陳濤，李金龍，楊凱凡，劉延軍

數(shù)學(xué)建模思想融入《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)

陳濤，李金龍，楊凱凡，劉延軍

數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)，將數(shù)學(xué)建模的思想方法融入《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)，從教學(xué)的主要環(huán)節(jié)提出了滲透數(shù)學(xué)建模思想方法的一些方法和實踐。

數(shù)學(xué)分析；數(shù)學(xué)建模；教學(xué)改革

當(dāng)今數(shù)學(xué)教育，不僅要教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識，還要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)以及應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維方式觀察周圍的事物，用數(shù)學(xué)的思維方法分析、解決現(xiàn)實世界中的實際問題?！稊?shù)學(xué)分析》是高校應(yīng)用數(shù)學(xué)和信息與計算科學(xué)專業(yè)最重要的基礎(chǔ)課程之一，是以微積分為基礎(chǔ)內(nèi)容，深度和廣度比高等數(shù)學(xué)和一般的微積分教程更深更廣的一門課程。通過這門課程的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生很好地掌握《數(shù)學(xué)分析》的基本理論、思想和方法，特別是學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識和運(yùn)用方面的悟性與智慧潛能都得到開發(fā)，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新實踐能力。

數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法和手段分析解決實際問題的過程，實際問題因其鮮明的生動性激發(fā)我們的形象思維。數(shù)學(xué)建模問題來源于現(xiàn)實生活，所提出的問題容易引起學(xué)生的興趣，但問題往往沒有清晰的條件和結(jié)論，可用的信息和最終的結(jié)論要靠學(xué)生自己去挖掘，更沒有一套典型的解法，用已知的知識方法和傳統(tǒng)的方式去處理往往會失敗，需要學(xué)生重新組合所學(xué)的知識，提出一套新的程序甚至新的理論才能解決。建模過程充分體現(xiàn)了知識可以通過“體會”、“構(gòu)建”、“再創(chuàng)造”等創(chuàng)造性過程及認(rèn)識過程而獲得。

在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，雖然不能直接開展建模競賽，但是，可以通過引入建模競賽的思維和方法，來發(fā)揮學(xué)生的積極性和自主性，以案例分析為重點，以“用”為標(biāo)準(zhǔn)，取舍教學(xué)內(nèi)容。在不損害知識體系的前提下，以“題”為中心組織基礎(chǔ)知識講授，以“練”為手段選擇靈活多樣的教學(xué)方法，突出重點、講解難點、精講多練。讓學(xué)生在“練”中發(fā)現(xiàn)自己的知識缺陷，激發(fā)求知欲。在《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)中滲入數(shù)學(xué)建模思想方法，結(jié)合適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，展現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的來龍去脈，把枯燥的知識和豐富的現(xiàn)實架起橋梁，既有利于展現(xiàn)知識發(fā)生的過程，又能增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識的目的性，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值，對培養(yǎng)學(xué)生的興趣、提高數(shù)學(xué)素質(zhì)有重要意義。

一、數(shù)學(xué)建模思想在概念和定義講授中的滲透

《數(shù)學(xué)分析》中的函數(shù)、極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、重積分、級數(shù)等概念都是從客觀事物的某種數(shù)量關(guān)系或空間關(guān)系抽象出來的數(shù)學(xué)模型。在教學(xué)中可從其“原型”和學(xué)生熟知的日常生活中自然而然地引出來。因而，從概念上人手，滲透數(shù)學(xué)建模思想可以取得良好效果。

（1）所引用實際問題要有原始背景資料，應(yīng)講清來龍去脈?！稊?shù)學(xué)分析》理論體系的完善蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)建模思想的軌跡，充滿著創(chuàng)造性，了解和學(xué)習(xí)前人所付出的努力，能給人以啟發(fā)和激勵。在介紹數(shù)學(xué)建模時，能介紹其思想軌跡、來龍去脈，教學(xué)效果會更好。例如，我們常用瞬時速度及切線斜率模型來引入導(dǎo)數(shù)概念，便取得了較好的效果。但由于此處我們是用已嚴(yán)格化的分析語言，集速度、斜率之共性給出導(dǎo)數(shù)定義的，而在反映先驅(qū)者在嚴(yán)密化的創(chuàng)造性工作方面做得不夠。如果我們能補(bǔ)充介紹費(fèi)馬在1629年設(shè)計透鏡求曲線在一點處的切線這一典故，那么，生動的史實就能讓學(xué)生了解前人在創(chuàng)立新理論時的建模過程，更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

（2）重視每一個概念，但不必都滲透數(shù)學(xué)模型，應(yīng)該做到恰到好處。有觀點認(rèn)為，每引出一個新概念或一個新內(nèi)容，都應(yīng)有一個刺激學(xué)生學(xué)習(xí)欲的實例，說明該內(nèi)容的應(yīng)用性。如果將此作為一個教學(xué)模式是不可能的，也是沒有必要的。恩格斯說：“自然界對這一切想象的數(shù)量都提供了原型?！边@里并沒有說“這一切想象的數(shù)量都是由原型引進(jìn)來的”，這也是數(shù)學(xué)本身的一個特點。數(shù)學(xué)一旦形成基本概念，就可以不借助外界的刺激，只需數(shù)學(xué)內(nèi)在的規(guī)律，就可以發(fā)現(xiàn)新的定義定理，推動數(shù)學(xué)發(fā)展，先有數(shù)學(xué)原理再發(fā)現(xiàn)生活原型的例子比比皆是。因而，在將數(shù)學(xué)建模思想滲入《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)的時候，不必形而上學(xué)，機(jī)械地在每一個概念定理前添上一個模型，把本來一個完整的系統(tǒng)用支離破碎的模型加以解釋說明。我們要抓住重點，只針對本課程中的核心概念和定理進(jìn)行滲人，有時也可以反其道而行之，即先給概念，再給原題。

二、數(shù)學(xué)建模思想在定理證明中的滲透

《數(shù)學(xué)分析》中有大量的基本定理，這些定理對學(xué)習(xí)理解內(nèi)容有著重要的作用。靈活運(yùn)用定理與定理的證明方法是處理教學(xué)過程的一大難點。事實上教材中的很多定理，在歷史上發(fā)明它們的時候，本來是有很自然的背景的，但經(jīng)過抽象之后寫在課本上，學(xué)生學(xué)起來就不知道為什么需要這些定理，發(fā)明者的原始想法也很可能就被隱藏在邏輯推理之中，使得學(xué)生初學(xué)起來較為困難，不能很好地理解定理。因此，在教學(xué)中讓學(xué)生能在一定程度上了解所學(xué)知識的來龍去脈及歷史淵源是十分必要的，往往可激發(fā)學(xué)生的求知欲望，然后把定理的結(jié)論看作是一個特定的模型，需要我們?nèi)ソ⑺?。于是，?dāng)把定理的條件看作是模型的假設(shè)時，即可根據(jù)預(yù)先設(shè)置的問題情景引導(dǎo)學(xué)生一步一步地發(fā)現(xiàn)定理的結(jié)論，這種融入數(shù)學(xué)建模思想的教學(xué)方法，不但使學(xué)生學(xué)到知識，而且讓他們體驗到探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和能力的好途徑。因此，對于一些定理的證明也可采取談化形式、注重實質(zhì)的方式進(jìn)行處理，往往可直觀易懂且收到事半功倍的教學(xué)效果。這正是體現(xiàn)出數(shù)學(xué)建模并沒有標(biāo)準(zhǔn)模式方法和思路靈活多樣的特點。

三、數(shù)學(xué)建模思想在課外習(xí)題作業(yè)中的滲透

課外作業(yè)是進(jìn)一步理解、消化和鞏固課堂教學(xué)內(nèi)容的重要環(huán)節(jié)。針對《數(shù)學(xué)分析》理論性較強(qiáng)的特點，有目的讓學(xué)生解決一些實際問題。只有把理論應(yīng)用到實踐中去，解決幾個實際問題，才能達(dá)到理解、深化、鞏固所學(xué)理論的效果。學(xué)生可以自由組隊，通過合作、感知、體驗和實踐的方式完成此類作業(yè)。他們在參與完成作業(yè)的過程中，培養(yǎng)了不斷學(xué)習(xí)、勇于創(chuàng)新、團(tuán)結(jié)互助的精神。適當(dāng)布置一些開放型的應(yīng)用題，給學(xué)生以更大的思維空間，以學(xué)生為中心，以問題為主線，積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索是當(dāng)前教學(xué)改革的主流。

四、數(shù)學(xué)建模思想在考試命題中的滲透

當(dāng)前，《數(shù)學(xué)分析》課程的考試命題一般以課本中的例題和習(xí)題的形式為主，或者把課本中的某些問題和結(jié)論設(shè)計成填空題、選擇題等，唯獨缺乏開放型的應(yīng)用題以及考查學(xué)生靈活地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的題目。這樣做也許對教師閱卷方便，但卻導(dǎo)致許多學(xué)生高分低能，也產(chǎn)生不良的學(xué)習(xí)導(dǎo)向，學(xué)生平時只注重盲目做題，機(jī)械地學(xué)習(xí)，而不重視對概念的深刻理解，也不注意在知識的學(xué)習(xí)中體會和提煉數(shù)學(xué)思想和方法。在傳統(tǒng)的考試中，適當(dāng)?shù)卦黾右恍╅_放型的應(yīng)用題，要求學(xué)生按數(shù)學(xué)建模的方式方法去解答，這樣既能考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和數(shù)學(xué)能力水平，又與平時的教改相配套，使學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)一步加深理解，培養(yǎng)創(chuàng)新能力。采取與傳統(tǒng)考試不同的考核方式，通過命題小論文等方式，讓學(xué)生加深對所學(xué)知識的理解，初步鍛煉了學(xué)生的寫作能力，是建模思想的滲透與升華。

總之，把數(shù)學(xué)建模的思想方法融人到《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)中，透過抽象的表達(dá)形式，更好地理解基本概念和基本理論，深刻領(lǐng)會構(gòu)建模型過程中的一些數(shù)學(xué)思想方法，目的是要促進(jìn)學(xué)生更好地學(xué)習(xí)和掌握《數(shù)學(xué)分析》的基本知識，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，促進(jìn)數(shù)學(xué)教育的改革發(fā)展。

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G642.4

A

1673-1999（2011）01-0188-02

陳濤(1979-)，男，陜西漢中人，碩士，陜西理工學(xué)院（陜西漢中723000）數(shù)學(xué)系講師，從事數(shù)學(xué)分析教學(xué)和研究。

2010-10-17

教育部教育研究項目“使用信息技術(shù)工具改造課程”；陜西省教育廳科學(xué)研究項目(09JK380)；陜西理工學(xué)院教改資助項目。