張 俊，宋軼民

(1. 天津大學機械工程學院，天津 300072；2. 安徽工業(yè)大學機械工程學院，馬鞍山 243002)

NW型直齒行星傳動的動力學建模與固有特性分析

張 俊1,2，宋軼民1

(1. 天津大學機械工程學院，天津 300072；2. 安徽工業(yè)大學機械工程學院，馬鞍山 243002)

為揭示NW型直齒行星傳動的固有特性，在系桿隨動參考坐標系下建立該類傳動系統(tǒng)的平移-扭轉耦合動力學模型．通過分析各構件間的相對位移關系，推導出系統(tǒng)的運動微分方程，進而通過求解其特征值問題獲知系統(tǒng)的固有頻率和相應振型．固有特性分析表明，NW型行星傳動有3種典型振動模式，即扭轉振動模式、平移振動模式和行星輪振動模式．其中，行星輪振動模式又可細分為行星輪同振、左振、右振3種子模式，此點與NGW型行星傳動頗為不同．NW型行星傳動的振動模式與構件支承剛度間存在一定映射關系．其中，中心構件的支承剛度僅影響中心構件相應方向上的振動模式，而與行星輪振動模式無關；行星輪支承剛度對系統(tǒng)3種振動模式均有影響．

直齒行星傳動；動力學建模；固有特性；固有頻率；振動模式

NW型行星傳動是一種較為普遍的齒輪傳動類型．與同屬2K-H類的NGW型行星傳動相比，NW型傳動具有結構緊湊、傳動比大和承載能力高等優(yōu)點，故常用于NGW型不適用的徑向尺寸受限、傳動比較大的場合[1]．

盡管學術界已針對NGW型行星傳動動力學問題進行了廣泛研究，其內容涉及自由振動分析、動態(tài)響應和振動抑制等多個方面[2-11]．相比之下，針對NW型行星傳動動力學的研究很少，只有文獻[12]對NW型直齒行星傳動的動力學問題進行了初步探討，但該文將雙聯(lián)行星輪處理為單個剛性齒輪進而按照NGW型行星傳動進行建模的做法尚待完善．由于雙聯(lián)行星輪結構的引入，NW型行星傳動的動力學特性必然與NGW型傳動有所不同．為明晰該類傳動的動態(tài)特性，以NW型直齒行星傳動為研究對象，在計入構件支承剛度、齒輪副時變嚙合剛度、陀螺效應等諸多影響因素的基礎上，采用集中參數(shù)法在系桿隨動參考坐標系下建立系統(tǒng)的平移-扭轉耦合動力學模型．以此為基礎，通過求解系統(tǒng)動力學方程的特征值問題，可揭示出NW型直齒行星傳動的固有特性．

1 動力學建模

圖1所示為NW型行星傳動示意．圖中，s、c、r、pn、pn′分別代表輪系中的太陽輪、系桿、內齒圈、雙聯(lián)行星輪1和雙聯(lián)行星輪2．

圖1 NW型行星傳動示意Fig.1 Scheme of NW planetary gear unit

1.1 平移-扭轉耦合模型

采用與文獻[11]類似的方法，可在系桿隨動坐標系下建立NW型直齒行星傳動的平移-扭轉耦合動力學模型，其模型如圖2所示．各符號的含義如下：kpn為行星輪支承剛度(n＝1，2，…，N)；ψn為第n個行星輪中心與坐標原點的連線與x軸正向的夾角，ψn＝2π(n-1)/N；kij為中心構件的支承剛度(i＝c，r，s； j＝x，y，u)；(xi，yi，ui)為構件位移(i＝c，r，s，1，2，…，N)；ui、θi分別為各構件的扭轉線位移與扭轉角位移，ui＝riθi；ri為各構件的回轉半徑(若i＝c，則為行星輪軸心到系桿幾何形心的距離；若i＝r，s，1，2，…，N，則為各齒輪的基圓半徑)．

圖2 NW型行星傳動平移-扭轉耦合動力學模型Fig.2 Translational-rotational-coupling dynamic model of NW planetary gear unit

1.2 構件相對位移分析

NW型直齒行星傳動中各構件間的相對位移關系如圖3所示．

圖3 行星輪系各構件間相對位移關系Fig.3 Displacement relationships between different parts of planetary gear unit

圖3中，sα、rα分別為太陽輪與行星輪以及行星輪與內齒圈間的嚙合角．將各構件之間的相對位移向嚙合線方向投影，并設定受壓方向為正方向，可得太陽輪與行星輪pn相對位移沿嚙合線方向投影

內齒圈與行星輪pn′相對位移沿嚙合線方向投影

1.3 系統(tǒng)運動方程

設定NW型直齒行星傳動的內齒圈固定，太陽輪、系桿分別連接輸入端與輸出端，且輸入、輸出扭矩分別為sT、cT．假定系桿、內齒圈、太陽輪和2個行星輪的質量分別為cm、rm、sm、nm和nm′，其轉動慣量分別為cI、rI、sI、nI和nI′．分析系統(tǒng)中各構件的受力狀況，依據(jù)牛頓第二運動定律可建立如下的運動方程．

1) 系桿運動方程2) 內齒圈運動方程

3) 太陽輪運動方程

4) 行星輪pn運動方程

5) 行星輪pn′運動方程

整理式(5)～式(9)，并寫成矩陣形式

式中q為系統(tǒng)的廣義坐標列陣．其余各符號含義參見文獻[11]．

2 固有特性分析

考慮到一般情況下NW型行星傳動的系桿角速度較小，科氏力、離心力均可忽略，則式(10)可以簡化為

對式(11)求解特征值問題，可得系統(tǒng)的各階固有頻率和振型．

不失一般性，不妨以表1所示的NW型直齒行星傳動為例，采用上述動力學模型求解系統(tǒng)的固有頻率和相應振型．

表1 NW型直齒行星齒輪傳動的基本參數(shù)Tab.1 Parameters of NW spur planetary gear unit

由行星輪系的同心、裝配和鄰接條件，可知該NW型行星傳動的均布行星輪個數(shù)可取3或4．對于N=3及N=4的2種情形，計算系統(tǒng)各階固有頻率如表2所示，其中m為固有頻率的重根數(shù)．

Hz N m＝1 m＝2 m＝N-3 3 1000 1 962.7 1 806.5 1 949.1 2 404.4 2 605.3 2 945.9 9 525.6 11 704.4 1 656.5 1 996.5 1 463.2 1 918.8 2 172.2 2 403.9 2 747.2 9 190.8 9 362.1 4 0 1 974.9 11 816.6 12 004.5 12 404.9 12 480.7 12 948.0 19 774.4 13 116.8 11 634.2 11 952.0 11 508.1 11 912.6 12 163.9 12 402.4 12 885.6 19 351.4 10 241.6 1 344.5 1 832.9 2 355.5 2 410.3 5 776.9 8 729.5

進一步分析可知系統(tǒng)各階固有頻率所對應的振型坐標．經歸納可知NW型直齒行星傳動中存在如下3種典型振動模式，即中心構件扭轉振動模式、中心構件平移振動模式和雙聯(lián)行星輪振動模式．各種振動模式的特點如下．

(1) 中心構件扭轉振動模式．當1m=時，各中心構件(太陽輪、內齒圈、系桿)僅做扭轉振動，各雙聯(lián)行星輪做復雜平面振動，且相應行星輪的振動狀態(tài)相同，而與行星輪個數(shù)無關．該振動模式的振型如圖4(a)所示．

(2) 中心構件平移振動模式．當2m=時，各中心構件做平移振動，各雙聯(lián)行星輪做復雜平面振動，且振動狀態(tài)與行星輪個數(shù)相關．當4N=時，各雙聯(lián)行星輪振動狀態(tài)呈軸向反對稱；其他情況下，各雙聯(lián)行星輪振動狀態(tài)互不相同．該振動模式的振型如圖4(b)和 5(b)所示．

(3) 雙聯(lián)行星輪振動模式．當m=N?3(N＞3)時，各中心構件不振動，僅雙聯(lián)行星輪振動，且振動狀態(tài)與行星輪個數(shù)相關．當N=4時，相應行星輪的振動狀態(tài)呈軸向對稱；其他情況下，各雙聯(lián)行星輪振動狀態(tài)互不相同．該振動模式的振型如圖5(c)～(e)所示．該模式下雙聯(lián)行星輪的振動按其特點又可細分為行星輪1、2同時做復雜平面振動、行星輪1單獨做平移振動和行星輪2單獨做平移振動3種方式．為區(qū)別于NGW型傳動的行星輪模式，本文將之分別定義為行星輪同振模式、行星輪左振模式和行星輪右振模式．

圖4、圖5分別示出了3N=、4N=時系統(tǒng)不同振動模式下的振型．圖中，虛線表示各構件的初始位置，實線為構件振動后的位置，實線段為各構件振動后的橫軸線．為表達清晰，圖中均未繪出系桿的位置．

圖4 3N=時NW型行星傳動振型Fig.4 Vibration modes of NW planetary gear unit when N＝3

圖5 N＝4時NW型行星傳動振型Fig.5 Vibration modes of NW planetary gear unit when N＝4

由圖5可知，NW型直齒行星傳動的中心構件扭轉振動模式和中心構件平移振動模式與NGW型相似[3]，但其行星輪振動模式較為復雜．

不難推測，正是由于雙聯(lián)行星輪結構的引入，造成了NW型行星傳動中行星輪的振動模式趨于多樣化，使得其不僅存在雙聯(lián)行星輪同振模式，還同時存在行星輪左振和右振模式．特別是行星輪左振和右振模式中行星輪僅做橫向平移振動，這與NGW型傳動中行星輪的振動狀態(tài)有很大不同，在進行NW型行星傳動行星輪振動抑制時應予以重視．

為明晰系統(tǒng)中各構件支承剛度與系統(tǒng)振動模式間的映射關系，現(xiàn)分別考察內齒圈、太陽輪、系桿、行星輪支承剛度對系統(tǒng)固有特性的影響．

不失一般性，仍以表1所示的NW型直齒行星傳動為對象，分析4N=時構件支承剛度與系統(tǒng)振動模式間的關系．

以內齒圈為例，其安裝方式可分為完全浮動、周向浮動、徑向浮動和完全固定4種情況．為分析上述情況下系統(tǒng)的固有特性，設定太陽輪、系桿和行星輪的徑向支承剛度為108,N/m，太陽輪和系桿的扭轉支承剛度均為0，內外齒輪副嚙合剛度均取5× 108N/m，雙聯(lián)行星輪扭轉線剛度取5× 107N/m，且相應工況下內齒圈徑向和周向支承剛度設置為內齒圈完全浮動：krx=kry=kru=0；內齒圈周向浮動：krx=kry=內齒圈徑向浮動內齒圈完全固定

對式(11)求解特征值問題，可得不同工況下系統(tǒng)各階固有頻率，其計算結果如表3所示．

表3 不同工況下NW型行星傳動固有頻率Tab.3 Natural frequencies of NW planetary gear unit under different conditions Hz

由表3可知NW型直齒行星傳動的振動模式與內齒圈支承剛度間存在如下映射關系：

(1) 中心構件扭轉振動模式僅受內齒圈周向支承剛度的影響，而與內齒圈徑向支承剛度無關；

(2) 中心構件平移振動模式僅受內齒圈徑向支承剛度的影響，而與內齒圈周向支承剛度無關；

(3) 行星輪振動模式既不受內齒圈徑向支承剛度也不受周向支承剛度的影響．

采用類似的方法可分析太陽輪、系桿、行星輪各向支承剛度的影響．限于篇幅，本文不再詳列，僅給出分析結論如下．

(1) 中心構件的支承剛度僅影響中心構件的振動模式，而對行星輪振動模式不產生影響．具體而言，中心構件的周向支承剛度僅影響中心構件的扭轉振動模式；中心構件的徑向支承剛度僅影響中心構件的平移振動模式．

(2) 雙聯(lián)行星輪的徑向支承剛度和扭轉剛度對系統(tǒng)3種振動模式均有影響．

3 結 論

(1) NW型直齒行星齒輪傳動具有3種典型振動模式，即：中心構件扭轉振動模式、中心構件平移振動模式和雙聯(lián)行星輪振動模式．其中，行星輪振動模式又可細分為行星輪同振模式、行星輪左振模式和行星輪右振模式，此點與NGW型行星傳動頗為不同．

(2) NW型直齒行星齒輪傳動的振動模式與系統(tǒng)中構件的支承剛度間存在確定映射關系，即：中心構件的支承剛度僅影響中心構件相應方向上的振動模式，而行星輪的支承剛度則影響系統(tǒng)的全部3種振動模式．

［1］ 饒振綱. 行星齒輪傳動設計[M]. 北京：化學工業(yè)出版社，2003.

Rao Zhengang. Design of Planetary Gear Transmission[M]. Beijing：Chemical Industry Press，2003(in Chinese).

［2］ Kahraman A. Natural modes of planetary gear trains[J]. Journal of Sound and Vibration，1994，173(1)：125-130.

［3］ Lin J，Parker R G. Analytical characterization of the unique properties of planetary gear free vibration[J]. ASME Journal of Vibration and Acoustics，1999，121(7)：316-321.

［4］ Kahraman A. Free torsional vibration characteristics of compound planetary gear sets[J]. Mechanism and Machine Theory，2001，36：953-971.

［5］ 宋軼民，許偉東，張 策，等. 2K-H行星傳動的修正扭轉模型建立與固有特性分析[J]. 機械工程學報，2006，42(5)：16-21.

Song Yimin，Xu Weidong，Zhang Ce，et al. Modified torsional model development and natural characteristics analysis of 2K-H epicyclic gearing[J]. Journal of Mechanical Engineering，2006，42(5)：16-21(in Chinese).

［6］ 孫 濤，劉繼巖. 行星齒輪傳動非線性動力學方程求解與動態(tài)特性分析[J]. 機械工程學報，2002，38(3)：10-15.

Sun Tao，Liu Jiyan. Study on nonlinear dynamic behavior of planetary gear train solution and dynamic behavior analysis[J]. Journal of Mechanical Engineering，2002，38(3)：10-15(in Chinese).

［7］ Lin J，Parker R G. Planetary gear parametric instability caused by mesh stiffness vibration[J]. Journal of Sound and Vibration，2002，249(1)：129-145.

［8］ 孫智民，沈允文，李素有. 封閉行星齒輪傳動系統(tǒng)的扭轉振動特性研究[J]. 航空動力學報，2001，16(2)：163-166.

Sun Zhimin，Shen Yunwen，Li Suyou. A study on torsional vibrations in an encased differential gear train[J]. Journal of Aerospace Power，2001，16(2)：163-166(in Chinese).

［9］ 魏大盛，王延榮. 行星輪系動態(tài)特性分析[J]. 航空動力學報，2003，18(3)：450-453.

Wei Dasheng，Wang Yanrong. The dynamic characteristics analysis of planet gear train[J]. Journal of Aerospace Power，2003，18(3)：450-453(in Chinese).

［10］ Ambarisha V K，Parker R G. Suppression of planet mode response in planetary gear dynamics through mesh phasing[J]. ASME Journal of Vibration and Acoustics，2006，128(4)：133-142.

［11］ 張 俊，宋軼民，張 策，等. NGW型直齒行星傳動自由振動分析[J]. 天津大學學報，2010，43(1)：90-94.

Zhang Jun，Song Yimin，Zhang Ce，et al. Analysis of free vibration of NGW spur planetary gear set[J]. Journal of Tianjin University，2010，43(1)：90-94(in Chinese).

［12］ 劉 欣. 基于虛擬樣機技術的直齒行星傳動動力學研究[D]. 天津：天津大學機械工程學院，2007.

Liu Xin. Dynamics of Spur Planetary Gear Trains Based on Virtual Prototyping[D]. Tianjin：School of Mechanical Engineering，Tianjin University，2007(in Chinese).

Dynamic Modeling and Eigenvalue Evaluation of NW Spur Planetary Gear Unit

ZHANG Jun1,2，SONG Yi-min1
(1. School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. School of Mechanical Engineering，Anhui University of Technology，Maanshan 243002，China)

An analytical translational-rotational-coupling dynamic model was developed to evaluate the inherent characteristics of NW spur planetary gear unit. By deriving the displacement relationships between gears and carrier，the governing differential equations were obtained. The solution to associated eigenvalue problem led to natural frequencies and free vibration modes of transmission. The vibration modes are classified into three categories，i.e.，rotational mode，translational mode，and planet mode based on their unique properties. And planet mode can be further classified into three sub-categories：global-planet sub-mode，left-planet sub-mode and right-planet sub-mode. The investigation into component stiffness reveals that the radial and circumferential stiffness of central component only influences rotational and translational modes，while the radial and torsional stiffness of planet affects all the three modes.

spur planetary gear unit；dynamic modeling；inherent characteristics；natural frequency；vibration mode

TH132.4

A

0493-2137(2011)08-0677-06

2009-10-13；

2010-11-01.

國家自然科學基金資助項目(50205019，50905122)．

張 ?。?981— ），男，博士，副教授.

張 俊，zhang_jun@tju.edu.cn.