226001 江蘇省南通市教育科學(xué)研究中心 符永平

讓學(xué)生在問題設(shè)計(jì)中發(fā)現(xiàn)
——引導(dǎo)學(xué)生“再創(chuàng)造”《矩形判定》的教學(xué)研究*

226001 江蘇省南通市教育科學(xué)研究中心 符永平

1 引言

著名的數(shù)學(xué)教育權(quán)威弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)方式的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”.如何通過數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生這種問題意識(shí)?訓(xùn)練學(xué)生這種問題意識(shí)?一直是筆者多年的追求.應(yīng)無(wú)錫英橋國(guó)際學(xué)校之邀，筆者上了《矩形判定》的新授課，本文結(jié)合課堂實(shí)錄與點(diǎn)評(píng)，匯報(bào)自己的教學(xué)思想，以求更多老師幫助.

2 課堂教學(xué)實(shí)錄與點(diǎn)評(píng)

師：同學(xué)們，這課我們?cè)搶W(xué)什么了?

生：學(xué)矩形判定.

師：為什么?

生：由平行四邊形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)可知道，幾何圖形的定義、性質(zhì)學(xué)好了就該研究判定了.

師：這條經(jīng)驗(yàn)很好!這堂課我想從“學(xué)什么?怎么學(xué)?”來和同學(xué)們探索“矩形判定”，怎么判定矩形呢?

生：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

師：這不是定義嗎?

生：它不僅是定義，而且還是判定.

師：為什么?

生：從等腰三角形、平行四邊形等的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的.

生：定義還可作為性質(zhì).

生：定義還是產(chǎn)生其它判定方法最原始的依據(jù).

設(shè)計(jì)問題1 從定義出發(fā)開始研究，根據(jù)平行四邊形等的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來研究矩形，這是學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)最可貴方法.現(xiàn)在就把定義作為矩形判定的方法一，你能根據(jù)它設(shè)計(jì)一道判斷題.

生：有一個(gè)角是直角且對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

師：這題設(shè)計(jì)得怎樣?大家評(píng)評(píng).

生：把平行四邊形換成了對(duì)角線互相平分，說法不同，其實(shí)一樣，這題好!

師：這個(gè)評(píng)價(jià)不錯(cuò)，評(píng)價(jià)的過程是對(duì)這個(gè)問題最好的解答!下面請(qǐng)看［設(shè)計(jì)問題2］.結(jié)合判定方法一，就少一個(gè)直角，能根據(jù)邊的長(zhǎng)度設(shè)計(jì)直角?

設(shè)計(jì)問題2 結(jié)合判定方法一設(shè)計(jì)，已知：?ABCD，且_____，求證：?ABCD是矩形.生：由勾股定理逆定理，三邊長(zhǎng)滿足勾股數(shù)，確定直角三角形就有了一個(gè)直角.

生：已知 AB=3，AC=4，BD=5，從而確定∠A 是直角.

生：還可以AB2+AD2=BD2.

師：聯(lián)系已學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)問題，不僅發(fā)現(xiàn)了新問題，而且能將知識(shí)與知識(shí)聯(lián)系起來，從而把握知識(shí)與題型的本質(zhì)，很好!請(qǐng)看［設(shè)計(jì)問題3］：由三角形中位線定理可知，MN平行且等于PQ，從而得?MNPQ，但根據(jù)定義還是少一個(gè)直角.

圖1

設(shè)計(jì)問題3 結(jié)合判定方法二設(shè)計(jì)，已知：四邊形MNPQ是四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形，且_____.求證：四邊形MNPQ是矩形.

師：?MNPQ各內(nèi)角大小與對(duì)角線AC，BD的夾角有什么關(guān)系?有了4個(gè)平行四邊形，可知∠NMQ=∠AOC.

生：只要AC⊥BC，就有∠NMQ為直角.

師：這是道好題，設(shè)計(jì)終于成功……［有了判定方法三，再請(qǐng)用另一方法解答，后面不再說明］

圖2

點(diǎn)評(píng) 充分利用學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生“再創(chuàng)造”矩形判定方法，聯(lián)系勾股定理和三角形中位線等“再創(chuàng)造”應(yīng)用判定方法的新題型.這不僅實(shí)現(xiàn)了“再創(chuàng)造”，而且強(qiáng)化了學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)(如用研究平行四邊形的方法來研究矩形)，加強(qiáng)了知識(shí)間的聯(lián)系和系統(tǒng)性，從而改善了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，提高了學(xué)生“再創(chuàng)造”的寬廣性，減少了對(duì)“創(chuàng)造”的神秘感.

師：請(qǐng)看［問題情境1］(多媒體演示：從左上角的第一個(gè)盆景開始直行……動(dòng)態(tài)形成四邊均為盆景的排布，同時(shí)誦讀“花城江陰，英橋飄香.擺賞盆景，景在幾何?!”)

問題情境1

圖3

生：矩形!

師：為什么?

生：四邊形中有3個(gè)角是直角.

師：為什么有3個(gè)角是直角的四邊形是矩形?

生：3個(gè)角是直角，由四邊形內(nèi)角和可知第四角也是直角，這樣兩組對(duì)角相等成了平行四邊形，滿足矩形定義，所以是矩形.

生：上下、左右兩組直角可分別得出兩組對(duì)邊平行，從而得到平行四邊形，滿足定義，所以是矩形.

師：你們以自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，將新問題轉(zhuǎn)化成平行四邊形研究，用矩形定義“創(chuàng)造”了判定方法二，太好了!結(jié)合這個(gè)判定方法，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)幾道判斷題并解答.

生：判斷，有3個(gè)角相等的四邊形是矩形.(學(xué)生評(píng)：這題有創(chuàng)意.)

生：判斷，有四個(gè)角是直角的四邊形.(學(xué)生評(píng)：本題質(zhì)量不高.)

生：判斷，有四個(gè)角相等的四邊形.

生：判斷，有兩個(gè)角是直角的四邊形.

師：這些好題還可作為選擇題的選項(xiàng)，課后同學(xué)們可繼續(xù)“加工”.請(qǐng)同學(xué)們看［設(shè)計(jì)問題4］

設(shè)計(jì)問題4 結(jié)合判定方法二 設(shè) 計(jì)，已 知，?ABCD 中，_______，求證：四邊形_______是矩形.

生：作垂線，就有直角.

師：請(qǐng)?jiān)趫D上結(jié)合判定二嘗試設(shè)計(jì)一個(gè)矩形?

生：可以作AE⊥BC于E，CF⊥AD于F

師：好!我們又設(shè)計(jì)出一題證明題，會(huì)證明(證明略)?再請(qǐng)看［設(shè)計(jì)問題5］，∠A與∠B什么關(guān)系?能否從這里找到構(gòu)造直角的突破口?

設(shè)計(jì)問題5 結(jié)合判定方法二設(shè)計(jì)，已知，如圖，?ABCD 且________，求證：四邊形________為矩形.

圖4

圖5

生：∠A+∠B=180°，有 180°就可構(gòu)造直角，所以考慮這兩角的角平分線.

生：要3個(gè)直角，可現(xiàn)在只有一個(gè)直角，還是沒有矩形啊!

師：還有其它180°可找?

生：有4組鄰角的和都是180°……

生：?ABCD四個(gè)內(nèi)角的角平分線分別交于E，F(xiàn)，G，H，求證四邊形EFGH是矩形.

師：漂亮，又是一道好題!會(huì)證明?

生：自己參加設(shè)計(jì)的題目會(huì)證得更好，不會(huì)證怎么可能設(shè)計(jì)?

師：對(duì)，平時(shí)多從試題的形成、變化聯(lián)系去訓(xùn)練自己，其學(xué)習(xí)效率和效果是可想而知的，我們要養(yǎng)成這種訓(xùn)練的習(xí)慣.

點(diǎn)評(píng) 充分利用問題情境變化的“刺激”作用，引導(dǎo)學(xué)生“再創(chuàng)造”判定方法二，聯(lián)系平行四邊形性質(zhì)和試題研究的基本方法“再創(chuàng)造”應(yīng)用判定方法二的新題型，從而提高了學(xué)生“再創(chuàng)造”的持久性和探索欲望.

師：請(qǐng)同學(xué)們看教具(圖6，四邊用木條做成可活動(dòng))在BD(紅塑料線)縮短，另一對(duì)角線(白色松緊帶)變長(zhǎng)的過程中，?ABCD變化情況.

生：因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)邊相等，所以邊不變化.

生：∠ABC，∠ADC 變 大，∠A，∠C變小.

生：當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，?ABCD成了矩形.

生：當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，其余三個(gè)角都成了直角.

師：對(duì)，從邊角觀察……這就是我們上面發(fā)現(xiàn)的兩個(gè)判定方法，還有什么發(fā)現(xiàn)?

生：在?ABCD成為矩形的過程中，兩條對(duì)角線一條變長(zhǎng)，一條變短.

師：這給我們什么啟發(fā)?

生：會(huì)不會(huì)對(duì)角線相等的平行四邊形也是矩形?

師：偉大的發(fā)現(xiàn)總是從問題開始，這問題有質(zhì)量!請(qǐng)同學(xué)們研究.

生：對(duì)角線相等能找到直角?師：為什么要直角?

生：必須滿足定義才是矩形.

師：抓住定義是產(chǎn)生判定方法最原始的依據(jù)，很好!直接找直角難，我們?cè)購(gòu)囊阎霭l(fā)試試.

生：要證∠BAD=90°，現(xiàn)在只知道∠BAD+∠ADC=180°

生：只要證∠BAD=∠ADC，也就是只要證兩角所在的三角形全等.

師：從已知出發(fā)，再?gòu)囊C的結(jié)論向已知“靠攏”，這又是一條重要的解題經(jīng)驗(yàn).

生：三邊對(duì)應(yīng)相等得三角形全等，得證對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.

師：我們又成功“創(chuàng)造”了一個(gè)判定方法，現(xiàn)請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合［問題情境2］回答.

圖6

問題情境2 結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活設(shè)計(jì)一道應(yīng)用判定方法三的實(shí)例，你會(huì)怎樣檢查一個(gè)四邊形門框是不是矩形?

生：若量得有三個(gè)角是直角則可判定它是矩形.

生：(1)先測(cè)量?jī)山M對(duì)邊相等，則可判定它是平行四邊形.

(2)若再測(cè)得兩條對(duì)角線也相等，則可判定它是矩形.師：很好!再請(qǐng)同學(xué)們［設(shè)計(jì)問題6］

圖7

設(shè)計(jì)問題6 結(jié)合判定方法三設(shè)計(jì)，已知，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于O，且________，求證：四邊形_______是矩形.

生：加上條件 E，F(xiàn)，G，H 是 AO，BO，CO，DO 的中點(diǎn)，我們可以利用對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.

師：很好!要證的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)一定要是中點(diǎn)?生：還可以AE=BF=CG=DH.

師：從設(shè)計(jì)特殊問題再設(shè)計(jì)成一般問題，這里的題目太多了……可本質(zhì)不變被同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了，太好了!再請(qǐng)同學(xué)們［設(shè)計(jì)問題7］.

圖8

設(shè)計(jì)問題7 已知，?ABCD的對(duì)角線 AC，BD相交于 O，△AOB是等邊三角形，AB=4cm，求∠1的度數(shù).

生：加條件 BO=AO=4，即△ABO就是等邊三角形，∠1=30°，并可設(shè)計(jì)第二個(gè)問題求BD.

生：也可求?ABCD的面積.

生：直接加條件△AOB為等邊三角形.

師：都很好!老師這堂課的收獲太多了……請(qǐng)同學(xué)們先說說這堂課的收獲.

生：知道了判定矩形的三個(gè)方法(見板書).

圖9

圖10

生：遷移學(xué)習(xí)平行四邊形的方法研究矩形.

生：設(shè)計(jì)問題的訓(xùn)練使我們把原來學(xué)過的很多問題聯(lián)系起來，變成新問題.很有趣!

生：設(shè)計(jì)問題……數(shù)學(xué)題原來就是這么產(chǎn)生的.

生：把矩形轉(zhuǎn)化為平行四邊形、三角形這是基本方法.

師：學(xué)會(huì)小結(jié)，是學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，課堂小結(jié)我們要養(yǎng)成抓住“學(xué)什么?怎么學(xué)?”來訓(xùn)練自己，同學(xué)們的小結(jié)很精彩……現(xiàn)結(jié)合情境3回答問題.

問題情境3

圖11

生：第一個(gè)問題38的，第二個(gè)問題是49，因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等.

師：第一個(gè)問題回答是正確的，第二個(gè)問題49盆是錯(cuò)誤的，這是一盆盆智慧的花，人生幾何，幾何人生，但愿同學(xué)們帶著這些幾何問題生成更多的智慧之花來點(diǎn)綴美麗的人生!(本堂課結(jié)束)

點(diǎn)評(píng) 充分利用教具實(shí)驗(yàn)中的變化規(guī)律啟發(fā)學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生“再創(chuàng)造”判定方法三，聯(lián)系矩形性質(zhì)“再創(chuàng)造”應(yīng)用判定方法三的新題型，從而提高學(xué)生“再創(chuàng)造”的漸進(jìn)性和趣味性.

師：三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，這是我們的猜想，如何證明?

生：結(jié)合定義，即滿足定義可證得了.

師：對(duì)，這位不舉手的同學(xué)能告訴我有什么困難?

生：有3個(gè)直角我不知道用?

師：定義怎么說的?

生：有一個(gè)角……

師：什么條件滿足了?

生：一個(gè)角是直角滿足了.

師：你怎么這樣謙虛，說不知道，上面不是講得很好?結(jié)合定義還要證什么?

生：證平行四邊形.

師：三個(gè)直角能證平形四邊形?

生：……我會(huì)了!

點(diǎn)評(píng) 充分利用學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)、能力、習(xí)慣等的差異，引導(dǎo)更多的學(xué)生參與和欣賞“再創(chuàng)造”活動(dòng)，通過“創(chuàng)造”培養(yǎng)學(xué)生大膽聯(lián)想，勇敢猜想，不畏失敗，在優(yōu)生幫助差生(把差生講懂有成就感，且是最好的鞏固訓(xùn)練)和差生欣賞優(yōu)生(原來這些知識(shí)和題目我身邊的同學(xué)也能“創(chuàng)造”……)的互動(dòng)活動(dòng)中利用差異資源.

3 教學(xué)隨想

3.1 本課的特點(diǎn)

矩形和平行四邊形的性質(zhì)和判定，無(wú)論是教材編寫的體例，還是核心概念形成與研究方法都有很強(qiáng)的遷移性.從矩形的性質(zhì)的問題入手，讓學(xué)生用研究平行四邊形的方法，引導(dǎo)學(xué)生變式問題并解決問題，學(xué)生自己“創(chuàng)造”的10道新題出來了，矩形的判定也同時(shí)呈現(xiàn)了(就是這些問題中的一些結(jié)論)，同學(xué)們面對(duì)自己探索的成果震憾了……而這些問題的設(shè)計(jì)與解決過程又起到了例題、鞏固練習(xí)題的作用，課堂效率是顯見的.

本課屬于“問題設(shè)計(jì)”新授課型，適用于遷移性強(qiáng)、知識(shí)連貫性強(qiáng)的新授課.其作用是讓新授課成為學(xué)生自主探究的“創(chuàng)造”性知識(shí)，使知識(shí)的生成與發(fā)現(xiàn)真正成為學(xué)生自己的勞動(dòng).操作要義為：最近發(fā)展區(qū)，遷移.目的是讓學(xué)生在學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、延伸問題過程中學(xué)會(huì)“再創(chuàng)造”，“創(chuàng)造”學(xué)生自己的問題，“創(chuàng)造”學(xué)生解決問題的方法.

3.2 本課的理論依據(jù)

亞里士多德說“求知是人類的本性”.求知的欲望，自由的思考，是創(chuàng)造的必要條件，也是走向創(chuàng)造的充分條件.創(chuàng)造性教學(xué)，就是為學(xué)生創(chuàng)造思考的自由，激發(fā)學(xué)生求知的欲望與興趣的教學(xué).創(chuàng)造性教學(xué)的實(shí)施可由三個(gè)起點(diǎn)構(gòu)建，首先是學(xué)生學(xué)習(xí)的邏輯起點(diǎn)，其次是把握學(xué)生學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，再次是把握學(xué)生知識(shí)生成的創(chuàng)新起點(diǎn)，使學(xué)生在這三個(gè)起點(diǎn)構(gòu)建的“最近創(chuàng)造區(qū)”內(nèi)自由地挑戰(zhàn)、自由地創(chuàng)造，學(xué)生不僅是學(xué)習(xí)的“再創(chuàng)造”者，還是在教師引領(lǐng)下實(shí)現(xiàn)課堂時(shí)空開放、教材與課堂超越的主體.

一堂課，一個(gè)人的創(chuàng)造嘗試也許很有限，但只要我們齊心努力，不斷發(fā)現(xiàn)問題，一定會(huì)邁近成功!

20111129)