莫達(dá)隆,宋立新

（1.賀州學(xué)院，廣西 賀州542800；2.大連理工大學(xué)，遼寧大連 116024）

0 引言

門限自回歸模型TAR是Tong.H于1978年提出來的,此后Tong和Lim(1980年)又給出了自激發(fā)門限自回歸模型SETAR。由于SETAR模型能根據(jù)自變量的變化，選擇不同的線性模型，這種選擇轉(zhuǎn)換被稱之為機(jī)制轉(zhuǎn)換。正是這種機(jī)制轉(zhuǎn)換特征恰好描述了現(xiàn)實(shí)生活的大量現(xiàn)象,如經(jīng)濟(jì)、金融、氣候等領(lǐng)域的現(xiàn)象,這些領(lǐng)域的數(shù)據(jù)受多種因素影響，觀測值序列呈現(xiàn)跳躍性的變化，使得SETAR模型在這些領(lǐng)域的數(shù)據(jù)分析中得到廣泛應(yīng)用。

正如SETAR模型應(yīng)用者的研究發(fā)現(xiàn),SETAR模型是利用門限空間來改進(jìn)線性逼近,現(xiàn)實(shí)生活的各種系統(tǒng)卻充滿著時變性,要提高預(yù)測的準(zhǔn)確性,預(yù)測系統(tǒng)模型的回歸系數(shù)也應(yīng)該時常得到更新。本文提出隨機(jī)系數(shù)SETAR模型及其應(yīng)用，并假設(shè)其回歸系數(shù)是一個隨機(jī)時間變化的隨機(jī)系數(shù)，給出了回歸系數(shù)的估計方法.實(shí)證研究證明,所建立的模型能更準(zhǔn)確地擬合現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)序列,為拓展SETAR模型的應(yīng)用提供了一種新的方法。

1 隨機(jī)系數(shù)SETAR模型

設(shè)

把(3)式寫成向量形式:

其中,Y是觀測值xt,t=p+1,p+2,…,n,

1.1 模型識別和估計

設(shè)xt,t=1,…,n是依時間順序排列的n個觀測值，現(xiàn)要估計參數(shù)A,d，確定階數(shù)p和分割{ }Rj.具體步驟如下：

步驟一，假設(shè)階數(shù)p和分割{ }Rj已知.根據(jù)觀測值xt,t=1,…,n給出A的條件最小二乘估計（CLSE），即極小化如下的殘差平方和：

記A的CLSE值為，則

但由(3)式可知，模型(4)是一個異方差模型，宜用加權(quán)最小二乘法對模型(4)的系數(shù)A進(jìn)行估計，加權(quán)最小二乘估計為

其中,D=diag(dp+1,dp+2,…,dn)是權(quán)矩陣

具體計算權(quán)矩陣D時，可用模型（4）的CLSE估計的殘差估計量作為對角線元素來構(gòu)造權(quán)矩陣D的初步估計。dt是隨時間變化的，經(jīng)過權(quán)矩陣D的作用有可能尚未把異方差的因素去掉，可重復(fù)地對模型(4)進(jìn)行加權(quán)最小二乘法估計,迭代到模型的殘差平方和穩(wěn)定為止。

步驟二，估計Ri.固定d，關(guān)于R極小化，可先根據(jù)數(shù)據(jù)序列直觀分析，預(yù)先確定一些門限候選值，在這些值處比較最優(yōu)殘差平方和Qn(A)的大小，取使得Qn(A)最小的候選值作為。例如,先將數(shù)據(jù)序列從小到大重新排列，以位于數(shù)據(jù)量0.25，0.35，0.45，0.55，0.65和0.75分位數(shù)處的xt的取值作為門限候選值。

步驟三,關(guān)于d極小化,估計d.對每個固定d，先對j=1,2,…,l，極小化（4）式，然后選擇使得（5）式達(dá)到最小。

1.2 隨機(jī)系數(shù)SETAR的統(tǒng)計檢驗

隨機(jī)系數(shù)SETAR的統(tǒng)計檢驗包括三個方面:

(1)殘差的常規(guī)檢驗.如殘差的獨(dú)立性、正態(tài)性和等方差性檢驗。

(2)非線性檢驗。這里應(yīng)用廣義似然比檢驗方法,該方法假設(shè)檢驗問題是：

H0:a1i=a2i=…=ali,i=0,1,2,...,p

H1:a1i,a2i,…ali,.i=0,1,2,…,p不全相等。

構(gòu)造其統(tǒng)計量為：

2 實(shí)例分析

2.1 數(shù)據(jù)獲取和初步分析

取廣西外經(jīng)貿(mào)2005年1月－2010年4月的出口數(shù)據(jù)為例分析之(見表1，數(shù)據(jù)來源：廣西商務(wù)之窗http://guangxi.mofcom.gov.cn/.統(tǒng)計數(shù)據(jù)中的進(jìn)出口數(shù)據(jù)，單位：萬美元)。其中,取2005年1月～2009年12月的出口數(shù)據(jù)作為分析數(shù)據(jù),2010年1月～4月為預(yù)測用的數(shù)據(jù)。（所用統(tǒng)計軟件為eviws和R語言，自行編程）

為初步觀察數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性，作廣西累計出口月金額數(shù)據(jù)序列圖和相關(guān)函數(shù)圖。由此可以判斷：廣西累計出口月金額數(shù)據(jù)序列有明顯長期趨勢，因是月度數(shù)據(jù)，很有可能存在季節(jié)趨勢?？捎嬎闫浼竟?jié)指數(shù)，若存在季節(jié)趨勢可先剔除季節(jié)趨勢，再通過單位根（ADF）檢驗其平穩(wěn)性，并確定長期趨勢是確定性趨勢還是隨機(jī)性趨勢，從而選擇適當(dāng)方法剔除長期趨勢即可得到一平穩(wěn)序列。

表1

剔除季節(jié)趨勢的方法有季節(jié)差分、計算季節(jié)指數(shù)再消除季節(jié)因素等方法，因為該原始序列的容量較少(n=64)，如果用季節(jié)差分消除季節(jié)因素，勢必會缺失相當(dāng)多的數(shù)據(jù)。所以通過計算季節(jié)指數(shù)消除季節(jié)因素的方法剔除季節(jié)變動。用移動平均法，得廣西累計出口月金額數(shù)據(jù)的季節(jié)指數(shù)表(見表2)：

根據(jù)季節(jié)指數(shù)發(fā)現(xiàn)，原序列有季節(jié)趨勢，在上半年和下半年稍有變化.可剔除季節(jié)趨勢，設(shè)剔除原序列中的季節(jié)因素后的序列為{Zt}。

2.2 對序列{Zt}進(jìn)行ADF檢驗，確定序列均勢類型

經(jīng)嘗試，有如下結(jié)果：（見圖1，見圖2）

圖1、圖2顯示：檢驗t統(tǒng)計量值是-0.491272,大于顯著水平為5%和10%的臨界值，同時時間項T的t統(tǒng)計量小于臨界值，可斷定序列{Zt}存在單位根，是具有隨機(jī)性趨勢的時間序列，對其零均值化，得到的新序列設(shè)為{Yt}。因序列{Yt}是具有隨機(jī)性趨勢的時間序列，要通過差分的方法來消除隨機(jī)性趨勢。

表2

圖1

圖2

經(jīng)嘗試，對{Yt}兩階差分（仍設(shè)為序列{Yt}）后進(jìn)行ADF檢驗，檢驗t統(tǒng)計量值是-8.906645,小于顯著水平為5%和10%的臨界值，時間項T的t統(tǒng)計量也小于臨界值，表明序列{Yt}是平穩(wěn)的，滯后項m=2，可初步估計序列{Yt}有滯后項為3的自回歸模型。

2.3 利用ARMA(q,p)模型建模

利用Pandit-Wu建模方法對序列{Yt}擬合AR(1)、ARMA(3,1)、ARMA(5,3)、ARMA(4,3)、ARMA(2,1)等模型進(jìn)行對比選擇。

擬合相關(guān)結(jié)果如下（見表3）：

表3

綜合表3的各項因素，ARMA(5,4)是一個最佳的模型，模型形式如下：

2.4 利用隨機(jī)系數(shù)SETAR模型建模

根據(jù)上文的單位根檢驗可初步確定階數(shù)為p=3,序列有季節(jié)趨勢且在上半年和下半年稍有變化，可暫取第18個序列數(shù)據(jù)Y18=-78作為門限值r，d=2(1≤d≤p),由式(6)得到系數(shù)A的初步估計

現(xiàn)要進(jìn)行異方差檢驗，作模型的殘差圖和標(biāo)準(zhǔn)殘差圖，從這兩個殘差圖可明顯看出殘差呈異方差分布，可利用加權(quán)最小二乘法估計模型(4)的系數(shù)A。先抽取模型(4)的殘差估計量，定義權(quán)矩陣D為再由式(6)得系數(shù)A的加權(quán)最小二乘估計D-1Y。經(jīng)迭代，A最佳的結(jié)果是：

先固定d=2，因數(shù)據(jù)序列是月度數(shù)據(jù)，且根據(jù)3.1節(jié)分析發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)有兩個季度的季節(jié)趨勢，便取第18、24、36、42個數(shù)據(jù)作為門限候選值，分別極小化(5)式，發(fā)現(xiàn)當(dāng)r=2872時，式(5)最小，故暫取r=2872.固定r=2872，分別對d=1、2、3時極小化式(5)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)d=2時，式(5)最小，故取d=2。上述過程用表4來表示：

表4

從表4中可看出，r=2872,d=2時殘差平方和最小。因此可建立如下模型

2.5 對模型(9)的統(tǒng)計檢驗

首先,做殘差的常規(guī)檢驗.模型解決了異方差問題，現(xiàn)對殘差的獨(dú)立性和正態(tài)性進(jìn)行檢驗，結(jié)果有：W=0.9776,P-Value=0.4043。滿足正態(tài)性檢驗。

然后，進(jìn)行非線性檢驗.采用廣義似然比檢驗，有如下結(jié)果：

該值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于水平0.1%的臨界值27.20[4],拒絕H0假設(shè),即線性模型的假設(shè)不成立.

最后,對系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗。

R語言編程計算結(jié)果如下：

上述結(jié)果表明，除了當(dāng)r＞2872時，xt-3的系數(shù)不顯著外，其他系數(shù)的P值均小于0.05，所以應(yīng)該是非常顯著的。相關(guān)系數(shù)的平方為0.9651，關(guān)于F分布的P值也大大小于0.05，也非常顯著。因此可以認(rèn)為模型通過了檢驗。

2.6 預(yù)測

用ARMA(5,4)模型和隨機(jī)系數(shù)SETAR模型預(yù)測2010年第一季度的廣西出口金額數(shù)據(jù)的對比，如下表：

表6

表7

從表6、表7可看出：隨機(jī)系數(shù)SETAR模型無論是擬合程度還是預(yù)測結(jié)果都要比ARMA(5,4)模型好。

3 結(jié)論

本文提出了隨機(jī)系數(shù)SETAR模型回歸系數(shù)估計的方法，并利用隨機(jī)系數(shù)SETAR模型對一個月度數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，拓展了SETAR模型的應(yīng)用范疇，同時還建立了ARMA模型進(jìn)行比較研究.結(jié)果證明隨機(jī)系數(shù)SETAR模型在具有非線性性質(zhì)的數(shù)據(jù)序列建模中有較大優(yōu)勢。

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