侯凱賢，葛廣全

(西安建筑科技大學(xué)土木工程學(xué)院，陜西西安710055)

由于地震激發(fā)引起地基振動(dòng)，從而使地基產(chǎn)生隨時(shí)間變化的位移、速度、加速度、內(nèi)力和變形等，統(tǒng)稱為地基的地震響應(yīng)。地基上的質(zhì)量因加速度的存在而產(chǎn)生的慣性力稱為地震作用。地基的地震響應(yīng)取決于地震特性和地基特性，特別是地基的動(dòng)力特性(如自振周期與阻尼)。

本文的目的是研究線性剪切模型地基的地震響應(yīng)問題。確定其自振頻率、振型函數(shù)、參與系數(shù)及穩(wěn)態(tài)動(dòng)力響應(yīng)的封閉型解析表達(dá)式，進(jìn)而計(jì)算得出地基土的相對(duì)位移、剪應(yīng)變、剪應(yīng)力以及絕對(duì)加速度響應(yīng)表達(dá)式。并且利用數(shù)值算法結(jié)合計(jì)算機(jī)求得其在基巖輸入下的最大反應(yīng)。

1 基本理論

1.1 建立模型［1］

當(dāng)土層的物理力學(xué)性質(zhì)在水平上為均勻時(shí)，在基巖面上水平地震動(dòng)¨ug(t)的作用下，可以認(rèn)為土層沿整個(gè)高度的質(zhì)量密度ρs是均勻的，且土層只受水平方向地震動(dòng)的影響，不考慮豎直方向地震運(yùn)動(dòng)。土層的位移也只受水平方向的剪切位移，沒有彎曲位移，這樣就可以將土層作為一個(gè)具有非均勻剪切模量的剪切梁，如圖1所示。從圖1(a)中取出一單元薄土層dz，如圖1(b)所示，由作用在單元體上的力的平衡關(guān)系，得:

圖1 土層計(jì)算模型

1.2 動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)及定解條件

式中:Q為土層間的剪力;u為土層的位移。

將式(3)代入式(2)得:

如果在上述計(jì)算中考慮土層的粘滯阻尼力，則可將式(4)進(jìn)一步寫為:

式中:cs為土的粘滯阻尼力。

式(5)就是場地土地震時(shí)的動(dòng)力基本方程，它的解答應(yīng)滿足以下定解條件。

初始條件:

邊界條件:

2 地基解的求解

2.1 頻率方程建立和求解及振型函數(shù)的獲得

利用分離變量法，設(shè):

式中:ηi為振型參與系數(shù)。

將式(8)代入式(5)，進(jìn)行變量分離，兩邊除以φi(x)得:

即:

式中:a2i為待定常數(shù)。

由式(6)和式(7)可得其定解條件為:

當(dāng)已知剪切模量的表達(dá)式以后，代入以上方程就可以得到相應(yīng)的解答。

下面求解式(10)。為此將式 G(z)=G0+mz代入式(10)，得:

代換x=G0+mz，則式(14)成為:

令αi=ai/m，于是上式可進(jìn)一步寫成

式(15)為二階常微分方程，即:

(兩邊除以α2i，再乘以 z2)

此式是n為零的貝塞爾(bessel)方程，其通解可以表示成為:

式中:J0和N0分別是零階第一類貝塞爾函數(shù)和零階第二類貝塞爾函數(shù)。

將式(16)代入邊界條件式(13)可得:

式中:θ=G0+mH;J1和N1分別是一階第一類貝塞爾函數(shù)和一階第二類貝塞爾函數(shù)［9］。

由式(17)中的系數(shù)行列式等于零，得到確定ai的方程為:

若令:

則

于是式(18)可寫為:

式(22)的根μi可以從相應(yīng)的手冊(cè)中查出或通過計(jì)算機(jī)解出。當(dāng)μi確定后，ai即可由下式解出:

其次，從式(17)中的第二式得:

將其代入式(16)中可進(jìn)一步得到:

式中:

2.2 確定振型參與系數(shù)ηi

貝塞爾函數(shù)正交性:

η的求解:將式(9)兩端同乘以 λyY(λy)，并對(duì) y

ij0j從0到1進(jìn)行積分。根據(jù)貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)，右端可得:

左端

當(dāng)i=j時(shí)

當(dāng) i≠j時(shí)

從而可得

2.3 相對(duì)位移反應(yīng)的計(jì)算

2.3.1 Ti(t)函數(shù)的求解

求解式(11)，將其改寫為:

于是式(11)的通解為:

將其代入定解條件式(12)中，得A=B=0。所以該問題的解答為:

式中:

綜合以上各式，得到式(8)的解為:

式中:

式(27)即為剪切模量隨深度均勻變化時(shí)場地土相對(duì)位移反應(yīng)的計(jì)算公式。

其中對(duì)應(yīng)的齊次解為:

式中:ω0i=ωi√1－ξ2i為第i振型自振圓頻率。

特解T*i可以根據(jù)杜哈梅(Duhamel)積分求得，即:

當(dāng)阻尼較小時(shí)，式(28)可以近似寫為:

式中:ηaj=－ω2jηj稱為絕對(duì)加速度振型參與系數(shù)。

由式(27)可得到土層的剪應(yīng)變?yōu)?

2.3.2 地震反應(yīng)

由于地面水平運(yùn)動(dòng)¨ug(t)不是一個(gè)規(guī)律的函數(shù)，要把真實(shí)的強(qiáng)震記錄¨ug(t)不加處理地放入公式進(jìn)行積分幾乎是不可能的。因此，多采用另一種途徑，即用數(shù)值分析的方法來計(jì)算地震反應(yīng)。特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，為這一方面提供了極其有利的條件。目前用的較多的有線性加速度法、威爾遜(Wilson)－θ法及龍格－庫塔(Runge－Kutta)法。

2.3.3 龍格－庫塔法及算例［7］

龍格－庫塔法:在逐次積分法中，龍格－庫塔法是最簡單的，它把動(dòng)力方程化為兩個(gè)一階微分方程組求解，計(jì)算的精確度也比較高。

算例:某場地土層厚度H=28 m，土層的密度ρs和s波速¨ug(t)都是實(shí)測(cè)值，剪切模量G由G=G0+mz算出，該場地土的G0和m分別為G0=25.5 MPa，m=0.52857 MPa，土的密度取平均值ρs=1 600kg/m3，地基土的阻尼比為ξ=0.01，利用上述數(shù)據(jù)算得的土層最大期望反應(yīng)(相對(duì)位移、相對(duì)剪力和絕對(duì)加速度)見圖2。計(jì)算前8階頻率為(單位rad/s):

3 結(jié)論

本文選擇地面上一點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立了線性剪切模量地基響應(yīng)的計(jì)算模型，把基巖輸入地震化作為邊界條件靜止不動(dòng)而在計(jì)算域各點(diǎn)上作用著慣性力的問題進(jìn)行計(jì)算，在給定的時(shí)間域中得到了基巖在任意輸入地震作用下的解析解。利用數(shù)值方法，通過對(duì)一算例的計(jì)算得出在土層剪切模量為線性變化的情況下，地基土的最大反應(yīng)圖(相對(duì)位移、絕對(duì)加速度和剪應(yīng)力)。

［1］黃義，門玉明．結(jié)構(gòu)－地基相互作用系統(tǒng)可靠性分析［M］．西安:陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2000

［2］張為民，黃義，王春玲．成層地基一維土層地震反應(yīng)解析［J］．西安建筑科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，35(2)

［3］王春玲，黃義．剪切模量是冪函數(shù)的成層土的地震隨機(jī)反應(yīng)［J］．應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2004，21(2):21－26

［4］高玉峰，金建新，謝康和，等．成層地基一維土層地震反應(yīng)解析解［J］．巖土工程學(xué)報(bào)，1999，21(4):488－500

［5］欒茂田，金崇磐，林皋．非均質(zhì)地基振動(dòng)特性及地震反應(yīng)分析［J］．大連理工大學(xué)學(xué)報(bào)，1992，32(1):81－87

［6］劉延柱，陳文良，陳立群．振動(dòng)力學(xué)［M］．北京:高等教育出版社，2002

［7］朱伯龍，張琨聯(lián)．建筑結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)原理［M］．上海:同濟(jì)大學(xué)出版社，1994

［8］Ikuo Towhata．Seismic wave propagation in elasic soil with continuous variation of shear modulus in the vertical direction［J］．Soil and Foundation，1996，36(1):61－72

［9］汪德新．?dāng)?shù)學(xué)物理方法［M］．北京:科學(xué)出版社，2006

［10］吳湘興．建筑地基基礎(chǔ)［M］．廣州:華南理工大學(xué)出版社，1997

［11］吳家龍．彈性力學(xué)［M］．北京:高等教育出版社，2001

［12］David G．Luenberger．Introduction to Dynamic Systems Theory，Models，and Applications［M］．United States:John Wiley ＆ Sonsc Inc，1979

［13］Ray·W·Clough，Jose ph·Penzien．Dynamicsof Structures［M］．United States:McGraw－Hill，1975