王建宏， 王道波

(南京航空航天大學(xué)自動化學(xué)院，南京 210016)

0 引言

顫振是飛機(jī)非線性定常氣動力和結(jié)構(gòu)彈性力交互作用的結(jié)果。為避免顫振引起的災(zāi)難性后果，飛機(jī)試飛前需要在風(fēng)洞中進(jìn)行結(jié)構(gòu)相似、剛度相似的模型顫振試驗(yàn)，然后在空中進(jìn)行亞臨界顫振試驗(yàn)。顫振辨識通常是在亞臨界條件下試驗(yàn)，從試驗(yàn)數(shù)據(jù)辨識出氣動彈性耦合系統(tǒng)的彎曲、扭轉(zhuǎn)的頻率和阻尼，并據(jù)此推算出顫振臨界速度，進(jìn)行顫振飛行邊界預(yù)測，提供飛機(jī)的適航條件，為準(zhǔn)確地對飛機(jī)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)提供前提條件。

文獻(xiàn)［1］采用一種適用于噪聲環(huán)境的廣義整體最小二乘法，辨識飛機(jī)的顫振模態(tài)參數(shù)。但是廣義整體最小二乘法的計(jì)算復(fù)雜度仍很大，并且由此所得的參數(shù)估計(jì)值具有較差的隨機(jī)漸近性和有偏性。文獻(xiàn)［2］利用頻域子空間算法辨識模型參數(shù)，此時(shí)在頻域辨識時(shí)需要保證輸入和輸出信號在觀測時(shí)間區(qū)間內(nèi)是周期信號，以保證在做離散傅里葉變換時(shí)不會產(chǎn)生混疊譜和泄露譜。另外利用線性的廣義奇異值分解求解模型參數(shù)實(shí)質(zhì)是利用奇異值截?cái)嗟姆椒?，將辨識的高階系統(tǒng)近似表示為低階系統(tǒng)，這會導(dǎo)致非主要模態(tài)辨識精度不高。文獻(xiàn)［3］利用頻域極大似然估計(jì)法(ML)辨識模型參數(shù)，但是極大似然估計(jì)的非線性損失函數(shù)需要借助于優(yōu)化迭代算法求取極小值點(diǎn)，在噪聲較大的情況下，迭代算法將有可能收斂到局部最小點(diǎn)。為解決上述問題，以及彌補(bǔ)該方法的不足，本文在顫振風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)時(shí)，針對輸入和輸出觀測數(shù)據(jù)都被噪聲污染的情況，對常規(guī)的偏差補(bǔ)償最小二乘法進(jìn)行改進(jìn)，得到一種新穎的偏差補(bǔ)償輔助變量辨識法。文獻(xiàn)［1－3］中均假設(shè)輸入和輸出噪聲為白噪聲，而這種假設(shè)條件在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)過程中是種理想狀態(tài)，很難實(shí)現(xiàn)。本文將文獻(xiàn)中的特殊情況推廣為一般的情況——輸出觀測噪聲為有色噪聲。

1 問題描述

顫振試飛試驗(yàn)的隨機(jī)模型如圖1所示。

圖1 顫振試飛試驗(yàn)中的隨機(jī)模型Fig.1 Stochastic model of the flutter test experiment

圖1中:u(t)和y(t)為包含各類噪聲的輸入和輸出測量信號;u0(t)為對飛機(jī)結(jié)構(gòu)施加的人工激勵(lì);ng(t)為大氣紊流激勵(lì)，由于飛行試驗(yàn)中不可避免地受到大氣紊流激勵(lì)的影響，作為一種不可測激勵(lì)，它所產(chǎn)生的隨機(jī)響應(yīng)將作為過程噪聲包含在測量的響應(yīng)信號中;y0(t)為輸出的振動加速度信號;(t)和(t)為傳感器產(chǎn)生的測量噪聲。飛行試驗(yàn)的激振采用火箭激振，激振點(diǎn)和傳感器布置的原則是能有效地激勵(lì)感興趣的機(jī)翼一階對稱彎曲模態(tài)，一階反對稱彎曲模態(tài)和一階對稱扭轉(zhuǎn)模態(tài)，并且能有效地測量這三階模態(tài)所對應(yīng)的響應(yīng)信號。通過估計(jì)各種飛行狀態(tài)的頻率和阻尼隨高度、速度的變化情況來確定飛機(jī)的顫振特性。在時(shí)域內(nèi)有如下關(guān)系式成立

采用有理傳遞函數(shù)模型的飛機(jī)結(jié)構(gòu)有

式中:ai和bi為多項(xiàng)式的系數(shù);na和nb為多項(xiàng)式的階數(shù)。定義pr(r=1，2，…，na)為上式中的傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，則模態(tài)頻率和阻尼系數(shù)可表示為

顯然準(zhǔn)確的傳遞函數(shù)估計(jì)是模態(tài)參數(shù)辨識的前提。

所考慮的一般條件假設(shè)為

假設(shè)1 A(q－1)的所有零點(diǎn)都在單位圓外并且A(q－1)和B(q－1)沒有共同的公因子。

2 偏差補(bǔ)償輔助變量辨識

設(shè)

其中:θ0為真實(shí)的參數(shù)矢量;為待估計(jì)的模型參數(shù)矢量;φ(t)為觀測信號的回歸矢量，類似可定義噪聲的回歸矢量(t)。利用上述定義的矢量，可將式(1)改寫為

式中，v(t)表示隨機(jī)擾動項(xiàng)。

為了簡化書寫，引進(jìn)如下的符號表示

設(shè)一新的輔助變量z(t)∈Rnz(nz≥na+nb)，考慮如下的過參數(shù)系統(tǒng)

因?yàn)槲粗哪Ｐ蛥?shù)矢量必須滿足上式，經(jīng)典的輔助變量估計(jì)值記為。

定義的輔助變量z(t)有時(shí)會滿足第1個(gè)條件，但同時(shí)與第2個(gè)條件是矛盾的。當(dāng)輔助變量中的延遲元素增加時(shí)會與回歸矢量不相關(guān)。將偏差補(bǔ)償辨識法與輔助變量法結(jié)合起來得到一種新穎的辨識方法－偏差補(bǔ)償輔助變量法。該方法的第1步是根據(jù)有色輸出噪聲來構(gòu)造輔助變量，第2步則利用偏差補(bǔ)償法來消除由輸入噪聲所導(dǎo)致的偏差。允許由輔助變量法得到的參數(shù)估計(jì)值是有偏的，這極大地放松了式(9)中的兩個(gè)條件，從而使得輔助變量的選擇空間余度增大。

定義一個(gè)包含輸入和延遲輸出的輔助變量為

利用式(8)的結(jié)果可得到對應(yīng)的輔助變量估計(jì)值為

假設(shè)有d≥na+nc，則通過簡單的計(jì)算有

將式(12)代入到式(11)有

總之，國際商法項(xiàng)目課程教學(xué)模式是以職業(yè)標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ)，以課程定位為前提，以課程目標(biāo)為指南，以課程項(xiàng)目為載體，以課程設(shè)計(jì)為依托，以課程實(shí)施為途徑，以課程評價(jià)為保障的“標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)換、理實(shí)一體”課程教學(xué)模式。該教學(xué)模式的七個(gè)環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣，遞進(jìn)展開。在第一輪教學(xué)過程結(jié)束時(shí)，課程評價(jià)的結(jié)果可以在下一輪教學(xué)活動中予以運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)循環(huán)優(yōu)化。

從式(13)可見若輸入噪聲方差λeu～，可從輔助變量估計(jì)值中減去估計(jì)值的偏差得到關(guān)于模型參數(shù)的一致性估計(jì)矢量值為

定義殘差r1為

取相關(guān)運(yùn)算得:

若b的估計(jì)值可獲得，代入上式可進(jìn)一步得到關(guān)于輸入噪聲方差λeu～的估計(jì)值為

在實(shí)際的運(yùn)算過程中可將式 (17)與式(14)相互不斷地迭代，以得到最終的一致性的參數(shù)估計(jì)矢量和一致性的輸入噪聲方差的估計(jì)值。因輸入噪聲方差λeu～的估計(jì)值依賴于參數(shù)矢量b，為了提高準(zhǔn)確的估計(jì)值可采用對數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波的方法來改善估計(jì)值的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。設(shè)一滑動平均的濾波器F(q－1)為

類似可定義對應(yīng)的殘差為

其中

取相關(guān)運(yùn)算得:

其中的Mf矩陣為如下的Toeplitz矩陣:

同樣若b的估計(jì)值可獲得，代入上式可進(jìn)一步得到關(guān)于輸入噪聲方差λeu～的估計(jì)值為

偏差補(bǔ)償輔助變量法需要有關(guān)參數(shù)矢量θ的先驗(yàn)信息如初始值的合適設(shè)定，利用相互迭代的方法來得到最優(yōu)的收斂值。將偏差補(bǔ)償輔助變量法歸納如下:

考慮偏差補(bǔ)償輔助變量辨識算法的一致性和準(zhǔn)確性，假設(shè)若能得到方差值λeu～的一致性估計(jì)，根據(jù)偏差補(bǔ)償法和輔助變量法中的相關(guān)結(jié)論可知:由偏差補(bǔ)償輔助變量辨識算法計(jì)算出來的參數(shù)估計(jì)值也是一致性的。而方差值λeu～的一致性估計(jì)可由迭代算法中的模型參數(shù)的一致性估計(jì)的特性來保證。

3 仿真實(shí)例

以某型飛機(jī)的顫振試飛數(shù)據(jù)為例［8］，采用赫伯爾特(J.C.Houholt)建立的二維機(jī)翼的顫振數(shù)學(xué)模型，輸入為人工施加的激勵(lì)信號，輸出是從測點(diǎn)集采集的加速度計(jì)測量，仿真是基于100次獨(dú)立的實(shí)驗(yàn)，500個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。將本文的方法與常規(guī)的輔助變量法進(jìn)行比較。

評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)如下:

1)算法主體的計(jì)算時(shí)間(多次運(yùn)行的平均時(shí)間，以s為單位);

真實(shí)系統(tǒng)為

白噪聲的方差分別定義為λeu～=0.14和λey～=1.45以使得對應(yīng)的輸入－輸出信號的信噪比(SNR)為10 dB。

其中，Px為信號x的平均功率。濾波器可選擇為

結(jié)果分析:對這個(gè)系統(tǒng)多次運(yùn)行偏差補(bǔ)償輔助變量算法和輔助變量算法(直到找到最優(yōu)的參數(shù)值)相應(yīng)的辨識結(jié)果見表1和表2，為簡化符號記偏差補(bǔ)償輔助變量法為BCIV，輔助變量法為IV。

表1 兩算法性能比較Table 1 Comparison of the two algorithms’

表2 系統(tǒng)傳遞函數(shù)中的參數(shù)估計(jì)值比較Table 2 The estimated parameter values of the system’s transfer function

從表1和表2可看出:因BCIV是在IV的基礎(chǔ)上得到的，它的估計(jì)性能結(jié)果優(yōu)于IV，但由于BCIV算法需要解決優(yōu)化問題，它的計(jì)算復(fù)雜度明顯要比IV復(fù)雜得多。

因模態(tài)頻率和阻尼系數(shù)可通過傳遞函數(shù)的極點(diǎn)求出來。為提高算法的效率，在線顫振分析時(shí)只需計(jì)算系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，使用傳遞函數(shù)的極點(diǎn)作為比較標(biāo)準(zhǔn)，以驗(yàn)證算法的有效性。如圖2所示，傳遞函數(shù)的真實(shí)極點(diǎn)與本文辨識方法所得到的極點(diǎn)值是非常一致的，再利用式(3)可計(jì)算出非常準(zhǔn)確的模態(tài)參數(shù)值。為了驗(yàn)證分子多項(xiàng)式辨識的結(jié)果，將本文方法與經(jīng)典輔助變量方法進(jìn)行比較，圖3給出了真實(shí)系統(tǒng)和本文辨識方法所得系統(tǒng)Bode plot之間的逼近程度。圖4給出了真實(shí)系統(tǒng)和輔助變量方法所得系統(tǒng)的Bode plot。如圖3所示，二者吻合得較好，如圖4所示，在低頻處兩曲線有明顯的分離誤差，這表明在噪聲環(huán)境下利用本文的辨識方法可獲得與理論值相吻合的傳遞函數(shù)估計(jì)結(jié)果，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文算法的有效性。

圖2 傳遞函數(shù)的真實(shí)極點(diǎn)和估計(jì)極點(diǎn)的比較Fig.2 Comparision of the true poles and estimated poles about the transfer function

圖3 真實(shí)系統(tǒng)與估計(jì)系統(tǒng)Bode圖之間的比較Fig.3 Comparision of the Bode Plot between the true system and estimated system

圖4 真實(shí)系統(tǒng)與IV估計(jì)系統(tǒng)Bode圖之間的比較Fig.4 Comparision of the Bode Plot between the true system and IV estimated system

4 結(jié)論

本文采用偏差補(bǔ)償輔助變量辨識法，準(zhǔn)確地辨識出飛機(jī)的顫振模態(tài)參數(shù)，同常規(guī)的輔助變量辨識算法相比，該算法采用相互迭代的方式來求解傳遞函數(shù)模型中的系數(shù)和噪聲的方差值，解決了實(shí)驗(yàn)中常見的輸入噪聲為白噪聲，輸出噪聲為有色噪聲的情況。因本文算法融入了偏差補(bǔ)償校正過程，這就使得辨識精度高，能夠增強(qiáng)在線辨識的辨識精度。

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