張晨艷，何秀鳳，常 亮

（河海大學衛(wèi)星及空間信息應用研究所，江蘇 南京210098）

0 引 言

GPS精密星歷由國際衛(wèi)星導航服務（IGS）、美國國家大地測量局（NGS）等分析中心發(fā)布，給出了衛(wèi)星在國際地球參考架（ITRF）中的三維坐標及衛(wèi)星鐘差，其中最終星歷的精度小于5cm，可以滿足高精度定位的要求［1]。GPS精密星歷的數據采樣間隔一般為15min，但在實際應用中，GPS接收機的采樣率為30s、15s、5s，甚至更密［2－4]。因此，需要將GPS精密星歷進行內插或外推以得到特定歷元的GPS衛(wèi)星的精密軌道。另外，幾乎所有的GPS數據處理都需要對GPS精密星歷進行內插或外推，無論是GPS相對定位還是精密單點定位，都需要某時刻的衛(wèi)星位置才能順利建立各個歷元的觀測方程［4－5]。

國內外比較常用的GPS精密星歷插值方法是Lagrange多項式插值、Neville多項式插值、Chebyshev多項式擬合、Trigonometric多項式插值等方法［5]。由于這些多項式插值方法隨著階數的增加，出現(xiàn)精度衰減或不穩(wěn)定的問題。對這一問題，本文提出了移動區(qū)間的概念，在精密星歷內插的過程中，通過使被插值節(jié)點始終位于移動區(qū)間內，提高了上述多項式插值方法的精度，插值精度更加穩(wěn)定。

采用移動區(qū)間的方法比較7家GPS分析中心所提供的精密星歷的質量。7家提供GPS精密星歷的分析中心分別是：國際GNSS服務（IGS）、美國國家大地測量局（NGS）、加拿大自然資源部（NRCan）、歐洲航天局（ESA）、噴氣動力試驗室（JPL）、麻省理工學院（MIT）、斯科利普斯海洋研究所（SIO），它們提供的數據產品的名稱分別為：igs、ngs、emr、esa、jpl、mit、sio.然后采用數據質量較好的精密星歷，利用基于移動區(qū)間的插值方法，比較隨著階數的增加、插值方法的變化插值精度的變化情況。

2 幾種GPS精密星歷插值方法

2.1 Lagrange多項式插值

設有n＋1個節(jié)點歷元t0，t1，t2…，tn，對應的精密星歷坐標某項為：x0，x1，x2…，xn，則計算相應時刻衛(wèi)星坐標的n階插值多項式為［7－11]：

利用公式（1）分別對衛(wèi)星坐標的三個分量（X，Y，Z）進行插值計算，即可得到觀測時刻衛(wèi)星的坐標。

2.2 Neville插值

Neville插值是一種線性逐次插值，其基本思想是通過低一次多項式的組合來獲得高一次插值多項式。首先求出若干個一次插值多項式的值，用一次多項式兩兩組合得到若干個二次插值多項式的值，利用二次多項式之間兩兩組合得到三次多項式得到值，依次采用迭代方式求出各插值節(jié)點的值。

設有n＋1個歷元時刻t0，t1，t2…，tn對應的精密星歷坐標某項為：x0，x1，x2…，xn，令Ti，0＝xi（i＝0，1，2…n），則有［8]

2.3 三角多項式（Trigonometric）插值

三角多項式插值的函數為

式中：t為精密星歷的歷元時刻；T（t）為歷元t對應的衛(wèi)星的坐標分量（X，Y，Z）；a0、ai、bi（i＝1，2，…，n）為待求系數；ω為特征因子。根據衛(wèi)星的運動周期，對于慣性系下的軌道，ω＝2π／0.997 269 566 34.其中，0.997 269 566 34為恒星時與太陽時的比率，而對于地心地固坐標系下的軌道縮小了一倍，即ω＝2π／2×0.997 269 566 34.三角函數多項式插值中考慮了衛(wèi)星坐標在兩種框架下各自的周期特性［1，2，10]。

3 移動區(qū)間的精密星歷插值方法

采用上述的多項式插值方法進行精密星歷的內插時，隨著階數的增加，插值會發(fā)生衰減或不穩(wěn)定現(xiàn)象。例如，Lagrange多項式插值隨著階數的增加會出現(xiàn)龍格（Runge）振蕩現(xiàn)象，插值結果在端點處誤差比較大，基于此提出了基于移動區(qū)間的GPS精密星歷插值方法。

移動區(qū)間的定義：以一個指定大小的區(qū)間以固定的步長在二維空間中移動，移動時，即可采用某種多項式插值計算每個區(qū)間內的待插值節(jié)點對應的坐標值，此區(qū)間即稱為移動區(qū)間。在GPS精密星歷內插的過程中，當所有插值節(jié)點按遞增或遞減排列時，移動區(qū)間的選取為位于插值節(jié)點序列中間的兩個插值節(jié)點構成的區(qū)間，也就是說插值節(jié)點始終位于插值范圍的中心［4]。例如我們想要得到6階多項式，每次插值需要7個節(jié)點完成插值，而被插值點始終是位于第三個到第四個點之間。第一個點到第七個點就是第一個插值區(qū)間，第三個節(jié)點到第四個節(jié)點稱為移動區(qū)間，僅用來插值位于移動區(qū)間之間的被插值節(jié)點。插值區(qū)間和移動區(qū)間在該次插值過程中區(qū)間的大小始終保持不變，每次將窗口向后移動一個歷元的距離，僅用來插值位于移動區(qū)間兩個歷元之間的被插值點［6]。

基于移動區(qū)間的精密星歷內插的實現(xiàn)步驟如下所示：

1）移動區(qū)間的起始節(jié)點t＿start和終止節(jié)點t＿end的確定

①Trigonometric插值起始節(jié)點和終止節(jié)點的

確定：m階插值需要2m＋2個插值節(jié)點t1，t2，…，t2m＋1，t2m＋2，所對應的坐標值為 X1，X2，…，X2m＋1，X2m＋2，設｛Xi｝單調遞增（i＝1，…，2m＋1，2m＋2）。起始節(jié)點和終止節(jié)點分別為：［t＿start，t＿end]＝［tm＋1，tm＋2]，［t1，t2m＋2]為插值區(qū)間。

②Lagrange插值和Neville插值起始節(jié)點和終止節(jié)點的確定：m階插值需要m＋1個插值節(jié)點t1，t2，…，tm＋1，所 對 應 的 坐 標 值 為 X1，X2，…，Xm＋1，設 ｛Xi｝單調遞增（i＝1，…，m，m＋1）.

當m＝2n＋1時，［t＿start，t＿end]＝［tn＋1，tn＋2]，n＝1，2，…，插值區(qū)間為［t1，tm].

當m＝2n時，［t＿start，t＿end]＝［tn，tn＋1]，n＝1，2，…，插值區(qū)間為［t1，tm].

2）選取插值區(qū)間節(jié)點［t1，t2m＋2]或［t1，tm]處的坐標值為［X1，X2m＋2]或［X1，Xm].

3）采用移動區(qū)間的方法進行精密星歷的插值計算。

① Trigonometric插值：插值區(qū)間為［t1，t2m＋2]，用 Trigonometric插值求出［tm＋1.tm＋2]內各節(jié)點所對應的坐標值。

②Lagrange插值、Neville插值：當m＝2n＋1時，插值區(qū)間為［t1，tm]，可用 Lagrange插值或Neville插值求出［tn＋1，tn＋2]內各節(jié)點所對應的坐標值；當 m＝2n 時，插值區(qū)間［t1，tm]，可 用Lagrange插值或 Neville插值求出［tn，tn＋1]內各節(jié)點所對應的坐標值。

4 實驗結果與分析

以30min間隔的衛(wèi)星位置插值15min間隔的衛(wèi)星位置。采用2011年1月29日PRN2的15 min間隔的精密星歷，精密星歷數據是由以下分析中心提供的：IGS、NGS、ESA、NRCan、ESA、JPL、MIT、SIO。利用相關程序提取各分析中心30min間隔的衛(wèi)星位置作為已知的插值節(jié)點，將各分析中心的衛(wèi)星位置求平均值作為15min間隔的衛(wèi)星位置的真值，采用基于移動區(qū)間的插值方法進行插值計算，比較出各分析中心的數據質量，采用數據質量比較好的分析中心提供的數據進行插值計算，分析隨著插值階數的增加，插值方法的變化，插值精度的變化情況。

4.1 不同數據產品的數據質量比較

分別將7家分析中心2011年1月29日PRN2的30min間隔的數據采用基于移動區(qū)間的Lagrange多項式插值、Neville多項式插值、Trigonometric多項式插值方法進行插值計算，插值到11階。將插值結果與各分析中心的平均值即真值之間進行求差，得到的結果如下圖所示。

圖1、圖2和圖3中各分析中心的插值結果與真值的坐標差是基于移動區(qū)間的Lagrange多項式、Neville多項式、Trigonometric多項式在11階時與真值的坐標差。在圖1、圖2、圖3中畫兩條額外的深虛線，分析各圖可知：由IGS提供的精密星歷數據經過內插之后與真值之差全部在±2cm之內，而其他分析中心的數據產品的插值結果與真值之差有部分數據落在虛線外。因此，IGS分析中心提供的精密星歷質量比較好，在將來的計算中，需要特定時間間隔的衛(wèi)星位置時，首選IGS提供的精密星歷數據進行插值計算。

圖1 不同數據產品基于移動區(qū)間的Lagrange插值結果與真值之差的比較圖

4.2 各插值方法精度比較

經過上面的實驗分析，IGS分析中心提供的精密星歷數據質量比較好。將IGS提供的2011年1月29日PRN2的30min間隔的精密星歷分別采用基于移動區(qū)間的Lagrange插值、Neville插值、Trigonometric插值內插到15min，并與IGS提供的15min間隔的數據（稱為真值）進行比較。計算結果如表1所示。

進行分析可知：

1）Lagrange插值方法和Neville插值方法的插值精度相同。

2）采用基于移動區(qū)間的插值方法收斂比較迅速，并且隨著階數的增加，插值精度比較穩(wěn)定，在特定的階數下Neville多項式插值和Trigonometric多項式插值方法均能達到亞厘米級的精度。

3）基于移動區(qū)間的Neville多項式插值在11階時可以滿足精度要求，并且在11階以后收斂，可以達到亞厘米級的精度，而Trigonometric收斂速度更快，在4階時就能滿足精度要求，并且在4階以后收斂，同樣，也能達到亞厘米級的精度要求且精度保持穩(wěn)定。

4）基于移動區(qū)間的Neville插值方法的收斂速度較Trigonometric插值方法慢，而Trigonometric插值方法理論知識比Neville插值方法復雜，但是Trigonometric插值方法考慮了衛(wèi)星坐標分量的周期性，本身精度就很高，加上移動區(qū)間的方法，使其精度更加穩(wěn)定，因此，Trigonometric多項式插值方法是實現(xiàn)衛(wèi)星位置內插計算的一種行之有效的方法。

對表1為了進一步比較三種方法的插值精度，將多項式插值到12階的結果與真值之間求差，由于Lagrange與Neville插值精度相同，本文只比較Neville與Trigonometric的插值精度。結果如圖4所示。

表1 基于移動區(qū)間的Lagrange插值、Neville插值和Trigonometric插值結果

圖4 兩種插值方法結果比較

圖4為Neville多項式、Trigonometric多項式插值到12階時與真值之差。分析圖4可知：

1）對于Neville插值方法X和Y方向的誤差在±1cm，Z方向的誤差在±5cm之內，對于Trigonometric插值方法，X和Y方向的誤差在±5mm，Z方向的誤差在±2mm之內。因此，基于移動區(qū)間的Trigonometric多項式插值精度比基于移動區(qū)間的Neville多項式插值精度高。

2）圖中畫出的是兩種插值方法插值到12階時的情形，結合表1可以得出，當插值階數上升到一定的程度，兩種插值方法的精度相差不大。但就收斂速度而言，基于移動區(qū)間的Trigonometric多項式插值方法的收斂速度比其他兩種插值方法都要快，并且插值精度整體上優(yōu)于Neville多項式插值和Lagrange多項式插值的插值精度。

5 結 論

1）在精密星歷內插的過程中，單獨使用Lagrange、Neville、Trigonometric等插值方法，隨著階數的增加，插值精度會發(fā)生衰減或不穩(wěn)定的現(xiàn)象，本文提出的基于移動區(qū)間的插值方法有效的解決了這一問題，插值精度較高且插值結果穩(wěn)定。

2）利用提出的基于移動區(qū)間的插值方法對7家分析中心的數據進行插值計算，IGS提供的精密星歷數據質量比較好。

3）用IGS提供的30min間隔的數據進行插值15min間隔的數據采用基于移動區(qū)間的12階的Lagrange插值、12階Neville插值或基于移動區(qū)間的6階Trigonometric插值，這些方法都可以達到亞厘米級的精度，滿足精密定位的要求。在今后的應用中，15min插值5min、5min插值30s等均可采用本文提出的移動區(qū)間方法進行精密星歷的插值計算。

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