夏唐代，陳 晨，孫苗苗

(1.浙江大學(xué) 軟弱土與環(huán)境土工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州 310058;2.浙江大學(xué) 巖土工程研究所，杭州 310058)

入射波關(guān)于多個(gè)異質(zhì)體(包括孔洞)散射問(wèn)題的研究由來(lái)已久。此問(wèn)題最初由聲學(xué)和電磁學(xué)引入，并逐漸發(fā)展到彈性波的領(lǐng)域［1～3］。關(guān)于彈性波的多重散射問(wèn)題的研究可采用數(shù)值方法和解析方法。其中數(shù)值方法包括了邊界元法和有限元法等等，解析法則是指波函數(shù)展開法等。數(shù)值方法的特點(diǎn)是可以應(yīng)用于任意形狀的多個(gè)異質(zhì)體的散射問(wèn)題分析，而解析法則更能抓住問(wèn)題的本質(zhì)，并且還可以定性地檢驗(yàn)數(shù)值方法的準(zhǔn)確性。

實(shí)際工程中的屏障隔振問(wèn)題按照屏障本身的幾何特性可以分為連續(xù)屏障隔振和非連續(xù)屏障隔振。盡管連續(xù)屏障(開口溝渠，混凝土墻等)［4］的隔振效果較理想，但對(duì)于低頻人工振源以及軟土、高地下水位地區(qū)，連續(xù)屏障較難施工且隔離效果較差;相反，非連續(xù)屏障具有施工方便、造價(jià)低等諸多優(yōu)點(diǎn)。非連續(xù)屏障體系的隔振本質(zhì)上便是彈性波關(guān)于多個(gè)異質(zhì)體的多重散射問(wèn)題。20世紀(jì)70年代初，Pao和Mow［1］采用波函數(shù)展開法首創(chuàng)性地研究了無(wú)限空間中單個(gè)孔洞在彈性波入射下的散射及動(dòng)應(yīng)力集中問(wèn)題。隨后，Aviles、高廣運(yùn)等學(xué)者［5～7］運(yùn)用波動(dòng)理論，得出了均質(zhì)彈性土體中剛性、彈性單排實(shí)心樁對(duì)彈性波隔離的精確解。徐平［8～9］運(yùn)用波函數(shù)法推導(dǎo)了單排彈性和剛性空心管樁以及實(shí)心樁屏障對(duì)平面彈性波的隔離效果。

然而，值得指出的是，到目前為止，關(guān)于非連續(xù)屏障的隔振問(wèn)題，運(yùn)用解析解法時(shí)所研究的對(duì)象均是在一條直線上，理論公式的推導(dǎo)都是建立在單排樁上，且不能推廣到多排樁，而關(guān)于任意分布的多個(gè)圓柱體對(duì)于彈性波的多重散射解析解問(wèn)題至今仍未見報(bào)道?？紤]到實(shí)際工程中常常采用多排樁隔振(尤其是在軟土地區(qū)和高地下水位地區(qū))，同時(shí)樁采用梅花型布置以增強(qiáng)隔振系統(tǒng)的整體剛度及隔振效果，使得多排樁的散射隔振研究成為一個(gè)亟待解決的問(wèn)題。

如果剛性樁埋置足夠深，則其對(duì)人工振動(dòng)產(chǎn)生的彈性波的散射可以簡(jiǎn)化為固定剛性異質(zhì)體對(duì)彈性波的散射問(wèn)題，因而本文首先以無(wú)限均質(zhì)彈性空間中任意分布的N根固定剛性樁在彈性波入射下的模型為例，闡述了本文關(guān)于多重散射的改進(jìn)計(jì)算方法，推導(dǎo)了散射系數(shù)的計(jì)算公式。該改進(jìn)方法運(yùn)用范圍廣，必要時(shí)可直接退化為研究單排非連續(xù)屏障隔振體系。接著，取雙排剛性樁隔振的模型，采用本文所提出的算法研究了雙排固定剛性樁關(guān)于SV波(偏振方向與樁體軸線一致)［7］的隔離效果，為工程上常用的多排樁隔振問(wèn)題的分析提供新的研究思路。

1 波函數(shù)展開

如圖1所示，取任意分布的N根固定剛性樁位于各向同性的無(wú)限均質(zhì)彈性土體中。樁的半徑為al(1≤l≤N，N為樁的數(shù)目)，平面SV波的入射角為ψ?？紤]到問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是多個(gè)圓柱體對(duì)于彈性波的散射問(wèn)題，因而在計(jì)算分析時(shí)采用一組圓柱坐標(biāo)系統(tǒng)。其中，任意點(diǎn)s相對(duì)于j樁圓柱坐標(biāo)系的坐標(biāo)為(rj，θj)，相對(duì)于p樁圓柱坐標(biāo)系的坐標(biāo)為(rp，θp)。任意圓柱坐標(biāo)系(rp，θp)的原點(diǎn)相對(duì)于另一個(gè)圓柱坐標(biāo)系(rj，θj)的原點(diǎn)的距離為 rjp，角度為 θjp。

圖1 任意N根固定剛性樁對(duì)彈性波的散射Fig.1 Scattering of elastic waves by an arbitrary configuration of fixed rigid piles

SV波的偏振方向與樁體軸線一致，在波的傳播過(guò)程中不會(huì)與其他體波(P波，SH波等)產(chǎn)生耦合散射，故在分析問(wèn)題時(shí)，只需求解標(biāo)量的波動(dòng)方程。另外，考慮樁體的埋置足夠深，因而此處的多重散射問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為二維平面問(wèn)題來(lái)研究。

偏振方向與樁身軸線一致的SV平面簡(jiǎn)諧體波應(yīng)當(dāng)滿足Helmholtz方程:

式中，ks=ω/c為土體中SV波的波數(shù);ω為圓頻率;c為土中的波速。

取入射SV波的幅值為w0，則在參考坐標(biāo)系xpoyp下，滿足上述方程的入射SV波可以表示為如下的Fourier-Bessel函數(shù)的級(jí)數(shù)形式:

其中，上標(biāo)inc表示入射波;Jn(·)為n階第一類貝塞爾函數(shù);i為虛數(shù)單位為了研究的方便，上式及以下的討論中均略去了時(shí)間因子e－iωt。

由于每根樁均會(huì)對(duì)入射波散射，且相應(yīng)的散射波場(chǎng)均依附于自身的圓柱坐標(biāo)系統(tǒng)。于是，總的波場(chǎng)可以表示為入射波場(chǎng)和散射波場(chǎng)的疊加:

式中，上標(biāo)t表示總波場(chǎng)。

（2）教學(xué)文件齊備，但大綱的執(zhí)行情況較差，難以保證教學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)性，教學(xué)管理部門應(yīng)加強(qiáng)監(jiān)督力度，進(jìn)一步規(guī)范管理。

運(yùn)用更具一般意義上的Graf加法定理［10］，可以把坐標(biāo)系(rj，θj)下的散射位移場(chǎng)轉(zhuǎn)換為坐標(biāo)系(rp，θp)下的形式，若 j≠p，則有，

將式(2)、式(3)、式(5)式代入到式(4)中，便得到坐標(biāo)系(rp，θp)下的總波場(chǎng)表達(dá)式(限于篇幅，表達(dá)式見附錄)。

2 散射系數(shù)的求解

由于考慮了樁體為固定且剛性的，假定土體與剛性樁體在界面處完全聯(lián)結(jié)，即樁體與周圍土體在界面處位移連續(xù)，因而對(duì)于任意p樁而言，邊界條件為:

將式(2)、式(3)、式(4)、式(5)代入到式(6)中，根據(jù)不同階的三角函數(shù)sinnθj和cosnθj線性無(wú)關(guān)的性質(zhì)，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)，最終可得關(guān)于平面SV波入射下散射復(fù)系數(shù)和的兩個(gè)無(wú)窮線性方程組:

式中，m= －∞，…，－2，－1，0，1，2，…，∞， 1≤p≤N解出散射系數(shù)后，便可以得出整個(gè)波場(chǎng)。

3 數(shù)值計(jì)算

為了驗(yàn)證上述關(guān)于平面SV波入射下多重散射問(wèn)題改進(jìn)算法的正確性，取各根樁的分布如圖2所示，則問(wèn)題演變?yōu)殡p排固定剛性樁屏障對(duì)于SV波的隔離問(wèn)題。

圖2 雙排固定剛性樁隔振模型Fig.2 Modeling of vibration isolation by rows of fixed rigid piles

設(shè)所有剛性樁的參數(shù)都一致，樁列均勻布置，取樁的數(shù)量為N=8，樁的半徑均為a=1，每排之中相鄰兩樁之間的距離為Sp=6a，兩排樁之間的間距為h，假定平面SV波垂直于屏障入射，即ψ=π/2。對(duì)入射波位移場(chǎng)的頻率進(jìn)行歸一化處理:

此外，再引入SV波的透射系數(shù)TIw［12］，

式中，L為屏障的寬度，L=Sp(N－1)/2，Sp=6a。取其他參數(shù)不變，研究了排間距h變化時(shí)屏障后y/a=150、y/a=200以及y/a=250處(此區(qū)域?yàn)樽罴训母粽裎恢?TIw的變化，如圖4所示。圖4實(shí)際反映的是某固定y/a上在屏障寬度上的幾何平均值，表征著屏障對(duì)于入射波能量的耗散性。

從圖3可以看出，對(duì)應(yīng)于不同的h，屏障的最佳隔振區(qū)域基本上都位于雙排樁的中心線上，表明此時(shí)雙排樁屏障可視為一個(gè)整體在發(fā)揮著作用，另外，還可以得出，屏障后的無(wú)量綱位移等值線在越靠近屏障處比較密集，梯度大，遠(yuǎn)離屏障處則較為松散，梯度小。特別地，h=0時(shí)，退化為單排樁隔振問(wèn)題，此時(shí)數(shù)值計(jì)算所得結(jié)果與徐平等學(xué)者的完全一致［9］。

不過(guò)，所不同的是，圖3(a)、圖3(b)、圖3(c)可以得出，當(dāng)h從0變化到1.5a時(shí)，雙排剛性樁屏障的隔振效果逐漸變好，屏障后的最佳隔振區(qū)域范圍在增大，無(wú)量綱位移值整體上也在減小，由圖3的(c)、(d)、(e)可以得出，隨著h的繼續(xù)增大，隔振效果已經(jīng)逐漸開始變差，無(wú)量綱位移值增大，且h=4.5a時(shí)的屏障后最佳隔振區(qū)域上無(wú)量綱位移最小值為0.4，是h=1.5a時(shí)屏障后無(wú)量綱位移最小值0.2的兩倍。另外，從圖4可以看出，屏障后的透射系數(shù)隨著h的變化呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢(shì)，且總體上y/a越大，相應(yīng)的透射系數(shù)TIw也越大，表明離屏障越遠(yuǎn)處隔振效果越差，這點(diǎn)同圖3所得出的結(jié)論是一致的。

取h=1.5a，研究此種情況下(整體上來(lái)講隔振效果最為理想)雙排剛性樁的一些隔振性質(zhì)。為了研究屏障前后的位移場(chǎng)，繪制了屏障中心線前后無(wú)量綱位移的變化，如圖5所示。另外，繪制了雙排樁屏障后不同x/a處的無(wú)量綱位移隨y/a的變化曲線，如圖6所示。

圖3 屏障后無(wú)量綱位移等值線圖隨h的變化Fig.3 Contour of normalized displacement amplitudes behind the barrier with variation of h

圖4 屏障后的透射系數(shù)Fig.4 Transmissibility index for y/a=150，200，250

圖5 屏障前后中心線上的無(wú)量綱位移Fig.5 Normalized displacement amplitudes along the center line of the barrier for h=1.5a

圖6 屏障后不同位置處的無(wú)量綱位移Fig.6 Normalized displacement amplitudes for h=1.5a，x/a=0，3，6，9

從圖5可以看出，雙排樁屏障前的區(qū)域有明顯的振幅放大現(xiàn)象，這是因?yàn)槿肷洳ㄅc屏障的反射波發(fā)生相長(zhǎng)干涉的緣故，而在屏障后，土體運(yùn)動(dòng)的振幅迅速衰減，表明此雙排樁屏障起到了明顯的隔振效果。這點(diǎn)同Aviles等學(xué)者的單排非連續(xù)屏障理論是一致的［6，7］。此外，從圖6可以看出，在屏障后緊靠屏障的較小區(qū)域內(nèi)(y/a＜50)變化曲線較復(fù)雜，不過(guò)在離屏障較遠(yuǎn)的區(qū)域(50＜y/a＜500)，則可以發(fā)現(xiàn):在相同的y/a處，隔振的無(wú)量綱位移值都大致趨向于同一值0.53，且越靠近屏障中心，無(wú)量綱位移值越小，即隔振效果越好，這點(diǎn)同之前圖3分析得出的結(jié)論是一致的。

4 結(jié)論

假定土體為各向同性的均質(zhì)彈性土體，本文運(yùn)用更為完整的Fourier－Bessel波函數(shù)展開式以及更為廣義上的Graf加法定理，根據(jù)樁土位移邊界條件，推導(dǎo)了任意分布的無(wú)限長(zhǎng)固定剛性樁對(duì)于平面SV波的散射解析解。隨后，研究了梅花型布置的雙排剛性樁屏障對(duì)于彈性波的隔離問(wèn)題，分析了當(dāng)排間距h對(duì)于此雙排剛性樁體系隔振效果的影響。特別地，當(dāng)h=0時(shí)，問(wèn)題退化為常見的單排非連續(xù)屏障的隔振。通過(guò)數(shù)值分析，結(jié)果表明:

(1)排間距h對(duì)于隔振效果有著重要影響。當(dāng)h較小時(shí)，雙排樁隔振效果隨著h的增大而增強(qiáng)，隨著h的繼續(xù)增大，雙排樁之間的疊加干涉效果減弱，隔振效果開始變差。最佳隔振效果為排間距h=1.5a左右。

(2)屏障中心處的隔振效果好于屏障邊緣處，且雙排樁屏障體系的最佳隔振區(qū)域位于距離屏障后的一定距離上。

(3)雙排樁屏障與單排樁屏障一樣，屏障前存在明顯的振幅放大現(xiàn)象，而在屏障后振幅則迅速衰減。

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附錄1

總位移波場(chǎng)表達(dá)式: