葛洪磊,劉 南

(1.浙江大學(xué) 管理學(xué)院，杭州 310058；2.寧波理工學(xué)院，浙江 寧波 315100)

0 引言

應(yīng)急物資分配是指為應(yīng)對(duì)突發(fā)事件而對(duì)物資（包括應(yīng)急設(shè)施、帳篷、生活用品、醫(yī)療藥品及器械、食品等）進(jìn)行緊急保障的一種特殊物流活動(dòng)[1][2]。應(yīng)急物資的有效配置是提升應(yīng)急救援、減災(zāi)救災(zāi)能力的關(guān)鍵[3]。而有效配置應(yīng)急物資的前提是有效獲取突發(fā)事件的關(guān)鍵災(zāi)情信息[3]，如災(zāi)害發(fā)生的位置及范圍數(shù)據(jù)、災(zāi)害屬性數(shù)據(jù)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、基礎(chǔ)設(shè)施環(huán)境數(shù)據(jù)、救災(zāi)物資數(shù)據(jù)、歷史案例等[4][5]。盡管已經(jīng)有很多技術(shù)可以用于突發(fā)事件信息的獲取[6][7]，如全球定位系統(tǒng)（GPS）、遙感技術(shù)（RS）、地理信息系統(tǒng)（GIS）等，但是精確的、實(shí)時(shí)的受災(zāi)點(diǎn)災(zāi)情信息往往難以識(shí)別和獲得[3]，需要進(jìn)行序貫觀測(cè)、評(píng)估和處理。如2008年汶川地震發(fā)生后，“災(zāi)害評(píng)估人員最先趕到北川縣，對(duì)受災(zāi)情況、傷亡人數(shù)、救援條件等做出評(píng)估，把最新的災(zāi)情、災(zāi)區(qū)最需要哪些東西匯報(bào)給指揮部”[8]。

盡管在應(yīng)急物資配置中實(shí)時(shí)災(zāi)情信息的觀測(cè)和更新非常重要，但是只有少數(shù)應(yīng)急管理的相關(guān)研究考慮這一因素[9～11]。馮嘉禮等[9]提出了在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的核事故應(yīng)急貝葉斯決策模型，以提高應(yīng)急決策支持系統(tǒng)的決策精度。Emmett[10]使用貝葉斯分析將不斷獲得的颶風(fēng)風(fēng)速信息融合到應(yīng)對(duì)颶風(fēng)的物資儲(chǔ)備決策中，建立了一個(gè)修正的報(bào)童庫(kù)存模型。Sheu[11]在大規(guī)模自然災(zāi)害的不完全信息條件下，通過數(shù)據(jù)融合、模糊聚類分析和多準(zhǔn)則決策等步驟建立了一個(gè)應(yīng)急物資動(dòng)態(tài)需求信息的預(yù)測(cè)、分類與管理模型。

基于現(xiàn)有研究的不足，本文將在突發(fā)事件災(zāi)情信息不斷觀測(cè)和更新條件下，研究應(yīng)急物資分配優(yōu)化決策問題。首先討論應(yīng)急物資分配的損失函數(shù)；然后建立以貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)最小為目標(biāo)的優(yōu)化模型，通過貝葉斯分析求解最優(yōu)觀測(cè)次數(shù)和最優(yōu)物資分配量，最后以汶川地震中11個(gè)重災(zāi)區(qū)應(yīng)急帳篷的分配為案例進(jìn)行實(shí)證分析。

1 建立模型

自然災(zāi)害發(fā)生后，由一個(gè)物資分配中心向m(k=1,…,m)個(gè)受災(zāi)點(diǎn)分配應(yīng)急物資。由于災(zāi)情復(fù)雜、通信中斷等原因，物資分配中心不能精確把握受災(zāi)點(diǎn)的應(yīng)急物資需求，需要基于先驗(yàn)判斷并通過觀測(cè)受災(zāi)點(diǎn)災(zāi)情信息進(jìn)行物資分配決策。對(duì)受災(zāi)點(diǎn)災(zāi)情觀測(cè)和評(píng)估次數(shù)越多，物資需求信息越精確，物資分配決策失誤帶來(lái)的損失就越小，但是隨著觀測(cè)時(shí)間的增加，物資分配決策延遲所造成的延誤損失卻越大。因此，在應(yīng)急物資分配過程中，為了減小總的損失，需要確定災(zāi)情信息的最優(yōu)觀測(cè)次數(shù)和最優(yōu)物資分配量。

1.1 假設(shè)

（1）突發(fā)事件某些災(zāi)情信息的先驗(yàn)分布是已知的

對(duì)于臺(tái)風(fēng)（颶風(fēng)）、地震、洪水、干旱、海嘯等自然災(zāi)害，各國(guó)都建立了相對(duì)比較完備的數(shù)據(jù)庫(kù)，如美國(guó)國(guó)家海洋和大氣管理局(NOAA)的國(guó)家氣候數(shù)據(jù)中心、國(guó)家地球物理數(shù)據(jù)中心、國(guó)家海洋數(shù)據(jù)中心等三大數(shù)據(jù)中心，中國(guó)國(guó)家科學(xué)數(shù)據(jù)共享工程中的氣象科學(xué)數(shù)據(jù)共享中心、環(huán)境科學(xué)數(shù)據(jù)共享中心、地震科學(xué)數(shù)據(jù)共享中心等數(shù)據(jù)共享中心等。這些數(shù)據(jù)庫(kù)的大量歷史數(shù)據(jù)為獲得自然災(zāi)害某些災(zāi)情信息的先驗(yàn)分布奠定了基礎(chǔ)。設(shè)受災(zāi)點(diǎn)k某一災(zāi)情信息，如受災(zāi)比例θk∈Θ，具有先驗(yàn)密度π()θk服從N(μ,τ2)。

（2）災(zāi)害發(fā)生后，受災(zāi)比例等災(zāi)情信息不斷得到觀測(cè)和修正

目前，遙感影像、媒體信息、地方上報(bào)災(zāi)情數(shù)據(jù)、地面調(diào)查數(shù)據(jù)等都成為獲取災(zāi)情信息的重要途徑，從而使災(zāi)情信息不斷得到觀測(cè)和修正。假設(shè)受災(zāi)比例是可以觀測(cè)的災(zāi)情信息，可以通過觀測(cè)受災(zāi)樣本區(qū)房屋倒塌或房屋損壞比例、人口的受災(zāi)比例等來(lái)確定。設(shè)是觀測(cè)到的受災(zāi)點(diǎn)k受災(zāi)比例的序貫樣本，觀測(cè)樣本的條件密度f(wàn)k( )xk|θk服從分布，觀測(cè)方差取決于觀測(cè)條件、觀測(cè)方法的精度等。設(shè)觀測(cè)到樣本值xk后得到受災(zāi)比例的后驗(yàn)分布為

（3）受災(zāi)點(diǎn)對(duì)應(yīng)急物資的需求量可以表達(dá)為受災(zāi)比例的函數(shù)

設(shè)第k個(gè)受災(zāi)點(diǎn)災(zāi)前總?cè)丝跒镼k，受災(zāi)比例為θk，單位受災(zāi)人口對(duì)應(yīng)急物資需求量為β，基于文獻(xiàn)[12][13]，得到受災(zāi)點(diǎn)k對(duì)應(yīng)急物資的需求量dk=βθkQk。則應(yīng)急物資需求量的先驗(yàn)分布 π(dk)服從

（4）應(yīng)急物資分配決策相關(guān)的損失包括決策失誤損失和決策延誤損失兩類損失

設(shè)物資分配量為s，由于信息不確定導(dǎo)致物資分配量不能正好等于物資需求量，設(shè)由此造成的決策失誤損失為平方誤差損失，即

該損失為物資分配后的損失。同時(shí)，觀測(cè)引起應(yīng)急物資延遲分配從而造成受災(zāi)點(diǎn)的損失稱為決策延誤損失，該損失為物資分配前的損失。設(shè)每次觀測(cè)時(shí)間帶來(lái)的決策延誤損失為ck=ηkμQk，其中ηk表示延誤損失的地區(qū)系數(shù)，可以根據(jù)受災(zāi)點(diǎn)的易損性、與災(zāi)害中心的距離等確定。對(duì)受災(zāi)比例觀測(cè)nk次后進(jìn)行物資分配時(shí)，總的損失等于決策失誤損失與決策延誤損失之和，則第k個(gè)受災(zāi)點(diǎn)的損失函數(shù)可以表示為

1.2 模型

根據(jù)問題描述，其目標(biāo)是最小化對(duì)各受災(zāi)點(diǎn)進(jìn)行物資分配的貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)，并求出最優(yōu)觀測(cè)次數(shù)和最優(yōu)物資分配量，因此，問題的模型為

2 模型求解

本問題是一個(gè)貝葉斯決策問題，基于文獻(xiàn)[17]，求解該問題的步驟如下：

步驟1分別求解受災(zāi)比例的后驗(yàn)分布π(θk|xk)和物資需求量的后驗(yàn)分布π(dk|xk)。

定理1[15]如果隨機(jī)變量θ的先驗(yàn)分布 π(θ)為N(μ,τ2)，其中μ和τ2皆已知，并且其觀測(cè)樣本X的條件密度f(wàn)(x|θ)為N(θ,σ2)，其中θ未知，σ2已知，根據(jù)貝葉斯公式，給定序貫樣本 Χn后θ的后驗(yàn)分布 π(θ|x)服從其中，為序貫樣本 Χn觀測(cè)值的均值。

根據(jù)定理1得到，給定受災(zāi)點(diǎn)k受災(zāi)比例的序貫觀測(cè)樣本后，該受災(zāi)點(diǎn)受災(zāi)比例θk的后驗(yàn)分布π(θk|xk)服從，其中，說明使用觀測(cè)值進(jìn)行更新后，災(zāi)情信息的不確定性逐漸減小。同時(shí)，可以得到受災(zāi)點(diǎn)k應(yīng)急物資需求量的后驗(yàn)分布

步驟2通過最小化物資分配量的后驗(yàn)期望損失求出貝葉斯決策法則。

對(duì)受災(zāi)點(diǎn)k應(yīng)急物資分配量sk的后驗(yàn)期望損失為

該貝葉斯決策法則等于受災(zāi)點(diǎn)k物資需求量的后驗(yàn)均值。

步驟3最小化貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)，求出最優(yōu)觀測(cè)次數(shù)和最優(yōu)物資分配量。

其中，m(xk)為邊際密度。

假設(shè)n為連續(xù)變量，令，求出受災(zāi)點(diǎn)k受災(zāi)比例的最優(yōu)觀測(cè)次數(shù)：

由于rk(π)對(duì)nk的二階導(dǎo)數(shù)為正，故rk(π)對(duì)nk是嚴(yán)格凸的，為rk(π)最小時(shí)的觀測(cè)次數(shù)。當(dāng)時(shí)，最優(yōu)觀測(cè)次數(shù)即為0。當(dāng)時(shí)，可能為小數(shù)，對(duì)向下取整表示為，則最優(yōu)觀測(cè)次數(shù)整數(shù)值等于使得rk(π)更小的[n*]或[n*]+1。

將受災(zāi)點(diǎn)k受災(zāi)比例的最優(yōu)觀測(cè)次數(shù)代入式(3)的貝葉斯決策法則，可以求出對(duì)受災(zāi)點(diǎn)k的最優(yōu)物資分配量

3 實(shí)證分析

3.1 災(zāi)害情況與參數(shù)

2008年5月12 日汶川地震發(fā)生后，第二天災(zāi)情快速評(píng)判結(jié)果顯示，北川縣、汶川縣等11個(gè)縣（市、區(qū)）為地震重災(zāi)區(qū)，其災(zāi)前人口Qk如表1所示[13]。應(yīng)急帳篷是災(zāi)區(qū)受災(zāi)人員的生活必需品，假設(shè)災(zāi)民對(duì)應(yīng)急帳篷的需求量為0.25頂/人[14]，即k=0.25。假設(shè)地震重災(zāi)區(qū)受災(zāi)比例θk的先驗(yàn)分布服從正態(tài)分布N(0.57242,0.326412)，即μ=0.57242，τ=0.32641。不同重災(zāi)區(qū)災(zāi)情觀測(cè)條件和觀測(cè)方法不同，如衛(wèi)星遙感、現(xiàn)場(chǎng)評(píng)估、災(zāi)區(qū)主動(dòng)上報(bào)、詢問受災(zāi)人員等方式，導(dǎo)致觀測(cè)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差有差異。假設(shè)各重災(zāi)區(qū)觀測(cè)樣本服從正態(tài)分布，σk取值如表1所示。各重災(zāi)區(qū)延誤損失的地區(qū)系數(shù)分別如表1所示。災(zāi)害發(fā)生后，物資調(diào)配部門根據(jù)災(zāi)情先驗(yàn)信息和序貫觀測(cè)信息向11個(gè)重災(zāi)區(qū)分配應(yīng)急帳篷。

表1 四川省汶川地震重災(zāi)區(qū)相關(guān)數(shù)據(jù)

3.2 最優(yōu)觀測(cè)次數(shù)與最優(yōu)物資分配量

表2 災(zāi)情信息最優(yōu)觀測(cè)次數(shù)

以重災(zāi)區(qū)北川縣為例，使用MATLAB7.0可以對(duì)最優(yōu)觀測(cè)次數(shù)與受災(zāi)比例觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差σ1、延誤損失的地區(qū)系數(shù)η1之間的關(guān)系進(jìn)行模擬，結(jié)果如圖1所示。其中，受災(zāi)比例觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差σ1的取值范圍為[0,0.5]，延誤損失的地區(qū)系數(shù)η1的取值范圍為[100,1500]。可以發(fā)現(xiàn)，隨著延誤損失的地區(qū)系數(shù)變大，最優(yōu)觀測(cè)次數(shù)會(huì)減少，說明延誤損失越大，就越應(yīng)該減少觀測(cè)次數(shù)，快速反應(yīng)和及時(shí)決策更加重要。在延誤損失的地區(qū)系數(shù)很大時(shí)，最優(yōu)觀測(cè)次數(shù)隨著受災(zāi)比例觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差的增大而先增大后減小，說明延誤損失很大時(shí)，如果不具備觀測(cè)條件或觀測(cè)誤差較大，都應(yīng)減少觀測(cè)次數(shù)；而在延誤損失的地區(qū)系數(shù)較小時(shí)，最優(yōu)觀測(cè)次數(shù)隨著受災(zāi)比例觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差的增大而增大，說明延誤損失較小時(shí)，即使觀測(cè)條件不佳或觀測(cè)誤差較大，也應(yīng)該適當(dāng)增加觀測(cè)次數(shù)。

假設(shè)對(duì)于最優(yōu)觀測(cè)次數(shù)不為零的重災(zāi)區(qū)進(jìn)行序貫觀測(cè)的觀測(cè)值如表3所示。

圖1 北川縣受災(zāi)比例最優(yōu)觀測(cè)次數(shù)的模擬

表3 受災(zāi)比例序貫觀測(cè)的觀測(cè)值

4 結(jié)論

本文通過貝葉斯分析方法，建立了自然災(zāi)害災(zāi)情信息實(shí)時(shí)觀測(cè)和更新條件下的應(yīng)急物資分配決策模型，得到了災(zāi)情信息最優(yōu)觀測(cè)次數(shù)和最優(yōu)物資分配量。實(shí)證分析說明該模型綜合利用了災(zāi)情信息的先驗(yàn)信息和觀測(cè)信息，更加符合自然災(zāi)害的現(xiàn)實(shí)情景，使得應(yīng)急物資分配決策更加科學(xué)。災(zāi)情信息更新是自然災(zāi)害的一個(gè)基本特征，貝葉斯分析模型不但可以用于應(yīng)急物資分配決策，還可以用于救災(zāi)人員調(diào)度、受災(zāi)人員疏散、應(yīng)急物資儲(chǔ)備等應(yīng)急決策中。

表4 各地震重災(zāi)區(qū)應(yīng)急帳篷分配量（頂）

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