冷永剛，趙爾華，石 鵬，張 瑩

(天津大學(xué)機械工程學(xué)院，天津 300072)

自從 1981年 Benzi等[1]研究古氣象冰川問題提出隨機共振(stochastic resonance，SR)概念以來，SR現(xiàn)象受到了廣泛的關(guān)注．隨機共振現(xiàn)象是一種非線性現(xiàn)象，它利用噪聲的積極作用，使淹沒于噪聲中的弱信號得到共振加強，從而實現(xiàn)從強噪聲干擾中檢測微弱信號的目的．利用雙穩(wěn)SR技術(shù)處理一維信號的理論和實驗研究在國內(nèi)外已比較成熟，發(fā)表的相關(guān)文獻也很多[1-3]．雙穩(wěn) SR對于淹沒在噪聲中的周期和非周期信號均具有很好地增強作用，即對于任意的一維序列，雙穩(wěn) SR有助于突出其中的特征成分．隨著隨機共振應(yīng)用研究的深入，其應(yīng)用范圍逐漸延伸到數(shù)字圖像處理領(lǐng)域[4-8]，如Ye等[4]利用雙穩(wěn)系統(tǒng)實現(xiàn)了圖像直流分量的增強，另外在閾值系統(tǒng)中，Marks等[5]發(fā)現(xiàn)通過向圖像添加適當強度的噪聲可以使圖像更加符合人的視覺特征，文獻[6]提出了雙穩(wěn)SR能夠改變信號的直方圖分布，從而將雙穩(wěn)隨機共振用于二維圖像的處理．二維圖像的SR處理方法通常是將二維圖像先按行或列次序展開為一維數(shù)列，然后輸入給雙穩(wěn)系統(tǒng)進行隨機共振處理，此處稱之為一維雙穩(wěn)SR．為進一步分析二維圖像的隨機共振現(xiàn)象，深入研究SR在圖像識別和視覺理解過程中的作用，筆者以一幅經(jīng)典的lena灰度圖為研究對象，進一步完善一維雙穩(wěn)SR，并在此基礎(chǔ)上提出圖像的二維雙穩(wěn)SR方法．同時，由于系統(tǒng)參數(shù)的變化會引起勢壘高度、勢阱間距和粒子躍遷速率的改變[9]，并使能量相對重新分布，使輸出圖像的質(zhì)量不同，因此筆者在二維雙穩(wěn)隨機共振的研究基礎(chǔ)上，重點研究二維灰度圖像 SR的參數(shù)調(diào)節(jié)規(guī)律及其輸出圖像質(zhì)量的變化情況，并比較了一維SR和二維SR兩種圖像處理方法的優(yōu)劣．

1 雙穩(wěn)態(tài)SR概述

在 SR的研究中，非線性雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)模型通常由勢函數(shù)表示，即

式中a和b為系統(tǒng)參數(shù)．在不考慮噪聲的情況下得到一維非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)的確定性動力學(xué)系統(tǒng)方程

由定態(tài)方程d/d 0x t= 得到雙穩(wěn)系統(tǒng)的 3個解為1個不穩(wěn)定的定態(tài)解10x= 和兩個穩(wěn)定的定態(tài)解從物理意義上理解，雙穩(wěn)系統(tǒng)的響應(yīng)輸出可以表現(xiàn)為一個粒子在雙穩(wěn)勢阱內(nèi)的運動，如圖1所示．

圖1 非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)勢函數(shù)Fig.1 Non-linear bistable system potential function

在噪聲為零時，系統(tǒng)存在著臨界值 Ac．當 A ＜ Ac時，運動軌道將在附近進行局域的周期運動，只有在 A ＞Ac時，軌道才能圍繞這兩個定態(tài)吸引域做大范圍的躍遷運動．當引入噪聲后，在噪聲幫助下，即使在 A ＜Ac時，系統(tǒng)仍可以在兩定態(tài)解之間進行躍遷．

鑒于上述理論源自絕熱近似[10]或線性響應(yīng)理論[11]，其研究對象必須符合小參數(shù)要求，即信號的幅度和頻率以及噪聲強度均比 1小得多．為了擴展雙穩(wěn) SR的應(yīng)用領(lǐng)域，文獻[12-13]提出變尺度的方法處理工程實際中經(jīng)常遇到的大參數(shù)信號，取得了較好的成效．此外，在一定條件下，噪聲通過雙穩(wěn)系統(tǒng)對非周期信號的檢測也具有積極的作用，以此產(chǎn)生和發(fā)展了非周期SR理論[14]．

信號的 SR是利用雙穩(wěn)系統(tǒng)中隨機力的非線性作用，利用噪聲能量轉(zhuǎn)移為信號能量來實現(xiàn)噪聲的抑制和信號的增強，使系統(tǒng)的輸出能夠很好地跟蹤信號的變化．圖像是一種特殊的數(shù)據(jù)信號，它的像素值只能取正值，且在一定的范圍內(nèi)，超出這個范圍，圖像就會失真．由于圖像信號的特殊性，因此筆者將圖像的 SR限制在正勢阱中，即研究圖像二維 SR的單阱SR特性．

2 雙穩(wěn)態(tài)圖像SR

2.1 圖像二維SR原理

根據(jù)絕熱近似理論或線性響應(yīng)理論，系統(tǒng)的輸入應(yīng)滿足SR的小參數(shù)要求．實際含噪二維灰度圖像的灰度值范圍通常是[0，255]，為滿足 SR 小參數(shù)的要求，將其歸一化，即讓輸入圖像灰度范圍歸一化為[0，1]．這種歸一化既滿足 SR的小參數(shù)要求，又不會引起圖像信息的丟失．

空間二維靜態(tài)灰度圖像可以表示為空間坐標x軸和y軸的函數(shù) S = f( x , y)，它是連續(xù)函數(shù)．圖像處理時，必須對一幅灰度連續(xù)的圖像進行采樣．圖像的采樣是將在空間上連續(xù)的圖像轉(zhuǎn)化為離散點集的過程，把一幅連續(xù)的圖像在空間上分割成mn×個網(wǎng)格，每個網(wǎng)格對應(yīng)為一個像素點．圖像是二維分布的信息，任一像素的灰度值都與周圍的像素有關(guān)，所以采樣是在x軸和y軸兩個方向上進行．這里定義采樣頻率sf為單位尺寸內(nèi)的采樣像素點數(shù)，單位為像素/mm，于是圖像 SR處理的計算步長為s1/h f= ．根據(jù)變尺度SR方法[9-10]，可以對計算步長進行縮放，選擇合適的步長，以達到圖像SR的最優(yōu)輸出質(zhì)量．

二維灰度圖像的SR可由連續(xù)兩次一維SR來實現(xiàn)．其過程是，首先對輸入的二維灰度圖像進行歸一化預(yù)處理，然后按行掃描得到一維序列并輸入到雙穩(wěn)系統(tǒng)中進行 SR，將 SR輸出序列按照行掃描的方式重新組成一個方陣，并將此方陣歸一均化到[0，1]之間，得到一幅一維 SR 的圖像．對這幅一維SR圖像，按列掃描得到一維序列并再次輸入到雙穩(wěn)系統(tǒng)中進行第 2次 SR，將共振輸出得到序列按照列掃描過程的方式重新組成一個方陣，并再將這個方陣進行歸一均化處理，就可得到二維 SR圖像．圖像二維 SR處理的基本原理過程如圖 2所示．顯然，上述過程改為先沿列后沿行進行二維 SR，其結(jié)果也是一樣．

圖2 二維SR圖像增強算法原理示意Fig.2 Schematic diagram of two-dimensional SR image enhancement algorithm

需要說明的是，圖像經(jīng)過雙穩(wěn) SR后，其結(jié)果矩陣不一定能夠顯示為一幅圖像，需要將這個結(jié)果矩陣進行歸一化處理，轉(zhuǎn)換為灰度圖像．這時的灰度圖像其灰度值可能分布在某個很窄的灰度區(qū)域內(nèi)，對比度很弱，圖像細節(jié)不清晰．如果通過線性映射使分布密集的灰度區(qū)域重新均化到[0，1]之間，拉大圖像的對比度，使圖像的直方圖均勻化，那么圖像的細節(jié)又會變得清晰可辨．稱這個過程為“歸一均化”過程，具體實例過程如圖3所示，它是將SR后的密集灰度區(qū)域[1.2，1.32]之間的灰度值歸一均化到[0，1]之間．歸一均化過程雖然造成了灰度區(qū)域[1，1.2]和[1.32，1.4]的信息丟失，但只是非常少的一部分信息丟失，可以忽略不計．

圖3 SR圖像的歸一均化過程Fig.3 Normalizing and homogenizing of SR image

2.2 圖像二維SR仿真

為觀察圖像的二維SR情況，從式(3)模型入手，以一幅經(jīng)典的 lena灰度圖為研究對象，通過仿真來考察雙穩(wěn)SR對圖像及其直方圖的影響．給出一組仿真參數(shù)：采樣頻率 fs根據(jù)變尺度 SR設(shè)為 fsr＝10像素/mm，對應(yīng)的計算步長為 h＝1/fsr＝0.1，系統(tǒng)參數(shù)a＝5、b＝10，輸入信號為原始無噪圖像．圖像二維SR的數(shù)值計算采用四階龍哥-庫塔(Runge-Kutta)法，雙穩(wěn)輸出圖像的直方圖及對應(yīng)的圖像如圖4所示．

圖4(d)是原始圖像 4(a)的直方圖．由圖 4可以看出，二維雙穩(wěn) SR改變了圖像的直方圖，使雙穩(wěn)響應(yīng)圖像的灰度和對比度發(fā)生了變化，灰度響應(yīng)范圍變小(見圖 4(e))，集中在一個很小的范圍內(nèi)，對比度降低，幾乎看不到圖像及其細節(jié)信息(見圖4(b))．但是對二維SR后的圖像序列進行歸一均化后，圖像所包含的細節(jié)就會變得清晰(見圖 4(c))，對應(yīng)的直方圖為圖 4(f)．表明二維 SR后，圖像所含的信息量并沒有減少丟失．當圖像不含有噪聲時，一維 SR與二維SR的結(jié)果類似，這里不再給出一維SR的圖像．

下面給出含有高斯噪聲的 lena灰度圖的仿真例子．按照二維 SR方法，仍然取計算步長 h＝1/fsr＝0.1，系統(tǒng)參數(shù) a＝5、b＝10，向標準 lena灰度圖中添加均值為0、方差為0.4的高斯白噪聲．其雙穩(wěn)SR響應(yīng)圖像的直方圖及對應(yīng)的圖像如圖5所示．

作為對比，圖 5給出了一維 SR圖像和二維 SR圖像．由圖 5可以看出，SR可以有效濾除圖像中的噪聲，使圖像變得清晰，而且比較圖 5(b)和(c)可知，二維SR圖像比一維 SR圖像噪聲量明顯減少，具有更清晰的效果，有更好的圖像輸出質(zhì)量．因此，二維SR比一維SR具有更好的濾除噪聲的效果．

圖4 無噪圖像的SR結(jié)果與直方圖Fig.4 SR image and corresponding histogram of image without noise

圖5 含噪圖像SR結(jié)果與直方圖Fig.5 SR image and corresponding histogram of image with noise

3 參數(shù)變化對二維SR圖像的影響

二維 SR圖像的處理效果與雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù) a、b以及變尺度SR步長h密切相關(guān)．先固定SR計算步長，討論雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)對二維SR圖像質(zhì)量的影響，然后再考察SR步長對二維SR圖像質(zhì)量的影響．

3.1 雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)對二維SR圖像的影響

對于給定的一幅含噪圖像，二維 SR處理效果的好壞可以通過對二維 SR圖像與標準參考圖像進行比較判斷．圖像質(zhì)量的評價標準有主觀評價和客觀評價．主觀評價主要是利用人的視覺進行評價，客觀評價(即圖像的逼真度)是一種定量的評價標準．圖像的逼真度既可以用被評價圖像與標準參考圖像之間相似程度表示，也可以用被評價圖像與標準參考圖像之間的偏離程度表示．本文中主要研究客觀評價的這兩種判別方法．

圖像的相似程度可用相似系數(shù) C ( X , Y )表示，其表達式為[15]

式中：X為標準參考圖像，歸一化到[0，1]；Y為二維SR圖像； ?表示圖像的平均值；

圖像的偏離程度用偏離系數(shù)(即均方根誤差)表示，其表達式[15]為

根據(jù)被評價圖像與標準參考圖像的逼真程度，可以得出系統(tǒng)參數(shù)a和b的選擇規(guī)律．以含有高斯噪聲的 lena灰度圖為例，討論相似系數(shù) C ( X , Y)和偏離系數(shù) E ( X , Y)隨系統(tǒng)參數(shù)a和b的變化規(guī)律，并選擇最優(yōu)的a和b使圖像的雙穩(wěn)響應(yīng)達到最佳，進而得到最佳的二維 SR圖像．分析中取計算步長 h = 1 /fsr=0.1，標準lena灰度圖中添加均值為0、方差為0.4的高斯白噪聲．

圖6為相似系數(shù)C隨參數(shù)a和b的變化規(guī)律．相似系數(shù)越大，二維 SR圖像與標準參考圖像的逼真度就越大，二維雙穩(wěn)SR的圖像處理效果就越好．

圖6 h＝0.1時相關(guān)系數(shù)C隨參數(shù)a和b的變化規(guī)律Fig.6 Law of similarity correlation changing with regards to difference of a and b with h＝0.1

在圖6中，當相似系數(shù)取得可行值(能夠使二維SR取得較好效果的相似系數(shù)值)時，在a、b參數(shù)平面投影的區(qū)域可以確定 a、b取值范圍，這個區(qū)域大致是直線L在a、b參數(shù)平面投影與a、b參數(shù)軸所圍成的平面．在這個區(qū)域內(nèi)取值，二維圖像的 SR都可以得到較好的效果．例如當任意取 a＝7，b＝1，相似系數(shù)C＝0.926 5時，圖像的二維SR結(jié)果如圖7所示．

圖7 相似系數(shù)C＝0.926 5時的SR 圖像Fig.7 SR image with similarity coefficient C＝0.926 5

圖8 為偏離系數(shù)E隨參數(shù)a和b的變化規(guī)律．偏離系數(shù)越小，二維 SR圖像與標準參考圖像的偏離程度就越小，二維雙穩(wěn)SR的圖像處理效果就越好．

在圖8中，當偏離系數(shù)取得可行值(能夠使二維SR取得較好效果的偏離系數(shù)值)時，在a、b參數(shù)平面投影的區(qū)域可以確定 a、b取值范圍，這個區(qū)域大致是直線L在a、b參數(shù)平面投影與a、b參數(shù)軸所圍成的平面．在這個區(qū)域內(nèi)取值，二維 SR可以得到較好的圖像處理效果．例如當任意取 a＝4，b＝100，偏離系數(shù)E＝0.223 5時，圖像的二維SR結(jié)果如圖9所示．

由圖6和圖8可以看出，在相同的SR計算步長下，對于含有相同噪聲強度的圖像，相似系數(shù)和偏離系數(shù)這兩種圖像評價標準對圖像的評價具有相同的效用，圖 6中相似系數(shù) C取得較大值的可行區(qū)域與圖8中偏離系數(shù)E取得較小值的可行區(qū)域幾乎是相對應(yīng)的，都在直線 L的左方區(qū)域．在它們相對應(yīng)的區(qū)域內(nèi)取值，二維SR的圖像都能取得較好的效果，如圖7和圖9所示．因此，對于含噪圖像可以通過調(diào)節(jié)雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)a和b得到最佳的二維SR響應(yīng)圖像．

圖8 h＝0.1時偏離系數(shù)E隨參數(shù)a和b的變化規(guī)律Fig.8 Law of deviation correlation changing with regards to difference of a and b with h＝0.1

圖9 偏離系數(shù)E＝0.223 5時的SR圖像Fig.9 SR image with departure coefficient E＝0.223 5

3.2 SR步長對二維SR圖像的影響

根據(jù)變尺度 SR方法，可以對計算步長進行縮放，選擇合適的步長，以達到圖像 SR的最優(yōu)輸出質(zhì)量．任意選擇步長 h分別為 0.05、0.1和 0.2，即壓縮采樣頻率 fsr分別為 20、10和 5，觀察不同步長 h條件下相似系數(shù)C和偏離系數(shù)E隨系統(tǒng)參數(shù)a、b的變化規(guī)律．由于相似系數(shù) C和偏離系數(shù) E具有相似的變化規(guī)律，在這里只給出不同步長下相似系數(shù) C隨a、b的變化規(guī)律，且圖像添加均值為0、方差為0.4的高斯白噪聲．

圖10和圖11分別是h＝0.05和h＝0.2時相似系數(shù)C隨a、b的變化規(guī)律．由圖10、圖7和圖11比較可知，隨著步長h的增加，相似系數(shù) C取得可行值的范圍變小，并且逼真度也隨著步長的增加而降低．這表明，選擇較小的步長，可以使參數(shù) a、b有更大的選擇范圍，二維SR圖像的輸出質(zhì)量可以提高．

圖10 h＝0.05時相關(guān)系數(shù)C隨參數(shù)a和b的變化規(guī)律Fig.10 Law of similarity correlation changing with regards to difference of a and b with h＝0.05

圖11 h＝0.2時相關(guān)系數(shù)C隨參數(shù)a和b的變化規(guī)律Fig.11 Law of similarity correlation changing with regards to difference of a and b with h＝0.2

4 結(jié) 語

由雙穩(wěn)系統(tǒng)特性出發(fā)，提出了含噪圖像的二維SR處理方法，該方法可有效降低圖像中的噪聲量，提高圖像質(zhì)量．為評價二維 SR圖像的處理效果，采用相似系數(shù)和偏離系數(shù)指標來對圖像質(zhì)量進行客觀評價，得出了雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)a和b以及變尺度SR步長h對二維SR圖像的影響規(guī)律，從而確定了系統(tǒng)參數(shù)a、b和步長h的選擇方式，為實現(xiàn)參數(shù)的最優(yōu)化與自適應(yīng)參數(shù)調(diào)節(jié)的 SR圖像處理奠定了可行的研究基礎(chǔ)．

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