諶 昱，楊小龍，王先煒

(中國直升機(jī)設(shè)計(jì)研究所，江西景德鎮(zhèn) 333001)

0 引言

以線性二次型調(diào)節(jié)器為基礎(chǔ)的最優(yōu)控制是20世紀(jì)50年代末發(fā)展起來的設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)方法。這種方法具有計(jì)算簡單、便于調(diào)整等優(yōu)點(diǎn)，且得到的最優(yōu)控制律是狀態(tài)變量的線性函數(shù)，可以利用反饋方法構(gòu)成閉環(huán)控制，在工程上易于實(shí)現(xiàn)，已經(jīng)成為當(dāng)今控制領(lǐng)域較為主要的設(shè)計(jì)方法之一［1］。

本文以小擾動(dòng)方程下的某型直升機(jī)模型為被控對(duì)象，采用輸出反饋LQR技術(shù)設(shè)計(jì)了該型直升機(jī)的前飛控制律，并以計(jì)入了直升機(jī)各執(zhí)行器后的模型和前飛控制器構(gòu)成全數(shù)字閉環(huán)仿真系統(tǒng)進(jìn)行仿真。結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的前飛控制律控制效果良好，滿足性能指標(biāo)要求。

1 問題描述

1.1 直升機(jī)小擾動(dòng)模型及前飛控制性能指標(biāo)

直升機(jī)狀態(tài)方程如下:

在小擾動(dòng)狀態(tài)下，可建立直升機(jī)基于非線性模型的小偏差線性化模型，其狀態(tài)空間表達(dá)式如下［2］:

式中，ΔX∈R9為系統(tǒng)狀態(tài)變量，Δδ∈R4為控制輸入，Y表示輸出量。其中，Δu，Δv，Δw分別表示直升機(jī)沿機(jī)體x，y，z軸的線速度變化量;Δθ，Δφ，Δψ分別表示直升機(jī)俯仰角、滾轉(zhuǎn)角和偏航角變化量分別表示直升機(jī)俯仰角速度、滾轉(zhuǎn)角速度和偏航角速度變化量。Δδe，Δδa，Δδr，Δδc分別表示旋翼縱向周期變距、橫向周期變距、尾槳槳距以及旋翼總距變化量。

由于直升機(jī)工作的不穩(wěn)定性，縱向通道、側(cè)向通道、航向通道以及總距通道之間存在耦合。而在小擾動(dòng)狀態(tài)下，為了方便工程設(shè)計(jì)與分析，忽略縱側(cè)通道之間的耦合作用，將式(2)狀態(tài)方程分解為縱向狀態(tài)方程和側(cè)向狀態(tài)方程。

縱向狀態(tài)方程如下:

側(cè)向狀態(tài)方程如下:

系統(tǒng)在獲得數(shù)據(jù)分片后，對(duì)分片進(jìn)行哈希計(jì)算，得到每個(gè)分片的哈希值后，與之前原數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在智能合約中的哈希值進(jìn)行比對(duì)、驗(yàn)證。如果哈希值相同，則系統(tǒng)返回?cái)?shù)據(jù)未被改動(dòng)；反之，則提醒用戶數(shù)據(jù)已經(jīng)被篡改。另外，考慮到分布式存儲(chǔ)的容錯(cuò)性，如果出現(xiàn)部分分片丟失，只要丟失的分片數(shù)量小于系統(tǒng)數(shù)據(jù)冗余分片數(shù)量，系統(tǒng)仍然能夠還原數(shù)據(jù)源文件，具體如圖8所示。

在式(4)和式(5)中，各符號(hào)的定義同式(2)。

該型直升機(jī)的前飛控制律穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)是:在設(shè)定的單位階躍激勵(lì)下，直升機(jī)沿機(jī)體x軸線速度變化|Δu|≤1 m/s，穩(wěn)定時(shí)間3s到5s，無超調(diào)。其他參數(shù) Δv，Δw，Δθ，Δφ，Δψ 也要求變化不大和有較快的穩(wěn)定時(shí)間。

1.2 LQR最優(yōu)控制器原理

系統(tǒng)(1)二次型目標(biāo)函數(shù)如下:

式中，Q，R稱為加權(quán)矩陣，且Q為9×9維半正定矩陣，R為4×4維正定對(duì)稱矩陣。最優(yōu)控制就是尋求控制作用Δδ，如圖1所示，使目標(biāo)函數(shù)(6)最小。應(yīng)用極小值原理，可以求出最優(yōu)控制作用為Δδ=KΔX=-R-1BTPΔX。其中，P為代數(shù)Riccati方程ATP+PA-PBR-1BTP+Q=0 的正半定解［1］。特別的，由于系統(tǒng)(2)的9個(gè)狀態(tài)變量也是系統(tǒng)的輸出量，所以狀態(tài)反饋和輸出反饋是等價(jià)的。

圖1 最優(yōu)控制結(jié)構(gòu)圖

因此求解系統(tǒng)(2)線性二次型最優(yōu)控制律的步驟為:先確定加權(quán)陣Q和R，然后求解Riccati方程半正定解P，如果該解P是存在的，即可得到最優(yōu)控制律Δδ=-KΔX。MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中提供了解決線性二次型最優(yōu)控制問題的命令。其中l(wèi)qr命令能一次性解出Riccati方程半正定解P和反饋增益矩陣K，命令lqr調(diào)用格式如下:

式中，K，P，A，B，Q，R 意義同上，E 為A-BK 的特征值。

1.3 Q，R 的選擇原則［3］

Q，R的選擇無一般規(guī)律可循，一般取決于設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)，常用試行錯(cuò)誤法，即選擇不同的Q，R代入計(jì)算比較結(jié)果而確定，這是LQR設(shè)計(jì)方法的不足之處。這里僅提供幾個(gè)選擇的一般原則:

1)Q，R都是對(duì)稱矩陣，Q為半正定矩陣，R為正定矩陣。

2)通常選用Q，R為對(duì)角線矩陣，實(shí)際應(yīng)用中，通常將R值固定，然后改變Q的數(shù)值，反饋增益矩陣在經(jīng)過仿真后比較確定。

3)Q的選擇不唯一。這表明當(dāng)?shù)玫降目刂破飨嗤瑫r(shí)，可以有多種Q值的選擇，其中總有一個(gè)對(duì)角線形式的Q。

2 前飛控制律設(shè)計(jì)方案

本節(jié)采用輸出反饋LQR方法設(shè)計(jì)該型直升機(jī)的前飛控制律。首先需要說明的是，本文使用的直升機(jī)小擾動(dòng)模型是考慮了直升機(jī)各個(gè)執(zhí)行通道后的模型。其次，為了調(diào)試方便，本文對(duì)縱向前飛控制律和側(cè)向前飛控制律分別進(jìn)行了設(shè)計(jì)。最后進(jìn)行全面小擾動(dòng)狀態(tài)方程的全數(shù)字閉環(huán)仿真驗(yàn)證(圖2)。在縱向前飛控制律設(shè)計(jì)中，最優(yōu)控制律設(shè)計(jì)中的A，B，Q，R，K 依次對(duì)應(yīng)于 Alon，Blon，Qlon，Rlon，Klon;在側(cè)向前飛控制律設(shè)計(jì)中，最優(yōu)控制律設(shè)計(jì)中的A，B，Q，R，K 依次對(duì)應(yīng)于 Alat，Blat，Qlat，Rlat，Klat。各符號(hào)定義在第一節(jié)中已有說明。

圖2 全數(shù)字閉環(huán)仿真系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

仿真中，適當(dāng)調(diào)整加權(quán)矩陣 Qlon和 Rlon，Qlat和Rlat，以得到合適的反饋增益矩陣Klon和Klat，保證前飛控制性能良好。

3 前飛控制律數(shù)字仿真驗(yàn)證

首先，選取該4噸型直升機(jī)在低高度、前飛速度22m/s、前進(jìn)比μ=0.1狀態(tài)下的狀態(tài)矩陣A、控制矩陣B和單位陣C，建立小擾動(dòng)模型。然后，利用MATLAB命令設(shè)計(jì)調(diào)試直升機(jī)縱向和側(cè)向前飛控制律，并得到全數(shù)字閉環(huán)仿真系統(tǒng)(圖2)。最后，分析直升機(jī)在階躍信號(hào)激勵(lì)后的響應(yīng)。圖3為直升機(jī)沿x軸線速度變化量，圖4為沿y軸線速度變化量，圖5為沿z軸線速度變化量，圖6為俯仰角θ變化量，圖7為滾轉(zhuǎn)角φ變化量，圖8為偏航角ψ變化量的響應(yīng)曲線。

圖3 沿x軸線速度變化量

圖4 沿y軸線速度變化量

圖5 沿z軸線速度變化量

圖6 俯仰角θ變化量

圖7 滾轉(zhuǎn)角φ變化量

圖8 偏航角ψ變化量

從圖3可以看出，直升機(jī)沿機(jī)體x軸線速度變化Δu穩(wěn)態(tài)值不超過0.03m/s(Δu＜1m/s)，無超調(diào)，且在靠近5s時(shí)就趨于穩(wěn)定。直升機(jī)沿機(jī)體y軸線速度基本無變化，Δv≈0，見圖4。直升機(jī)沿機(jī)體z軸線速度有一個(gè)很小的下垂量后很快地穩(wěn)定，穩(wěn)態(tài)值對(duì)z軸線速度影響也很小，見圖5。從圖6、圖7、圖8可以看出，直升機(jī)的俯仰角、滾轉(zhuǎn)角、偏航角的調(diào)整過程也是比較理想的，在調(diào)整過程中，俯仰角、滾轉(zhuǎn)角、偏航角的最大偏移量依次為 -0.047rad、-0.023rad、-0.09rad，都比較小，而且穩(wěn)定時(shí)間都在7s之內(nèi)。

綜上所述，本文設(shè)計(jì)的LQR前飛控制律滿足提出的穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)，而且能夠保證機(jī)體y軸線速度、機(jī)體z軸線速度、俯仰角、滾轉(zhuǎn)角、偏航角調(diào)整后基本保持不變，控制效果良好。

4 結(jié)束語

本文基于直升機(jī)的小擾動(dòng)方程，利用線性二次型最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)了某型直升機(jī)前飛控制律。以該直升機(jī)模型和設(shè)計(jì)的前飛控制器構(gòu)成全數(shù)字閉環(huán)仿真系統(tǒng)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。結(jié)果表明，該前飛控制律達(dá)到了前飛控制穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)，而且能夠保證其他參數(shù)基本不變，控制效果良好。同時(shí)，由于是基于狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)的前飛控制律，容易實(shí)現(xiàn)工程應(yīng)用。

［1］金國龍，王娟.線性二次型最優(yōu)控制器的MATLAB實(shí)現(xiàn)［J］.青島職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，17(1):36-37.

［2］王庢玉.直升機(jī)飛行控制系統(tǒng)［M］.北京:藍(lán)天出版社，1990.

［3］薛定宇.控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，1999.