周婷婷，劉曉帥，楊 穎，殷 馨

（南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，江蘇南京 210016）

0 引言

在未來(lái)的移動(dòng)通信網(wǎng)絡(luò)中，無(wú)線鏈路在保證業(yè)務(wù)服務(wù)質(zhì)量（quality of service，QoS）前提下，需要提供更高的傳輸速率;但無(wú)線鏈路的衰落特性限制了其傳輸能力［1］。為了提高無(wú)線數(shù)據(jù)通信系統(tǒng)的性能，利用多層相互協(xié)調(diào)的跨層設(shè)計(jì)已經(jīng)成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。文獻(xiàn)［2］提出了單輸入單輸出（single input single output，SISO）瑞利衰落信道下，聯(lián)合自適應(yīng)編碼調(diào)制和自動(dòng)重傳請(qǐng)求（automatic repeat request，ARQ）協(xié)議的跨層設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)［1，3-5］均提出結(jié)合空時(shí)分組編碼（space time block coding，STBC）［6］的多輸入多輸出（multiple inputmultiple output，MIMO）系統(tǒng)的跨層設(shè)計(jì)。然而，在上述文獻(xiàn)的跨層設(shè)計(jì)中，物理層自適應(yīng)調(diào)制（adaptive modulation，AM）的門限選擇都是基于瞬時(shí)誤包率（packet error rate，PER）的約束條件，這樣做雖可能會(huì)簡(jiǎn)化問(wèn)題分析，但這種嚴(yán)格的約束條件將會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)頻譜效率（spectral efficiency，SE）犧牲過(guò)多。為此，需要考慮采用基于平均PER約束條件的AM，以期實(shí)現(xiàn)滿足目標(biāo)PER要求的同時(shí)，大大提高系統(tǒng)SE。Torrance等［7］首先提出AM的門限優(yōu)化算法，即通過(guò)最小化一定的代價(jià)方程（即平均誤碼率（bit error rate，BER）和平均頻譜效率（average spectral efficiency，ASE）與目標(biāo)值的差值）來(lái)搜索最優(yōu)門限值。文獻(xiàn)［8-9］提出了采用Lagrange優(yōu)化方法以最大化ASE求得最優(yōu)自適應(yīng)門限，其解同樣需要通過(guò)計(jì)算機(jī)數(shù)值搜索。此外，文獻(xiàn)［10］給出了一種Two-mode方法來(lái)優(yōu)化門限值，該方法實(shí)質(zhì)上是Torrance方法的變型，仍然采用Torrance提出的代價(jià)方程，只是每次僅考慮相鄰2種調(diào)制方式。在這些優(yōu)化方法中，Torrance方法與Lagrange方法類似，只是在代價(jià)函數(shù)中以不同的形式來(lái)表示平均BER約束條件。文獻(xiàn)［11］將Lagrange方法下的優(yōu)化門限應(yīng)用于單載波和多載波系統(tǒng)的性能分析中，以表明此門限的優(yōu)越性，其結(jié)果表明可獲得較高的SE。然而，上述文獻(xiàn)僅針對(duì)物理層自適應(yīng)調(diào)制的門限優(yōu)化，沒(méi)有考慮跨層的優(yōu)勢(shì)，使得SE提高有限。

基于上述分析，本文將在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，給出平均PER約束下聯(lián)合物理層AM和鏈路層ARQ的跨層優(yōu)化設(shè)計(jì)，并利用Lagrange乘子法對(duì)平均PER約束條件下的門限優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行建模。針對(duì)此優(yōu)化問(wèn)題，采用簡(jiǎn)化Newton法求解，可有效地避免原有文獻(xiàn)需要通過(guò)大量的數(shù)值搜索來(lái)求解。在此基礎(chǔ)上，利用獲得的優(yōu)化門限，分析MIMO系統(tǒng)結(jié)合STBC和跨層設(shè)計(jì)的性能，給出系統(tǒng)平均PER和ASE的理論計(jì)算。其結(jié)果表明，與瞬時(shí)PER約束下的系統(tǒng)跨層方案相比，基于平均PER約束的系統(tǒng)跨層方案可以在滿足一定PER要求時(shí)獲得較高的系統(tǒng)SE。

1 系統(tǒng)模型

這里考慮物理層是有Nt個(gè)發(fā)射天線和Nr個(gè)接收天線的無(wú)線MIMO通信系統(tǒng)，工作于平坦準(zhǔn)靜態(tài)瑞利衰落信道。該信道用Nr×Nt維矩陣 H=［hi，j］Nr，Nti，j=1來(lái)表示，其元素 hi，j為從第 j個(gè)發(fā)射天線到第i個(gè)接收天線的信道增益。由于信道是準(zhǔn)靜態(tài)的，hi，j在一幀（對(duì)應(yīng)于K個(gè)時(shí)隙）內(nèi)保持不變，但在不同的幀之間則獨(dú)立變化。對(duì)于瑞利衰落，hi，j可建模為獨(dú)立同分布均值為0，每維方差為0.5的復(fù)高斯隨機(jī)變量，即 hi，j～ CN（0，1） 。由文獻(xiàn)［12］可知，系統(tǒng)輸入輸出信號(hào)關(guān)系為

（1）式中，Y是Nr×K維接收信號(hào)矩陣;X是輸入符號(hào)經(jīng)過(guò)空時(shí)編碼后的Nt×K維發(fā)送信號(hào)矩陣;N是Nr× K 維噪聲矩陣，其元素 ni，j～ CN（0，σ2n） 。

假設(shè)來(lái)自Nt個(gè)發(fā)射天線的平均發(fā)射功率是Pt，則每接收天線下平均信噪比為STBC的編碼矩陣G是由輸入的L個(gè)符號(hào)映射成K個(gè)時(shí)隙的Nt維矢量組成的Nt×K維矩陣，其碼率Rc為L(zhǎng)/K。利用STBC的復(fù)正交性［6］，系統(tǒng)在譯碼后的L×1維信號(hào)矢量y可表示為［12］

（2）式中，c是與STBC有關(guān)的常數(shù)，x=［x1，…，xL］T表示輸入符號(hào)序列，其每個(gè)元素的平均功率均為為Frobenius范數(shù);v為L(zhǎng)×1維噪聲矢量，且其元素vi～從而，可以得到空時(shí)譯碼后的瞬時(shí)接收信噪比為由服從自由度為2κ（ κ =NtNr）的非中心卡方分布，利用隨機(jī)變量的變換可以得到 γ 的概率密度函數(shù)（PDF）［3，12］為

（3）式中，Γ（·）為伽馬函數(shù)。

假設(shè)MIMO系統(tǒng)接收端通過(guò)信道估計(jì)可以獲得完全信道狀態(tài)信息（channel state information，CSI），該CSI一方面用于信號(hào)檢測(cè)，另一方面則通過(guò)反饋鏈路實(shí)時(shí)傳給發(fā)送端進(jìn)行AM，同時(shí)也反饋給鏈路層的ARQ控制器，控制器在保證系統(tǒng)QoS的情況下決定重傳的次數(shù)，并將此反饋給發(fā)送端來(lái)調(diào)整重傳。為了減少傳輸時(shí)延，鏈路層采用受限ARQ技術(shù)，即系統(tǒng)給定最大請(qǐng)求重傳次數(shù)，當(dāng)重傳次數(shù)到達(dá)時(shí)，發(fā)送的數(shù)據(jù)包仍然不能正確接收則被丟棄。

2 系統(tǒng)性能

在進(jìn)行跨層設(shè)計(jì)時(shí)，假定鏈路層允許的丟包率（packet loss rate，PLR）不高于Ploss。根據(jù)最大重傳次數(shù)的限制，物理層的目標(biāo)PER可表示為由文獻(xiàn)［2］可知，調(diào)制方式n在加性高斯白噪聲信道下近似PER為

（4）式中，參數(shù) {an，gn，γpn} 由調(diào)制方式 n決定，其具體值可參見(jiàn)文獻(xiàn)［2］中的表I。

系統(tǒng)平均 PER［2］可以表示為

（5）式中:N為調(diào)制方式總數(shù);Rn=Rc·lb（Mn）;Mn為星座圖大小;假設(shè)調(diào)制方式n的轉(zhuǎn)換門限值為γn，則 其 對(duì) 應(yīng) 的 平 均 PER 為是調(diào)制方式 n 的選取概率，其值可表示為

因此，使用受限ARQ后系統(tǒng)ASE為

3 自適應(yīng)調(diào)制門限

利用PERn（γ）=Pobj可獲得基于瞬時(shí)PER約束條件的自適應(yīng)調(diào)制轉(zhuǎn)換門限值［2］為

由（9）式獲得的門限值可保證每時(shí)刻的PER都能滿足目標(biāo)要求，但這種嚴(yán)格的要求使得門限值不能根據(jù)信道信息進(jìn)行自適應(yīng)優(yōu)化（即門限值是固定的），其結(jié)果將不可避免地帶來(lái)系統(tǒng)SE的損失。為此，本文將考慮平均PER約束條件下的門限值優(yōu)化，以期SE得到有效提高，具體為:在平均PER滿足目標(biāo)值Pobj的條件下，通過(guò)最大化系統(tǒng)ASE來(lái)優(yōu)化自適應(yīng)門限。相應(yīng)的優(yōu)化目標(biāo)問(wèn)題［8］可表示為

采用Lagrange乘子法構(gòu)建此門限優(yōu)化問(wèn)題為

（11）式中，λ是Lagrange乘數(shù)因子。

通過(guò)對(duì)（11）式的γn（n=1，…，N）求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于0，即，可得到反映γn之間關(guān)系的表達(dá)式

（12）式中，由（11）式和Pobj＜1可以看出λ≠1。

采用文獻(xiàn)［13-14］的簡(jiǎn)化Newton算法對(duì)（12）式求解，可獲得如下關(guān)系式

（13）式中:β（k）和 γ（k）= ［γ1，γ2，…，γN］T分別為第k次迭代時(shí)計(jì)算得到的中間矢量和門限值矢量;F（γ（k））和其Jacobi矩陣DF（γ（k））分別表示為

對(duì)（13）式進(jìn)行求解時(shí)，選取有效初值γ（0）使得系數(shù)矩陣DF（γ（0））非奇異，且以后各次的迭代均用此系數(shù)陣，大大減少了求解次數(shù)。此外，也可以通過(guò)基于混沌初值的簡(jiǎn)化Newton法［14］求解出盡可能多的解，再根據(jù)條件篩選出有效解。

4 性能仿真分析

本節(jié)將利用所推導(dǎo)的理論公式和相應(yīng)的仿真來(lái)評(píng)估平均PER約束條件下MIMO系統(tǒng)的跨層設(shè)計(jì)方案性能，并與基于瞬時(shí)PER約束條件的系統(tǒng)性能相比較。物理層中自適應(yīng)調(diào)制采用常見(jiàn)的BPSK，QPSK，16QAM，64QAM 4種調(diào)制方式，調(diào)制速率分別為對(duì)應(yīng)的選擇門限假定鏈路層的目標(biāo)PLR為10－3。不同的STBC應(yīng)用于MIMO系統(tǒng)，如G2碼、G3碼等。在仿真圖1－3中，“x T y R（z）”表示x個(gè)發(fā)射天線和y個(gè)接收天線的MIMO系統(tǒng)，并采用STBC中的z碼來(lái)實(shí)現(xiàn)。

圖1—圖2給出了不同天線數(shù)下，系統(tǒng)ASE的理論分析和對(duì)應(yīng)的仿真曲線，其相一致說(shuō)明了理論公式的有效性。在圖1中，假定為2，由圖1可知在有效信噪比范圍（ˉγ≤ˉγa）的大部分區(qū)域內(nèi)，平均PER約束下的系統(tǒng)ASE相對(duì)于瞬時(shí)PER約束下的ASE均有所改善;而在信道條件較差和很好的情況下改善不明顯，在低信噪比時(shí)，系統(tǒng)PER較高，只能采用低階調(diào)制方式，進(jìn)而導(dǎo)致2種約束條件下的系統(tǒng)傳輸速率均很低;而在高信噪比時(shí)，瞬時(shí)PER約束下的系統(tǒng)可采用高階調(diào)制方式，使傳輸速率趨于最大，這類似于平均PER約束下最大化系統(tǒng)ASE。由于2發(fā)天線系統(tǒng)的高分集度，使2發(fā)1收的ASE要高于單天線系統(tǒng);同時(shí)，由圖2所示的平均PER約束下2發(fā)2收系統(tǒng)也好于非全速率的3發(fā)2收系統(tǒng)。由圖2還可看出，在平均PER約束下的隨著的增大逐漸減小，這與（14）式中與Pobj的關(guān)系相一致;當(dāng)?shù)竭_(dá)閾值時(shí)，系統(tǒng)將只采用最高階調(diào)制方式進(jìn)行調(diào)制，傳輸速率為Rn=6Rc，其中G2，H3和G3碼的編碼速率分別為Rc={1，0.75，0.5}。圖3給出了Nmaxr為2時(shí)，2發(fā)1收和4發(fā)1收天線系統(tǒng)在，2種約束條件下系統(tǒng)平均PER和平均PLR的理論分析和相應(yīng)的仿真曲線，可以看出，理論和仿真相一致，驗(yàn)證了理論分析的有效性;同時(shí)，在有效信噪比范圍內(nèi)，平均PER約束條件下各天線系統(tǒng)的PER和PLR均能滿足系統(tǒng)要求的目標(biāo)值。

圖3 不同天線系統(tǒng)的平均誤包率和平均丟包率Fig.3 Average PER and average PLR with different antenna systems

5 結(jié)束語(yǔ)

本文給出空時(shí)編碼MIMO系統(tǒng)中一種基于平均PER約束的跨層設(shè)計(jì)方案，該方案以最大化系統(tǒng)ASE為目標(biāo)，通過(guò)平均PER受限于目標(biāo)PER進(jìn)行自適應(yīng)門限優(yōu)化?；贚agrange乘子法，對(duì)此門限優(yōu)化問(wèn)題建模，并采用簡(jiǎn)化Newton法進(jìn)行求解，獲得較為簡(jiǎn)單的數(shù)值計(jì)算，避免了已有自適應(yīng)門限優(yōu)化方案中需要大量的計(jì)算機(jī)搜索?；讷@得的理論結(jié)果，利用推導(dǎo)出的平均PER和ASE閉式表達(dá)式對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了性能分析。仿真結(jié)果表明，所提跨層設(shè)計(jì)方案可在滿足目標(biāo)PER的情況下獲得SE的有效提高，避免了通?；谒矔r(shí)PER約束的跨層設(shè)計(jì)方案所帶來(lái)的SE損失。而且所給出的理論分析也是有效的，與實(shí)際的仿真結(jié)果非常相近。

［1］MAAREFA，AISSA S.Combined adaptivemodulation and truncated ARQ for packet data transmission in MIMO systems［C］//IEEE.IEEE Global Telecommunications Conference.Dallas，USA:IEEE Press，2004:3818-3822.

［2］ LIU Qing-wen，ZHOU Sheng-li，GIANNAKISG B.Crosslayer combining of adaptive modulation and coding with truncated ARQ over wireless links［J］.IEEE Transactions Wireless Communications，2004，3（5）:1746-1755.

［3］ MAAREF A，AISSA S.A cross-layer design for MIMO rayleigh fading channels［C］//IEEE.IEEE Technology Driving Innovation-Canadian Conference on Electrical and Computer Engineering.Ontario，Canada:IEEE Press，2004:2247-2250.

［4］LU Xiao-feng，ZHU Guang-xi，LIU Gan，et al.A crosslayer design over MIMO rayleigh fading channels［C］//IEEE.International Conference on Wireless Communications，Networking and Mobile Computing.Wuhan，China:IEEE Press，2005:50-53.

［5］郭麗麗，岳殿武.時(shí)延反饋下的自適應(yīng)STBC-Beamforming跨層設(shè)計(jì)［J］.北京郵電大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，31（6）:85-89，108.

GUO Li-li，YUE Dian-wu.Adaptive STBC-Beam forming Cross-Layer Design under Outdated Feedback［J］.Journal of Beijing University of Posts and Telecommunications，2008，31（6）:85-89，108.

［6］ TAROKH V，JAFARKHANI H，CALDERBANK A R.Space-time block coding for wireless communica-tions:performance results［J］.IEEE Journal on Selected Areas in Communications，1999，17（3）:451-460.

［7］ TORRANCE JM，HANZO L.Optimisation of switching levels for adaptive modulation in slow rayleigh fading［J］.Electronics Letters，1996，32（13）:1167-1169.

［8］ CHUNG ST，GOLDSMITH A J.Degrees of freedom in adaptivemodulation:a unified view［J］.IEEE Transactions on Communications，2001，49（9）:1561-1571.

［9］CHOIB J，HANZO L.Optimum mode-switching assisted adaptive modulation［C］//IEEE.Global Telecommunications Conference.San Antonio，USA:IEEE Press，2001:3316-3320.

［10］ LAIL S，YEH C P，CHANGW T.Switching level optimization for adaptivemodulation［C］//IEEE.IEEE 59th Vehicular Technology Conference.Milan，Italy:IEEE Press，2004:1251-1255.

［11］ CHOIB J，HANZO L.Optimum mode-switching-assisted constant-power single-and multicarrier adaptive modulation［J］.IEEE Transactions on Vehicular Technology，2003，52（3）:536-560.

［12］MSSREF A，AISSA S.Rate-adaptive M-QAM in MIMO diversity systems using space time-block codes［C］//IEEE.IEEE 15th International Symposium on Personal，Indoor and Mobile Radio Communications.Barcelona，Spain:IEEE Press，2004:2294-2298.

［13］劉長(zhǎng)安.數(shù)值分析教程［M］.西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社，2005.

LIU Chang-an.Numerical Analysis Tutorial［J］.Xi'an:Northwestern Polytechnical University Press，2005:270-273.［14］劉健，袁建平.一種求解非線性方程組的混沌算法［J］.哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，17（1）:31-34.

LIU Jian，YUAN Jian-ping.A kind of chaotic algorithm for solving nonlinear equations［J］.Journal of Harbin U-niversity of Commerce，2001，17（1）:31-34.