陶新民，王妍，趙春暉，劉玉

(哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

粒子群優(yōu)化(particle swarmoptimization，PSO)是Kennedy于1995年提出的一種群體智能優(yōu)化方法，具有概念簡(jiǎn)單、調(diào)節(jié)參數(shù)少及全局收斂能力強(qiáng)等優(yōu)勢(shì)，得到了學(xué)術(shù)界的認(rèn)可［1-2］.目前在工程設(shè)計(jì)和工業(yè)生產(chǎn)優(yōu)化等領(lǐng)域得到了成功的應(yīng)用.PSO算法適合求解非線性連續(xù)優(yōu)化問題，為了將其用于解決離散問題，Kennedy于1997年提出解決0-1規(guī)劃問題的離散粒子群優(yōu)化算法(discrete particle swarmoptimization algorithm，DPSO)［3-5］.

然而傳統(tǒng)離散粒子群算法具有收斂精度低等問題［6-7］，因此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出各種方法對(duì)其性能進(jìn)行改進(jìn).主要改進(jìn)有以下3個(gè)方向:1)通過設(shè)置自適應(yīng)的控制參數(shù)等手段來影響粒子的移動(dòng)軌跡，改進(jìn)算法的性能.如文獻(xiàn)［8］采用慣性權(quán)重線性下降法，使算法在進(jìn)化初期搜索較大的解空間，后期在較小的區(qū)域精細(xì)搜索.文獻(xiàn)［9］設(shè)計(jì)了自適應(yīng)的最大速度閾值參數(shù)，使粒子在搜索初期傾向于全局搜索，后期傾向于當(dāng)前最優(yōu)解附近的局部搜索，有效實(shí)現(xiàn)粒子全局和局部搜索性能的平衡(velocity change discrete particle swarmoptimization，VCDPSO).2)通過增強(qiáng)粒子擺脫局部極小解的能力改進(jìn)算法的性能.如文獻(xiàn)［10］通過對(duì)慣性因子采用自適應(yīng)擾動(dòng)機(jī)制來增強(qiáng)粒子群跳出局部最優(yōu)的能力(introducingdynamic diversity into a discrete particle swarmoptimization，DDPSO).3)通過增加粒子群多樣性，能擺脫群體陷入局部極小的可能，從而提高了搜索質(zhì)量［11-12］.然而上述改進(jìn)算法都是基于連續(xù)PSO算法易陷入局部極小值為出發(fā)點(diǎn)提出的，事實(shí)上DPSO算法的進(jìn)化過程與連續(xù)PSO算法截然不同，上述連續(xù)狀態(tài)下的相關(guān)改進(jìn)算法并不適合離散粒子群算法［13］.文獻(xiàn)［14］通過對(duì)DPSO中粒子的速度變化進(jìn)行分析，提出一種雙速度狀態(tài)跟蹤的DPSO算法(novel binary particle swarmoptimization，NDPSO)，消除了原有算法對(duì)參數(shù)過于敏感的缺點(diǎn)，但由于算法增加了粒子狀態(tài)改變的隨機(jī)性，其性能受到影響.文獻(xiàn)［15］在分析DSPO算法粒子狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況后，提出一種不同的離散化方法(Modifying diversity particle swarmoptimization，MDPSO)，降低了粒子在最優(yōu)解附近的發(fā)散性，然而也使算法易陷入局部最優(yōu).因此如何在提高算法局部搜索能力的同時(shí)，不影響算法逃出局部最優(yōu)解的能力值得深入研究.

本文在分析了傳統(tǒng)DPSO算法粒子狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況的基礎(chǔ)上，提出一種雙尺度協(xié)同變異的離散粒子群算法(discrete particle swarmoptimization based on double-scale cooperation mutation，DSVMDPSO).該算法對(duì)當(dāng)前最優(yōu)粒子進(jìn)行粗細(xì)2種尺度的速度變異，這樣在提高算法局部開采能力的同時(shí)，保持了算法勘探能力，使其能有效逃出局部最優(yōu)解的同時(shí)提高了解的精度.

1 離散粒子群算法描述

實(shí)值粒子群優(yōu)化算法將優(yōu)化問題的每個(gè)潛在解看作搜索空間的一個(gè)“粒子”，粒子的適應(yīng)值取決于優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的值.每個(gè)粒子在搜索時(shí)根據(jù)自身的歷史最好點(diǎn)和群體內(nèi)其他粒子的最好點(diǎn)進(jìn)行狀態(tài)變化.為處理離散型優(yōu)化問題，Kennedy對(duì)實(shí)值粒子群算法進(jìn)行修正，提出了二進(jìn)制粒子群算法［3］.

設(shè)種群中有L個(gè)粒子，N維離散空間中，粒子i在時(shí)刻t的速度、位置、個(gè)體最好位置和全局最好位置分別用)表示，那么粒子i速度和位置的各維分量迭代公式［3］為

式中:i=1，2，…，L;j∈{1，2，…，N}表示粒子編碼中分量的維數(shù);r1j(t)和r2j(t)是(0，1)上均勻分布的隨機(jī)數(shù);w、c1和 c2是權(quán)重及加速系數(shù);ρ～U［0，1］是(0，1)區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)變量;sig()表示sigmoid函數(shù)，本文取sig(x)=.文獻(xiàn)［7］規(guī)定粒子的最大速度|vmax|=4，這樣 0.018≤sig(vij(t+1))≤0.982.

由文獻(xiàn)［14-15］對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的分析可知，在個(gè)體極值和全局極值不相等時(shí)，粒子會(huì)在2個(gè)極值間來回震蕩，當(dāng)c1和c2相等時(shí)粒子趨于隨機(jī)搜索，勘探能力較強(qiáng)，直到2個(gè)極值趨于一致;在2個(gè)極值相等且粒子不等于這2個(gè)極值的情況下，粒子會(huì)呈現(xiàn)向極值收斂的趨勢(shì)，逐漸向2個(gè)極值解逼近，勘探能力同樣較強(qiáng);而當(dāng)粒子收斂到全局最優(yōu)解時(shí)，如果w＞1時(shí)，粒子會(huì)隨著迭代而保持原有的狀態(tài)，變異的可能性降低，趨于陷入局部極值解;如果w≤1，則隨著迭代次數(shù)的增加，w會(huì)使當(dāng)前粒子的速度趨于零，即使得當(dāng)前粒子產(chǎn)生變異的概率趨近于0.5，很快發(fā)散出去，無法進(jìn)行有效的局部搜索，如圖1所示.因此提高算法在最優(yōu)解附近的局部搜索能力，同時(shí)保持算法逃逸局部最優(yōu)解的能力是傳統(tǒng)DPSO算法需要解決的首要問題.

圖1 DPSO算法在最優(yōu)解附近進(jìn)化示意Fig.1 Evolution of DPSO near optima

2 雙尺度協(xié)同變異的離散粒子群算法

我們知道變異操作能幫助算法逃出局部最優(yōu)解［18-20］，但根據(jù)DPSO算法的產(chǎn)生機(jī)理可知，在進(jìn)化后期，最優(yōu)解往往存在于當(dāng)前最優(yōu)解周圍，大尺度變異雖然有利于算法逃出局部最優(yōu)解，但無法保證逃逸后的新位置位于全局最優(yōu)解附近，在重新迭代時(shí)，因迭代次數(shù)的限制而無法收斂到全局最優(yōu)解.小尺度變異雖然有利于進(jìn)行局部搜索，但又易使算法陷入局部極值解.因此如何設(shè)計(jì)變異尺度是協(xié)調(diào)離散粒子群算法勘探和開采能力的關(guān)鍵.

2.1 雙尺度協(xié)同變異算子

設(shè)粗尺度變異算子中包括的尺度個(gè)數(shù)為M，初始值可隨機(jī)設(shè)定為速度取值區(qū)間的隨機(jī)值:

隨迭代數(shù)增加，粗尺度變異算子按如下方式調(diào)整:

Re是取實(shí)部函數(shù)，K為當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)，W是解空間的寬度，這里離散微粒群算法的速度范圍為［-5，5］，因此W取值為10.D的取值控制著震蕩的頻率，根據(jù)實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)設(shè)置為

設(shè)細(xì)尺度變異算子中包括的尺度個(gè)數(shù)為N，細(xì)尺度變異算子的初始值可隨機(jī)設(shè)定為W/4:

隨迭代數(shù)增加，細(xì)尺度變異算子按如下方式調(diào)整:

式中:C的取值與求解精度有關(guān)，控制著變異算子下降的速度，其值越小下降的越緩慢，這里取值為2.

如圖2為雙尺度協(xié)同變異算子隨迭代次數(shù)的變化，通過雙尺度協(xié)同變異算子能實(shí)現(xiàn)速度取值空間的覆蓋，如同粗細(xì)不同的顯微鏡，粗尺度變異算子好像一個(gè)粗鏡頭，能幫助算法快速定位到最優(yōu)解區(qū)域，具有一定的空間勘探能力;小尺度如同細(xì)的顯微鏡，對(duì)找到的目標(biāo)進(jìn)行細(xì)致觀察，在進(jìn)化后期實(shí)現(xiàn)最優(yōu)解附近的精確搜索，具有較強(qiáng)的開采能力.

圖2 雙尺度協(xié)同變異算子隨迭代數(shù)變化曲線Fig.2 The curves of double-scale cooperation mutation operator with Iterations＇increasing

2.2 慣性權(quán)重參數(shù)設(shè)定

2.3 MSCMPSO 算法流程

1)算法的參數(shù)初始化設(shè)定;

2)按照離散粒子群算法式(1)進(jìn)化;

3)根據(jù)式(2)進(jìn)行粒子狀態(tài)的計(jì)算;

4)計(jì)算當(dāng)前最優(yōu)解及每個(gè)粒子的個(gè)體極值解;

5)根據(jù)式(3)～(7)計(jì)算雙尺度協(xié)同變異算子值;

6)對(duì)當(dāng)前最優(yōu)解的速度進(jìn)行粗細(xì)2種尺度的變異，根據(jù)式(2)計(jì)算每一個(gè)粒子狀態(tài)，比較所有變異粒子的適應(yīng)值，如果最好的適應(yīng)值優(yōu)于當(dāng)前最優(yōu)解，則將其替換為為當(dāng)前新的最優(yōu)解;

7)循環(huán)直到終止條件.

3 算法優(yōu)化性能分析

設(shè)算法的變異尺度M、N都為5，選擇DeJong評(píng)測(cè)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，函數(shù)維度為20，每一維變量的編碼為20，這樣一個(gè)粒子的整個(gè)維度為400.

算法進(jìn)行多尺度速度變異，計(jì)算每一個(gè)尺度速度變異的粒子與原有粒子編碼的海明距離的平均值，取迭代5次的結(jié)果如圖3所示.從圖中可以看出每次迭代的變異都是在不同大小的海明距離下進(jìn)行的，這樣就保證了粒子會(huì)以不同大小步長(zhǎng)在粒子取值空間進(jìn)行搜索，這樣既保證了算法局部開采能力，同時(shí)也保證了算法逃逸局部極值解的能力.

圖3 與原有粒子編碼海明距離的平均值Fig.3 A mean of Hamming distance

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

4.1 測(cè)試數(shù)據(jù)及實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為了分析本文算法的優(yōu)化性能，選擇文獻(xiàn)［16］和文獻(xiàn)［17］的5個(gè)Benchmark函數(shù)問題進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，并與 DPSO 和其改進(jìn)算法 DDPSO［10］/NDPSO［14］/MDPSO［15］及 VCDPSO［9］進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn).所有算法中 w在［0.9，0.4］隨代數(shù)線性遞減;c1、c2均為1，DDPSO 的擾動(dòng)參數(shù) Pv=0.12，VCDPSO 的最大速度限制值的內(nèi)部協(xié)調(diào)參數(shù)為 1.2，本文算法M=5，N=5，種群規(guī)模均為20，函數(shù)維度設(shè)置為20，每一位變量的編碼長(zhǎng)度為20，每次運(yùn)行2 000代，對(duì)每一個(gè)函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行30次.

4.2 基于單模態(tài)函數(shù)優(yōu)化性能對(duì)比實(shí)驗(yàn)

圖4反映了不同 DPSO算法分別對(duì) Delong、Rosenbrak函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)適應(yīng)度值隨迭代次數(shù)的變化圖.針對(duì)單模態(tài)函數(shù)優(yōu)化問題的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.從圖4(a)可以看出，對(duì)于DeJong函數(shù)本文算法隨迭代次數(shù)迅速向著最優(yōu)解區(qū)域靠近.對(duì)于復(fù)雜的單模態(tài)Rosenbrock函數(shù)山谷僅給算法提供很少的信息，使傳統(tǒng)DPSO算法很難在短時(shí)間內(nèi)辨別搜索方向，易陷入局部最優(yōu).而圖4(b)表明本文算法采用雙尺度速度變異能夠有效地逃逸出局部極值點(diǎn)，使得算法能在短時(shí)間找到正確的搜索方向，下降速度較快.同時(shí)算法后期，由于細(xì)尺度變異使得算法在最優(yōu)解附近進(jìn)行更加詳盡的搜索，提高了解的精度.

表1顯示了單模態(tài)函數(shù)問題的對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果，從各算法的最優(yōu)值和最差值的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，本文算法在所有函數(shù)上均由于其他算法，在Delong函數(shù)和Rosenbrock函數(shù)上最優(yōu)解搜索成功率達(dá)100%、94%.對(duì)于復(fù)雜的Rosenbrock函數(shù)問題，各個(gè)算法單次結(jié)果存在很大差異，由于函數(shù)的特殊性質(zhì)以及隨機(jī)變異的引入，反而降低了DDPSO算法的搜索性能.VCDPSO由于采用了數(shù)值為1的權(quán)重系數(shù)以及變化速度極值的方式，因此經(jīng)過一定的迭代后也逃出了局部極小解.而本文提出的DSVMDPSO算法能夠在算法初始階段就通過粗尺度變異定位到全局最優(yōu)解區(qū)域，找到進(jìn)化方向且通過細(xì)尺度速度變異進(jìn)行局部精確解搜索.

圖4 不同DPSO算法對(duì)Delong和Rosenbrock函數(shù)優(yōu)化性能對(duì)比Fig.4 Comparison of different DPSO on Delong and Rosenbrock function

表1 DSVMDPSO和其他DPSO算法在單模態(tài)Benchmark問題上的數(shù)值對(duì)比Table 1 Comparison of the results on single-mode Benchmark function

4.3 基于多模態(tài)函數(shù)優(yōu)化性能對(duì)比實(shí)驗(yàn)

多模態(tài)函數(shù)對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示.對(duì)于多模態(tài)Griewank函數(shù)，本文DSVMDPSO算法能夠在開始階段尋到全局最優(yōu)解區(qū)域，其全局搜索能力明顯優(yōu)于其他算法.多模態(tài)Rastrigrin函數(shù)是一個(gè)典型的用來測(cè)試算法全局搜索性能的函數(shù)，從圖5(b)和表2可以看出，雖然本文算法沒有在有限次的運(yùn)行中都能找到近似全局最優(yōu)解0，但是只要給予足夠長(zhǎng)的迭代次數(shù)，算法總能逃出局部極小點(diǎn)找到全局最優(yōu)解.圖5(c)為20維Ackley函數(shù)的運(yùn)行結(jié)果，DSVMDPSO算法同樣能在算法初期尋到全局最優(yōu)解區(qū)域，然后利用DPSO進(jìn)化和細(xì)尺度速度變異算子實(shí)現(xiàn)最優(yōu)解附近的局部精確解搜索.從表2的結(jié)果可以看出，本文算法大大改善了算法全局解尋優(yōu)能力及提高了解的精度，無論是傳統(tǒng)DPSO還是其他改進(jìn)算法都不具備良好的穩(wěn)定性，而本文算法相對(duì)于其他算法，其穩(wěn)定性大大提高.

圖5 不同DPSO算法對(duì)Griewank、Rastrigrin和Ackley函數(shù)優(yōu)化性能對(duì)比Fig.5 Comparison of different DPSO on Griewank，Rastrigrin and Ack ley function

表2 DSVMDPSO和其他DPSO算法在多模態(tài)Benchmark問題上的數(shù)值對(duì)比Table 2 Comparison of the results on multimode Benchmark function

5 結(jié)論

本文提出了一種雙尺度協(xié)同變異的離散粒子群算法，結(jié)合實(shí)驗(yàn)得到如下結(jié)論:

1)針對(duì)傳統(tǒng)離散粒子群算法的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程中存在最優(yōu)解區(qū)域局部搜索能力差的不足，提出一個(gè)雙尺度速度變異算子，該算子可以有效實(shí)現(xiàn)在最優(yōu)解附近精確的局部搜索，同時(shí)在算法初期利用粗尺度速度變異可以使粒子群進(jìn)行發(fā)散式的全局搜索，從而快速定位到全局最優(yōu)解區(qū)域，在算法后期，由于粗尺度速度變異的震蕩性質(zhì)在細(xì)尺度速度變異進(jìn)行局部精確解搜索的同時(shí)，可幫助算法逃逸出局部極小解，實(shí)現(xiàn)算法勘探及開采能力的有機(jī)協(xié)調(diào).

2)采用本文算法及其改進(jìn)算法，對(duì)5個(gè)經(jīng)典Benchmark函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文算法在全局搜索性能及最優(yōu)解精度方面都有顯著提高.

需要指出的是，本文尚未考慮各種參數(shù)對(duì)算法性能的影響，這也是本課題下一階段研究的重點(diǎn).

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