442706 湖北省丹江口市習(xí)家店中學(xué) 王有華

一道經(jīng)典習(xí)題的其他結(jié)論

442706 湖北省丹江口市習(xí)家店中學(xué) 王有華

等邊三角形是最特殊、最具有美感的三角形，具有很多特殊的性質(zhì)，值得探究的地方很多，為各類練習(xí)、考試命題提供了豐富的素材.本文從一道經(jīng)典的習(xí)題入手，探究兩個(gè)有公共頂點(diǎn)的等邊三角形的一些結(jié)論.

如圖1，C是線段AB上一點(diǎn)，以分別AC，BC為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△ACD，等邊△BCE，連接AE，BD.

(1)求證：AE=BD;

(2)如圖2，將等邊△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，以上結(jié)論是否還成立，如果成立，給出證明，如果不成立，請說明理由.

圖1

圖2

本題是一道經(jīng)典的運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)、圖形變換、全等三角形的判定的動態(tài)習(xí)題，很多版本的教材都不約而同的將它選為例題或練習(xí).這兩個(gè)小題都是證明△ACE≌△DCB，從而得出AE=BD.

其實(shí)，對這個(gè)問題，在條件不變的前提下，還有其他一些結(jié)論，下面對此進(jìn)行探究.

結(jié)論1 如圖3，將等邊△BCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A，D，B三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，AE+AC=AB.

證明 連接 AE，BD，易證ACE≌△DCB，

圖3

結(jié)論2 如圖4，C是線段AB上一動點(diǎn)，以分別AC，BC為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△ACD，等邊△BCE，連接 AE，BD，AE 與 DC 交于點(diǎn)M，BD與CE交于點(diǎn)N，連接 MN，無論點(diǎn) C運(yùn)動到什么位置，都有 BN=EM，△MCN為等邊三角形.

證明 易證△ACE≌△DCB，

圖4

結(jié)論3 如圖5，C是線段AB上一動點(diǎn)，以分別 AC，BC為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△ACD，等邊△BCE，過點(diǎn)D作 DF⊥AB于 F，過點(diǎn) E作EG⊥AB于 G，無論點(diǎn) C運(yùn)動到什么位置，直角梯形DFGE的面積恒為定值.

圖5

結(jié)論4 如圖6，C是線段AB上一動點(diǎn)，分別以AC，BC為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△ACD，等邊△BCE，連接D，E，P為線段DE的中點(diǎn)，無論點(diǎn)C運(yùn)動到什么位置，點(diǎn)P到線段AB的距離恒為定值.

證明 作PH⊥AB于H，取AC的中點(diǎn)F，BC的中點(diǎn)G，連接 PF，PG.

圖6

結(jié)論5 如圖7，將等邊△BCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度，G為線段AE的中點(diǎn)，H為線段BD的中點(diǎn)，則△CGH為等邊三角形.

證明 因?yàn)椤鰽CE≌△DCB，

圖7

∴△CGH為等邊三角形.

結(jié)論6 如圖8，將等邊△BCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度，直線AE、直線BD所夾的銳角都等于60°.

結(jié)論7 將等邊△BCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在直線AD上時(shí)，BD∥AC.

圖8

證明 如圖9，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，

如圖10，圖11，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長線或反向延長線上時(shí)，同理可證BD∥AC.

圖9

圖10

圖11

結(jié)論8 如圖12，將等邊△BCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度，直線 AE，直線 BD的交點(diǎn)為K，則等邊△ACD的外接圓與等邊△BCE的外接圓都經(jīng)過交點(diǎn)K.

證明 ∵∠DKA=∠DCA，

∴ 點(diǎn)A，D，C，K 四點(diǎn)共圓，同理點(diǎn)B，E，C，K 四點(diǎn)共圓，

∴等邊△ACD的外接圓與等邊△BCE的外接圓都經(jīng)過交點(diǎn)K.

圖12

結(jié)論9 如圖13，將等邊△BCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度，過點(diǎn)A作CB的平行線AF，過點(diǎn)B作AC的平行線BF，AF，BF相交于點(diǎn) F，則△DEF為等邊三角形.

圖13

∴DEF為等邊三角形.

結(jié)論10 如圖14，將等邊△BCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A在△BCE內(nèi)部，且∠CAE=150°時(shí)AC2+AE2=AB2.

圖14

以上是對兩個(gè)有公共頂點(diǎn)的等邊三角形進(jìn)行變換探究得出的一些結(jié)論，這些結(jié)論對于引導(dǎo)師生鉆研經(jīng)典幾何問題，達(dá)到“一題多變，觸類旁通，連成體系”有較好的效果.

20111005)