張利敏，梅江平

(天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072)

外轉(zhuǎn)動副驅(qū)動、平行四邊形支鏈的高速并聯(lián)機(jī)械手具有運(yùn)動慣量低、速度快等特點(diǎn)，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于對輕小物料的高速分揀與抓放等操作，其典型代表當(dāng)屬著名的 Delta機(jī)械手[1]．為了有效減低運(yùn)動部件的慣性，這類機(jī)械手運(yùn)動構(gòu)件(動平臺、主動臂、從動臂等)多采用鋁合金或輕質(zhì)細(xì)桿制作，然而在輕量化設(shè)計(jì)的同時(shí)，機(jī)械手在高速運(yùn)動時(shí)會直接受桿件柔性的影響而降低系統(tǒng)的動態(tài)精度．因此，在設(shè)計(jì)此類機(jī)構(gòu)的截面參數(shù)時(shí)，通常要考慮動態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)．

建立含柔性桿件的機(jī)構(gòu)彈性動力學(xué)模型對于揭示系統(tǒng)參數(shù)對機(jī)構(gòu)全域動態(tài)特性的影響以及動態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)均具有重要意義，目前可利用的建模方法主要有多柔體法(FMD)[2-6]、線彈性法(KED)[7-9]、子結(jié)構(gòu)綜合法[6，10]．多柔體法雖可獲得精確剛彈耦合模型，但建模和求解過程復(fù)雜，多用于考慮幾何非線性的場合；而線彈性法通過忽略剛?cè)狁詈虾臀恍巍皟鼋Y(jié)”等簡化手續(xù)，故已在平面連桿機(jī)構(gòu)彈性動力學(xué)分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用；子結(jié)構(gòu)綜合法則是通過把結(jié)構(gòu)劃分為若干子結(jié)構(gòu)并分析其動力特性，后通過各子結(jié)構(gòu)交界面關(guān)系組裝成系統(tǒng)整體模型，故特別適合于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)．上述建模方法中對彈性體變形量的描述可按連續(xù)彈性體考慮其質(zhì)量和剛度的分布特性，然而按這種模型建立的數(shù)學(xué)模型是偏微分方程，只在簡單情況下才能求得解析解，因此通常將質(zhì)量離散建立近似模型，主要涉及有限元模型[11]和集中參數(shù)模型[12]．有限元模型通過節(jié)點(diǎn)處的有限個自由度，并利用位移插值函數(shù)可描述結(jié)構(gòu)復(fù)雜且不規(guī)則的構(gòu)件，雖自由度較多計(jì)算量較大，但運(yùn)算模式統(tǒng)一，故適合在計(jì)算機(jī)編程計(jì)算；集中參數(shù)模型將彈性體的質(zhì)量聚縮于若干點(diǎn)上，雖對質(zhì)量分布形式簡化較多、精度較差，但對于桿或梁等規(guī)則彈性體，在減小計(jì)算量的同時(shí)還可保證較高的精度，滿足工程應(yīng)用的需求．

針對含柔性桿件的機(jī)器人機(jī)構(gòu)動態(tài)設(shè)計(jì)，目前廣泛采用系統(tǒng)一階固有頻率與運(yùn)動部件質(zhì)量比最大作為設(shè)計(jì)的性能評價(jià)指標(biāo)[13-14]．例如，Everett等[15]采用一階固有頻率及其隨位形的變化，以及前兩階固有頻率的偏離程度作為性能指標(biāo)，并據(jù)此構(gòu)造了加權(quán)目標(biāo)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了兩柔性連桿機(jī)構(gòu)的動態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)，并通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性．Zhang等[16]在給定頻率約束條件下，優(yōu)化柔性機(jī)構(gòu)并使其整機(jī)質(zhì)量最?。欢?，上述方法因未考慮到驅(qū)動電機(jī)的力矩約束，因而缺乏工程實(shí)用性．此外，Park[17]提出一種在考慮驅(qū)動力矩約束的情況下，通過優(yōu)化運(yùn)動軌跡以使操作手末端殘余振動最小的方法，雖未涉及結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化，但在動態(tài)優(yōu)化中值得借鑒．

筆者以 Delta機(jī)械手為對象，研究含柔性桿件的高速并聯(lián)機(jī)器人的彈性動力學(xué)建模和截面參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法．首先，借助位移子結(jié)構(gòu)法提出一種線彈性動力學(xué)模型的建模方法．其次，通過分析縮減主動臂設(shè)計(jì)變量，以系統(tǒng)一階固有頻率最高為目標(biāo)函數(shù)，以電機(jī)驅(qū)動轉(zhuǎn)矩上界為約束研究該機(jī)械手的動態(tài)設(shè)計(jì)方法，并通過計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證該方法的正確性．

1 Delta機(jī)械手彈性動力學(xué)建模

圖1給出了Delta機(jī)械手三維實(shí)體造型，其由靜平臺、動平臺和 3組軸對稱支鏈組成．為了減少運(yùn)動部件質(zhì)量，動平臺和主動臂采用鋁合金，從動臂采用碳纖維材料制作．為了借助子結(jié)構(gòu)綜合思想建立Delta機(jī)械手的彈性動力學(xué)模型，將主動臂、從動臂桿及動平臺劃分為如圖 2所示的若干子結(jié)構(gòu)，其中(1)～(3)為主動臂子結(jié)構(gòu)，(4)～(9)為從動臂子結(jié)構(gòu)，(10)為動平臺子結(jié)構(gòu)，并在建模過程中假設(shè)：動平臺、鉸鏈視為剛體，鉸鏈視為理想約束；彈性變形滿足小位移假設(shè)，真實(shí)運(yùn)動可視為剛體運(yùn)動和彈性位移的疊加；忽略系統(tǒng)阻尼不計(jì)；忽略質(zhì)量縮聚點(diǎn)上的集中轉(zhuǎn)動慣量．

圖1 Delta機(jī)械手三維模型和工作空間Fig.1 3D model of Delta manipulator and workspace

圖2 Delta機(jī)械手集中質(zhì)量分布Fig.2 Mass distributing of Delta manipulator

1.1 主動臂子結(jié)構(gòu)建模

如圖3所示，將主動臂簡化為一等截面懸臂梁，其質(zhì)量被均勻地等效到兩端點(diǎn)和中間兩結(jié)點(diǎn)，且將其與從動臂連接的鉸鏈等效為集中質(zhì)量．為方便計(jì)算，暫略去下標(biāo)．于是，在坐標(biāo)系 Aia1a2a3下沿 a1、a2和 a3軸的振動方程可表示為

式中：1am、2am 、3am依次為除固定端質(zhì)量外且沿主動臂近軸端到遠(yuǎn)軸端方向分布的結(jié)點(diǎn)質(zhì)量，包含遠(yuǎn)軸端的集中質(zhì)量m．

由結(jié)構(gòu)力學(xué)分析可知，沿1a、2a和3a軸方向的柔度矩陣可分別表示為

式中：Ea為主動臂材料的彈性模量；分別為主動臂子結(jié)構(gòu)截面關(guān)于 a1和 a2方向的慣性矩；Aa為截面積．于是，沿 ak( k = 1 ,2,3)方向的剛度矩陣為

由此主動臂動力學(xué)方程為

式中

包含從動臂的慣性力和界面對接力，aT為主動臂連體系相對于固定參考系的姿態(tài)矩陣．

圖3 主動臂坐標(biāo)系Fig.3 Coordinates of active proximal link

1.2 從動臂子結(jié)構(gòu)動力學(xué)建模

如圖 4所示，采用與主動臂動力學(xué)建模相仿方法，可將從動臂簡化為均質(zhì)細(xì)長簡支梁．圖中B點(diǎn)與主動臂通過球鉸連接，C點(diǎn)與動平臺通過球鉸連接．

圖4 從動桿局部坐標(biāo)系Fig.4 Coordinates of distal link

從動臂質(zhì)量被均勻地等效到兩端點(diǎn)及中間 3個結(jié)點(diǎn)上．從動臂在系 B b1b2b3下沿 b1、b2和 b3軸的振動方程可表示為

式中：1bm、2bm 、3bm 、4bm 、5bm 依次為沿從動臂BC方向分布的結(jié)點(diǎn)質(zhì)量．

由結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法分析可知，沿1b、2b和3b軸方向的剛度矩陣可分別表示為

式中：dE為從動臂材料的彈性模量；cI為截面慣性矩；dA為截面積．

由此可得從動臂動力學(xué)模型

式中

包含從動臂的慣性力和界面對接力；bT為從動臂連體系相對固定參考系的姿態(tài)矩陣．

1.3 動平臺子結(jié)構(gòu)動力學(xué)建模

根據(jù)動平臺為剛體的假設(shè)，由于受到其他構(gòu)件彈性變形的影響，動平臺相對其理想位姿將發(fā)生變形．根據(jù)達(dá)朗伯原理并忽略高階項(xiàng)，可得到其在系Oxyz下的平衡方程，即

式中：px、pm、pI分別表示動平臺的六維振動廣義坐標(biāo)、質(zhì)量和慣量矩陣；3E為三階單位陣；pQ為動平臺的慣性力和所受外力之和．

1.4 系統(tǒng)動力學(xué)建模

在構(gòu)造出各子結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型基礎(chǔ)上，現(xiàn)利用子結(jié)構(gòu)邊界約束條件導(dǎo)出系統(tǒng)的彈性動力學(xué)模型．從動臂i中連桿 j上連接點(diǎn)C(用5cijx 表示)與動平臺連接點(diǎn)(用px表示)的變形協(xié)調(diào)條件可表示為

式中ziR 表示由系到系Oxyz的姿態(tài)矩陣．通過變形協(xié)調(diào)條件式(9)和式(10)可知，各子結(jié)構(gòu)所有坐標(biāo)u和系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)U之間的關(guān)系可表示為

將上述各子結(jié)構(gòu)方程疊加，可得系統(tǒng)的彈性動力學(xué)方程

代入式(11)并施加邊界約束后，可得 Delta機(jī)械手無阻尼受迫振動方程為

2 動力學(xué)分析

Delta機(jī)械手的尺度參數(shù)和慣性參數(shù)如表1和表2所示．其中，e為機(jī)械手靜平臺和動平臺的半徑差；H為機(jī)械手驅(qū)動軸組成的平面與工作空間上表面的距離；1l、aH、aW 和at分別表示主動臂的長、高、寬和截面厚度；2l、dD和dt分別表示從動臂的長度、截面外徑和截面厚度．主動臂材質(zhì)為鋁合金，其中aρ和表示鋁合金密度和彈性模量；1aI和2aI表示截面慣量．從動臂材質(zhì)為碳纖維，其中ρd和Ed為碳纖維密度和彈性模量；Ic為圓截面慣量．鉸鏈和動平臺的材料分別為結(jié)構(gòu)鋼和鋁合金，其中 Mm和 Imx、Imy、Imz分別為動平臺的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量；Me為單個鉸鏈的質(zhì)量．表 3分別示出了在點(diǎn) A ( 0,0,?8 10)和點(diǎn)B(? 5 00,0,? 9 40)通過理論計(jì)算和ANSYS軟件計(jì)算的低階固有頻率對比值，由表 3可知，理論計(jì)算頻率與仿真計(jì)算頻率結(jié)果基本一致，因此可以驗(yàn)證本文的彈性動力學(xué)建模的有效性．

表1 圖1中Delta機(jī)械手尺度參數(shù)Tab.1 Dimensional parameters of Delta manipulator in Fig.1

表2 圖1中Delta機(jī)械手慣性參數(shù)Tab.2 Inertia parameters of Delta manipulator in Fig.1

表3 理論計(jì)算和ANSYS軟件計(jì)算的低階固有頻率對比Tab.3 Comparison of lower frequency between theoretical value and analysis value computed by software ANSYS

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 性能指標(biāo)

因機(jī)械手驅(qū)動電機(jī)的驅(qū)動轉(zhuǎn)速到達(dá)一定值時(shí)會導(dǎo)致激振頻率接近系統(tǒng)的固有頻率，導(dǎo)致機(jī)構(gòu)產(chǎn)生嚴(yán)重的振動，故系統(tǒng)的基頻間接決定了驅(qū)動速度的上界值；此外，系統(tǒng)的基頻越大意味著柔性并聯(lián)機(jī)械手帶寬越大，當(dāng)機(jī)構(gòu)激振頻率遠(yuǎn)離基頻時(shí)，可在完成快速運(yùn)動的同時(shí)保證末端點(diǎn)具有較高的精度．因此，在動態(tài)設(shè)計(jì)的過程中，通?？蓪⒃谡麄€工作空間的一階固有頻率的均值作為全域性能評價(jià)指標(biāo)．由式(13)可知，系統(tǒng)的固有頻率不僅與機(jī)械手的結(jié)構(gòu)參數(shù)和慣性參數(shù)有關(guān)，也與其在工作空間中的位形相關(guān)，因此截面參數(shù)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為

式中tW表示整個工作空間．設(shè)計(jì)過程中，整體設(shè)計(jì)得越粗壯對電機(jī)驅(qū)動轉(zhuǎn)矩的要求也越高，然而主動臂驅(qū)動電機(jī)的最大轉(zhuǎn)矩通常滿足一定的限制范圍，因此，需給定驅(qū)動轉(zhuǎn)矩的約束條件為

各設(shè)計(jì)變量還需滿足約束條件

3.2 實(shí) 例

給定 Delta機(jī)械手的工作空間為直徑D= 1 100 mm 、高 h = 250 mm的圓柱體，并采用表 1中的尺度參數(shù)，同時(shí)選取松下 MHMA系列伺服電機(jī)，其輸出功率和最大轉(zhuǎn)矩分別為1 kW和14.4 N? m，減速器減速比j=14，因此最大輸出轉(zhuǎn)矩τmax=14.4× 1 4 = 2 01.6 N? m ．在機(jī)械手的初步設(shè)計(jì)中，動平臺和鉸鏈均基于輕量化設(shè)計(jì)為質(zhì)量最輕的定型結(jié)構(gòu)，而機(jī)械手的主動臂和從動臂的結(jié)構(gòu)參數(shù)較易修改，因而可將其相關(guān)的參數(shù)均考慮為設(shè)計(jì)變量，其中包括主動臂矩形截面的高 Ha、寬 Wa和壁厚 ta，以及從動臂圓環(huán)形截面的外徑 Dd和壁厚 td．因受零件加工和裝配的限制，給定 Hamin= 6 4 mm ，Hamax=87 mm，Wamin=43 mm，Wamax= 5 6 mm ，tamin= 3 .5 mm ，tamax=5.5,mm，tdmin= 1 .5 mm，tdmax= 4 mm ， Ddmin= 8 mm ，Ddmax=35 mm．通過分析可將 Delta機(jī)械手截面參數(shù)的優(yōu)化問題歸結(jié)為一類受約束的非線性規(guī)劃問題．原則上可調(diào)用Matlab?Optimization Tool Box中的序列二次規(guī)劃(SQP)算法求解．然而，上述優(yōu)化方法并不能直接揭示優(yōu)化過程，而單調(diào)性分析可以通過確定其中若干變量考察剩余變量的變化趨勢，因此可以直觀地觀察各設(shè)計(jì)變量對優(yōu)化指標(biāo)以及約束條件的影響，故可借助單調(diào)性分析對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行如下討論．

圖5 工作空間中隨Ha和Wa的變化規(guī)律Fig.5 Variations of versus Ha and Wa in workspace

圖6 和隨ta、td和Dd的變化規(guī)律Fig.6 Variations of and versusta，td andDd

由此可見，通過優(yōu)化分析可使 Delta機(jī)械手的一階固有頻率的均值最大．

4 結(jié) 論

(1)提出了一種利用子結(jié)構(gòu)位移法快速建立彈性桿子結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型的方法，在此基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了Delta機(jī)械手線彈性動力學(xué)模型，并借助商用有限元軟件驗(yàn)證了該模型的有效性．

(2)利用單調(diào)性分析完成了截面參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)，通過優(yōu)化獲得一組在滿足上述約束條件下使得系統(tǒng)低階固有頻率最高的設(shè)計(jì)參數(shù)．

(3)提出的快速動力學(xué)建模以及優(yōu)化方法具有一般性，故可應(yīng)用于其他外轉(zhuǎn)動副驅(qū)動的高速并聯(lián)抓取機(jī)械手．

［1］ Clavel R. Device for the Movement and Positionning of an Element in Space：USA，US 4976582[P]. 1990-12-11.

［2］ Shabana A A. Flexible multibody dynamics：Review of past and recent developments[J]. Journal of Multibody System Dynamics，1997，1(2)：189-222.

［3］ Martins J M，Mohamed Z，Tokhi M O，et al. Approaches for dynamic modeling of flexible manipulator systems[J]. IEEE Proceedings：Control Theory and Applications，2003，150(4)：401-411.

［4］ Wu H T，Mani N K，Ashrafiuon H. Selection of modal basis for flexible bodies of mechanical systems[J].Mechanism and Machine Theory，1995，30(3)：471-489.

［5］ Wu H T，Mani N K. Modeling of flexible bodies for multibody dynamic systems using Ritz vectors[J]. ASME Journal of Mechanical Design，1994，116(2)：437-449.

［6］ Wang X，Mills J K. Dynamic modeling of a flexible-link planar parallel platform using a substructuring approach[J]. Mechanism and Machine Theory，2006，41(6)：671-687.

［7］ Liao C Y，Sung C K. An elastodynamic analysis and control of flexible linkages using piezoceramic sensors and actuators[J]. ASME Journal of Mechanical Design，1993，115(3)：658-665.

［8］ Fattah A，Angeles J，Misra A K. Dynamics of a 3-DOF spatial parallel manipulator with flexible links[C]// Proceedings of the 1995 IEEE International Conference on Robotics and Automation. Nagoya，Japan，1995：627-632.

［9］ Xu X R，Chung W J，Choi Y H. Modeling of kinetoelastodynamics of robots with flexible links[C]// Proceedings of the 1999 IEEE International Conference on Robotics and Automation．Detroit，USA，1999：753-758.

［10］ Zhao Xinyu，Huang Tian，Zhao Xueman. Dynamic modeling of the feed transmission system of a Tripodbased parallel machine tool[J]. Journal of Vibration Engineering，2001，14(2)：196-201.

［11］ Piras G，Cleghorn W L，Mills J K. Dynamic finiteelement analysis of a planar high-speed，high-precision parallel manipulator with flexible links[J]. Mechanism and Machine Theory，2005，40(7)：849-862.

［12］ Ding Xilun，Selig J M. Lumped parameter dynamic modeling for the flexible manipulator[C]// Proceedings of the 5th World Congress on Intelligent Control and Automation. Hangzhou，China，2004：280-284.

［13］ Lou Yunjiang，Gong Wei，Li Zexiang，et al. Natural frequency based optimal design of a two-link flexible manipulator[C]// Proceedings of 2009 IEEE International Conference on Robotics and Automation. Kobe，Japan，2009：1768-1773.

［14］ Bahai H，Aryana F. Design optimization of structures vibration behaviour using first order approximation and local modification[J]. Computers and Structures，2002，80(26)：1955-1964.

［15］ Everett L J，Tang J，Compere M. Designing flexible manipulators with the lowest natural frequency nearly independent of position[J]. IEEE Transactions on Robotics and Automation，1999，15(4)：605-611.

［16］ Zhang Xianmin，Shen Yunwen，Liu Hongzhao，et al.Optimal design of flexible mechanisms with frequency constraints[J]. Mechanism and Machine Theory，1995，30(1)：131-139.

［17］ Park K J. Flexible robot manipulator path design to reduce the endpoint residual vibration under torque constraints[J]. Journal of Sound and Vibration，2004，275(3/4/5)：1051-1068.