識(shí)結(jié)果為參考模型和激振系統(tǒng)級(jí)聯(lián)后的阻抗特性。

3 隨機(jī)振動(dòng)自適應(yīng)控制算法

取延遲環(huán)節(jié)z－m(m為正整數(shù))作為參考模型，圖4給出了基于6自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的隨機(jī)振動(dòng)自適應(yīng)控制算法原理圖。

圖4中“運(yùn)動(dòng)學(xué)反解”和“運(yùn)動(dòng)學(xué)正解”模塊用于在6自由度位姿信號(hào)和6路液壓缸信號(hào)之間進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換［16］。

利用參考譜的信息設(shè)計(jì)FIR濾波器，通過(guò)對(duì)白噪聲信號(hào)濾波生成時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)。將時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)作為Kalman濾波器2的建模信號(hào)，通過(guò)復(fù)制Kalman濾波器2的權(quán)值重構(gòu)濾波器2并對(duì)時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)進(jìn)行濾波修正，所得輸出作為6自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位姿輸入信號(hào)。由2.2節(jié)分析可知，平臺(tái)的位姿輸出信號(hào)將再現(xiàn)延遲后的時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)。信號(hào)的延遲不改變其功率譜密度，因而使得6自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的響應(yīng)譜能夠高精度再現(xiàn)參考譜信號(hào)。

圖4 隨機(jī)振動(dòng)自適應(yīng)控制算法Fig.4 Random vibration adaptive control

4 實(shí)驗(yàn)研究

為驗(yàn)證隨機(jī)振動(dòng)自適應(yīng)控制算法的有效性，在圖5所示6自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)Z方向上進(jìn)行兩組隨機(jī)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)。

圖5 6自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)Fig.5 6 Degree-of-freedom platform

參考譜由兩段組成，在0.1 Hz～20 Hz為平直譜，20 Hz～25 Hz為下降譜，平直譜功率譜密度為7×10－9m2/Hz。取參考譜的±3 dB作為隨機(jī)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)控制精度的容差限［17］，實(shí)驗(yàn)一中不修正時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)，將其直接作為6自由度平臺(tái)的位姿輸入信號(hào)，測(cè)量系統(tǒng)的響應(yīng)信號(hào)。實(shí)驗(yàn)二中采用圖4所示隨機(jī)振動(dòng)自適應(yīng)控制算法控制平臺(tái)運(yùn)動(dòng)。兩組實(shí)驗(yàn)中均采用Welch方法估計(jì)響應(yīng)信號(hào)的功率譜密度。

圖6給出了參考譜和白噪聲信號(hào)經(jīng)FIR濾波器濾波后所得時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)功率譜的對(duì)比圖。

由圖6可知，經(jīng)濾波生成的時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)的功率譜均在參考譜的±3 dB容差限內(nèi)，表明基于濾波器設(shè)計(jì)理論的時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)生成方法是可行的。

圖7給出了兩組隨機(jī)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)中的功率譜再現(xiàn)實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)。

圖6 參考譜與時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)功率譜Fig.6 PSD of reference signal and time domain drive signal

圖7 隨機(jī)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.7 Random vibration test results

由圖7可知，無(wú)迭代補(bǔ)償時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)譜遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出參考譜的±3 dB容差限，高頻時(shí)(20 Hz附近)響應(yīng)譜衰減甚至超過(guò)30 dB。采用隨機(jī)振動(dòng)自適應(yīng)控制算法時(shí)，響應(yīng)譜在整個(gè)頻段內(nèi)均控制在參考譜的±3 dB容差限內(nèi)，實(shí)現(xiàn)了參考譜的高精度再現(xiàn)。

5 結(jié)論

提出了一種基于自適應(yīng)濾波器的隨機(jī)振動(dòng)自適應(yīng)控制算法?；跒V波器設(shè)計(jì)理論將參考譜轉(zhuǎn)換為時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)，利用Kalman自適應(yīng)濾波器實(shí)時(shí)在線(xiàn)辨識(shí)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的阻抗特性，并對(duì)時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)進(jìn)行濾波修正，通過(guò)再現(xiàn)時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)的方法再現(xiàn)參考譜信號(hào)。隨機(jī)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明基于自適應(yīng)濾波器的隨機(jī)振動(dòng)控制算法能夠有效的拓展系統(tǒng)頻寬，實(shí)現(xiàn)參考譜信號(hào)的實(shí)時(shí)高精度再現(xiàn)。

文中參考功率譜信號(hào)的頻帶為20 Hz。隨著參考信號(hào)頻帶的提高，要求算法的運(yùn)算周期隨之減小。因此，進(jìn)一步研究提高隨機(jī)振動(dòng)自適應(yīng)控制算法收斂性及收斂速度的方法，將有利于高頻參考譜信號(hào)的高精度再現(xiàn)。另一方面，設(shè)備或試件在實(shí)際工作環(huán)境中經(jīng)受的振動(dòng)是多維的，在多個(gè)軸向上同時(shí)存在。因此基于自適應(yīng)濾波理論的多軸隨機(jī)振動(dòng)實(shí)時(shí)自適應(yīng)控制算法也是后續(xù)的研究方向之一。

［1］Edwin A S.Vibration control system［P］.United States，4989158.1991－01－29.

［2］陳章位，于慧君.振動(dòng)控制技術(shù)現(xiàn)狀與進(jìn)展［J］.振動(dòng)與沖擊，2009，28(3):73－77，86，200.

［3］韓 強(qiáng)，杜修力，劉晶波，等.多維地震作用下隔震橋梁地震反應(yīng)(I)——模型結(jié)構(gòu)振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)［J］.振動(dòng)與沖擊，2008，27(9):59－65，182－183.

［4］楊志東，叢大成，韓俊偉，等.基于擴(kuò)展型準(zhǔn)牛頓優(yōu)化算法的單軸正弦掃頻振動(dòng)控制［J］.振動(dòng)與沖擊，2008，27(3):99－103，112，182－183.

［5］Stroud R C，Hamma G A.Multiexciter and multiaxis vibration exciter control systems［J］.Sound and Vibration，1988，22(4):18－28.

［6］Smallwood D O.Random vibration testing of a single test item with a multiple input control system［C］.Proceedings of the Institute of Environmental Sciences'28th Annual Technical Meeting，USA，Dallas，TX，1982:42－49.

［7］Stroud R C，Hamma G A，Underwood M A，et al.A review of multiaxis/multiexciter vibration technology［J］.Sound and Vibration，1996，30(4):20－27.

［8］Karshenas A M，Dunnigan M W，Williams B W.Adaptive inverse control algorithm for shock testing［J］.IEEE Proc-Control Theory and Applications.2000，147(3):267 －276.

［9］Groud D R，Gupta H O，Agarwal P.Design of random vibration controller using adaptive filtering［J］.International Journal of Recent Trends in Engineering，2009，2(5):75－79.

［10］Sayed A H，Kailath T.A state-space approach to adaptive RLS filtering［J］.IEEE Signal Processing Magazine.1994:18－60.

［11］The MathWorks，Inc.Filter design toolbox:designing advanced filters:optimal filter design solutions.Matlab Help Document［CP/CD］.US，MA:The Math Words，Inc，2002.

［12］McClellan J H，Parks T W.A personal history of the Parks-McClellan algorithm［J］.IEEE Signal Processing Magzine.2005，22(2):82－86.

［13］Haykin S.自適應(yīng)濾波器原理［M］.第四版.鄭寶玉等譯.北京:電子工業(yè)出版社，2003，369－389.

［14］Qureshi S U H.Adaptive equalization［C］.Proceedings of the IEEE，1985，73(9):1349－1387.

［15］Widrow B，Walach E，Adaptive inverse control-a Signal processing approach［M］.Reissue ed.Hoboken，New Jersey:John Wiley＆ Sons，Inc.，2008，138－144.

［16］張尚盈，趙 慧，韓俊偉.六自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)實(shí)時(shí)控制的正/反解算法［J］.機(jī)床與液壓，2003，(3):133－135，123.

［17］JB/T 8288－2001.中華人民共和國(guó)機(jī)械行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)［S］.液壓振動(dòng)臺(tái).北京:中國(guó)機(jī)械工業(yè)聯(lián)合會(huì)，2001.