王愛林，洪玉芳，汪久根

(浙江大學(xué) 機械工程學(xué)系，杭州 310027)

滾針軸承的徑向尺寸小，廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)緊湊的場合，例如萬向節(jié)傳動中。滾針軸承的疲勞壽命是其主要問題，評價滾針軸承疲勞的各種模型中，采用的應(yīng)力有最大剪應(yīng)力、最大正交剪應(yīng)力和Mises應(yīng)力[1-2]。另外，滾針軸承在使用過程中經(jīng)常發(fā)生滾針的斷裂，這一般是由于滾針的偏載引起的。因此，研究滾針軸承的疲勞壽命和偏載問題具有實際的工程意義。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 彈性接觸模型

滾針與滾道的接觸屬于非Hertz彈性接觸問題。將滾針與滾道作為兩彈性體，其在徑向載荷Fr作用下產(chǎn)生彈性變形并形成接觸區(qū)域Ω。定義δ為兩彈性體之間產(chǎn)生的彈性趨近量，則

ω1+ω2+f1+f2=δ，

(1)

式中：ω1，ω2分別為滾針和內(nèi)滾道在接觸點的彈性變形；f1，f2分別為滾針表面和內(nèi)滾道表面在加載變形前距名義接觸點切線的垂直距離。

ω1,ω2可由Boussinesq公式來求解，即

dsdt，

(2)

同時，根據(jù)平衡條件有

(3)

則，(1)和(3)式構(gòu)成了滾針與滾道接觸問題的基本方程。根據(jù)結(jié)構(gòu)分析中的影響系數(shù)法，可將接觸區(qū)域劃分為多個單元。在滾針?biāo)俣确较蚝蜐L針?biāo)鼐€方向劃分50×50的網(wǎng)格單元，在每個單元格上假設(shè)接觸應(yīng)力恒定，然后將 (1)式～(3) 式離散成線性方程組，在法向應(yīng)力分布p(s,t)和切向摩擦力分布F(s,t)聯(lián)合作用下，得到總的Mises應(yīng)力。由此可以計算出滾道內(nèi)部的最大切應(yīng)力以及其深度，從而得出疲勞失效的起源點。

1.2 滾針與滾道間的彈性趨近量

在求取滾子與滾道接觸的彈性趨近量時，最常用的是Palmgren給出的經(jīng)驗公式，即

(4)

式中：Q為滾動體載荷；Lwe為滾子有效長度。

在(4)式中，表面的彈性趨近量與滾子和滾道的直徑無關(guān)。文獻(xiàn)[3]從有限長線接觸問題的數(shù)值解的角度說明了Palmgren公式的局限性，指出彈性趨近量除與滾動體載荷及滾子有效長度相關(guān)外，還與滾子和滾道的當(dāng)量直徑有關(guān)；并分析了圓柱滾子軸承，得出了Palmgren公式的修正結(jié)果，即

(5)

1/D=1/Dw±1/dr，

式中：D為同時考慮滾子與滾道曲率的當(dāng)量直徑；Dw為滾子直徑；dr為滾道直徑;符號“+”用于內(nèi)滾道直徑；符號“-”用于外滾道直徑。

針對滾針軸承，還需要對上式進(jìn)行修正。取彈性趨近量的計算公式如 (6)式所示，其中a1，a2，a3，a4為待定系數(shù)。

(6)

分別對Q，D和Lwe取4個值，通過正交表L16(45)，進(jìn)行了16次試驗，再選用最小二乘法對4個系數(shù)進(jìn)行擬合，得到了GCr15鋼制滾針軸承滾針與滾道間的彈性趨近量為

(7)

1.3 滾針偏斜分析

滾針偏斜的示意圖如圖1所示。在徑向平面內(nèi)滾子軸線與套圈滾道素線產(chǎn)生一個角度。根據(jù)力矩平衡原理，此時接觸力的合力P距滾針中心的距離為e，彎矩W=Pe。 隨著偏斜角β的增加，彎矩不斷增大，由此計算出的彎曲應(yīng)力σ也相應(yīng)增大，當(dāng)彎曲應(yīng)力超過GCr15鋼的抗拉強度極限σb時，滾針將發(fā)生斷裂。

圖1 滾針偏斜示意圖

1.4 滾子偏斜對軸承疲勞壽命的影響

文獻(xiàn)[4]提出軸承疲勞壽命L10降低20%時，圓柱滾子允許的臨界偏斜角為

(8)

式中：Fr為軸承所受徑向載荷；C0為軸承額定靜載荷。

結(jié)合(5) 式，根據(jù)文獻(xiàn)[4]的方法推導(dǎo)出圓柱滾子軸承疲勞壽命降低20%時的臨界偏斜角為

(9)

由(7)式和(9)式可以得出滾針軸承疲勞壽命降低20%時的臨界偏斜角為

(10)

隨著滾針偏斜角度的增加，接觸表面應(yīng)力分布情況和表面層Mises應(yīng)力場將隨之發(fā)生變化。Lundberg和Palmgren提出的材料疲勞破壞概率的經(jīng)驗公式為

(11)

式中：S為存活概率；τ0為最大動態(tài)剪切應(yīng)力；z0為最大動態(tài)剪切應(yīng)力所在深度；N為應(yīng)力循環(huán)次數(shù)，以百萬次計；V為受應(yīng)力的體積。 根據(jù)Ioannides E 和Harris T A疲勞壽命模型[5]，并結(jié)合(11)式可通過比例關(guān)系來計算不同偏斜角下軸承的相對疲勞壽命。

2 計算結(jié)果及分析

所選研究對象中所需各參數(shù)為：內(nèi)圈滾道直徑F為40 mm,滾針直徑Dw為5 mm,滾針有效長度Lwe為13 mm，滾針和內(nèi)圈材料為GCr15鋼，其抗拉強度極限σb為735 MPa，單個滾針?biāo)訌较蜉d荷為4 250 N，滾針與滾道間的摩擦因數(shù)取0.08。

2.1 滾針偏斜對滾針磨損和斷裂的影響

在此對滾針偏斜角為β=0～0.07°、間隔為0.01°的每個偏斜角取值情況下的接觸應(yīng)力分布和Mises應(yīng)力分布進(jìn)行計算。

滾針無偏斜(β=0)時的接觸應(yīng)力分布和Mises應(yīng)力分布如圖2和圖3所示。圖中x代表滾針滾動方向；y代表滾針?biāo)鼐€方向；z代表軸承滾道表面層深度；滾針與滾道接觸表面的中心點為坐標(biāo)原點。由圖2可知，接觸應(yīng)力沿滾針中間截面對稱分布，在其端部有很明顯的應(yīng)力集中。由計算可知，滾針端部的最大接觸應(yīng)力達(dá)到3.11 GPa，而滾針中部的最大接觸應(yīng)力為2.24 GPa，滾針軸承滾道接觸表面層的最大Mises應(yīng)力為596 MPa，出現(xiàn)在深度為0.117 mm處。

圖2 β=0時接觸應(yīng)力場

圖3 β=0時接觸表面層的Mises應(yīng)力場(GPa)

滾針偏斜角β分別為0.04°和0.07°時，接觸應(yīng)力場和Mises應(yīng)力計算結(jié)果如圖4～圖7所示。

圖4 β=0.04°時接觸應(yīng)力場

圖5 β=0.04°時接觸表面層的Mises應(yīng)力場(GPa)

圖6 β=0.07°時接觸應(yīng)力場

圖7 β=0.07°時接觸表面層的Mises應(yīng)力場(GPa)

由圖可知，滾針兩端最大接觸應(yīng)力之差隨著偏斜角的增大而增大。由計算可知，當(dāng)β=0.04°時，兩端接觸應(yīng)力分別為2.01 GPa和4.03 GPa，即一端應(yīng)力已達(dá)到另一端的2倍，此時在高的接觸應(yīng)力端滾針軸承會發(fā)生嚴(yán)重的局部磨損。當(dāng)β=0.07°時，彎曲應(yīng)力σ的值達(dá)到825 MPa，高于GCr15鋼的抗拉強度極限σb(735 MPa)，說明此時滾針會發(fā)生斷裂。 由計算結(jié)果可知，在偏斜角度增大的過程中，接觸區(qū)表面層的最大Mises應(yīng)力值會不斷增大，但最大Mises應(yīng)力出現(xiàn)的位置保持不變，一直在深度為0.117 mm處。

2.2 不同偏斜角下軸承的相對疲勞壽命

根據(jù)Ioannides E 和Harris T A疲勞壽命模型[5]，并結(jié)合(11)式，用接觸表面層的最大Mises應(yīng)力代替最大動態(tài)剪切應(yīng)力，計算出滾針不同偏斜角下軸承的相對疲勞壽命(表1)。

表1 滾針不同偏斜角下軸承的相對疲勞壽命

由表1可知，表面層內(nèi)最大Mises應(yīng)力隨著滾針偏斜角的增大而增大，但其最大值出現(xiàn)的深度一直不變；而滾針軸承接觸疲勞壽命則隨偏斜角的增加急劇降低。

3 結(jié)論

(1)當(dāng)滾針偏斜角和兩端接觸應(yīng)力值達(dá)到一定程度，滾針軸承開始出現(xiàn)嚴(yán)重磨損，甚至滾針會出現(xiàn)斷裂。 表面層內(nèi)最大Mises應(yīng)力隨著滾針偏斜角的增大而增大，但其最大值出現(xiàn)的深度一直不變。

(2) 隨著滾針偏斜角的增大，其滾動接觸疲勞壽命急劇降低。