張旭東，俞建寧，郭蘭平，彭建奎，張建剛

(1.蘭州交通大學 數(shù)理與軟件工程學院，甘肅蘭州730070;2.甘肅聯(lián)合大學數(shù)學與信息學院，甘肅 蘭州730000)

一個新混沌系統(tǒng)的非線性耦合同步的研究

張旭東1，俞建寧1，郭蘭平1，彭建奎2，張建剛1

(1.蘭州交通大學 數(shù)理與軟件工程學院，甘肅蘭州730070;2.甘肅聯(lián)合大學數(shù)學與信息學院，甘肅 蘭州730000)

討論了一個新混沌系統(tǒng)的非線性特征，給出該系統(tǒng)的相圖、功率譜、Poincaré映射及Lyapunov指數(shù)，運用非線性函數(shù)耦合法討論了該混沌吸引子的混沌同步問題，通過數(shù)值模擬分析表明初始值和耦合強度因子的選擇對實現(xiàn)混沌同步的影響較小，證實該混沌同步方法的有效性.

新混沌系統(tǒng);非線性耦合;Poincaré映射;Lyapunov指數(shù)譜

混沌具有豐富的非線性動力學特性，在過去的40年中，混沌在數(shù)學和工程通信等方面得到了廣泛的研究，混沌研究包括混沌同步、混沌生成、混沌分析、非線性電路實現(xiàn)等［1－3］.1990 年，Pecora和 Carroll［4］首次提出了混沌同步的一種有效方法，并在隨后在實驗中觀察到混沌同步現(xiàn)象，近年來，隨著混沌同步研究的不斷深入，人們發(fā)現(xiàn)混沌同步在保密通信和振蕩發(fā)生器的設(shè)計等領(lǐng)域都有著巨大的應(yīng)用前景，于是混沌同步成為了各個領(lǐng)域研究的熱點.美國科學家Lorenz［5］于1963年得到第1個混沌系統(tǒng)－Lorenz系統(tǒng)以來，許多新的自治混沌系統(tǒng)也相繼提出并得到了廣泛的研究，并且這些系統(tǒng)的吸引子也被實驗電路所驗證［6－9］，2007 年，褚衍東、李險峰等［9］提出了一個類似Lorenz系統(tǒng)但也不拓撲等價的新混沌系統(tǒng)(Chu系統(tǒng))，并用電子電路實現(xiàn)了該系統(tǒng)，由于Chu混沌系統(tǒng)是一個新的混沌系統(tǒng)，并有著多種復雜的動力學行為，對于這個混沌系統(tǒng)及吸引子網(wǎng)絡(luò)的同步研究具有重要意義.

1 Chu混沌系統(tǒng)的描述

褚衍東等提出的混沌系統(tǒng)(Chu系統(tǒng))動力學描述為:

2 新混沌系統(tǒng)的非線性耦合同步

給定一個混沌連續(xù)時間系統(tǒng)

其中，X∈ Rn為 n維狀態(tài)矢量，F(xiàn):Rn→ Rn，將F(X(t)，t)適當分離為

這里G(X(t)，t)是經(jīng)過特殊配置的F(X(t)，t)的線性部分，即

其中，A為滿秩的常數(shù)矩陣，通過適當?shù)姆蛛x配置可使A的所有特征值均具有負實部.

本文討論的同步是完全同步，即恒等同步.對于原連續(xù)時間混沌系統(tǒng)(5)，利用非線性函數(shù)D(X1)與D(X2)的差作為耦合函數(shù)，構(gòu)造如下2個新系統(tǒng):

其中，X1，X2∈Rn為所構(gòu)造新系統(tǒng)的狀態(tài)矢量，耦合強度因子α，β為常值，當α=β，2個新系統(tǒng)(6)和(7)實現(xiàn)狀態(tài)同步，即X1(t)=X2(t)時，新系統(tǒng)(6)和(7)與原系統(tǒng)(2)保持一致，則稱這種混沌同步為對稱耦合同步;反之，當α≠β，2個新系統(tǒng)(6)和(7)實現(xiàn)狀態(tài)同步，即X1(t)=X2(t)時，稱之為非對稱耦合同步.

取新系統(tǒng)(6)和(7)之間的同步誤差e(t)=X1(t)－X2(t)，當e(t)充分小時，其變化規(guī)律近似用線性方程表示為

當α+β=1時，e(t)的0點為平衡點.由于A的所有特征值實部均為負值，根據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性準則，同步誤差的0點為漸近穩(wěn)定，當t→∞時e(t)→0，此時實現(xiàn)了新系統(tǒng)(5)和(6)的狀態(tài)矢量X1(t)和X2(t)的完全同步.當α+β≠1時，需計算方程(8)的條件Lyapunov指數(shù)，當條件Lyapunov指數(shù)均為負值時，同步狀態(tài)具有穩(wěn)定性.

在 Chu系統(tǒng)(1) 中，當參數(shù)a=5，b=16，c=1時Chu系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).將系統(tǒng)(1)的右端函數(shù)分離為函數(shù)G(X(t)，t)和D(X(t)，t)如下:

矩陣A的特征值(－5，－1，－1)均為負實數(shù)，此時按照系統(tǒng)(6)和(7)，通過非線性耦合構(gòu)造2個新系統(tǒng)，即

按照方程(8)列出同步誤差微分方程

下面討論不同初值和不同耦合強度因子的選取對實現(xiàn)系統(tǒng)的影響.

考慮Chu系統(tǒng)的對稱的非線性耦合同步，即取耦合強度α=β討論Chu系統(tǒng)的混沌同步，當α=β=0.5時，同步誤差系統(tǒng)(11)的Jacobi矩陣的特征值為(－5，－1，－1)均為負實數(shù)，滿足線性系統(tǒng)穩(wěn)定性準則，其同步誤差具有漸進穩(wěn)定性，并不用計算Lyapunov指數(shù).取初值為［－5，－7，5，3，－3，9，－3，10，4］，圖3 給出了耦合強度為α=β=0.5時的同步結(jié)果，圖3的模擬結(jié)果表明2個混沌Chu系統(tǒng)(9)和(10)迅速能實現(xiàn)混沌同步.

在對稱耦合α=β的情況下，通過數(shù)值模擬可以得到同步誤差的最大Lyapunov指數(shù)與耦合強度之間的關(guān)系圖，當同步誤差的最大Lyapunov指數(shù)為負值時，可以實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)的完全同步，混沌同步狀態(tài)是穩(wěn)定的，從而可以得到滿足同步穩(wěn)定性要求的耦合強度α，β的范圍.

對于非對稱的非線性耦合同步，即取耦合強度α≠β，當 α+β=1時，同步誤差系統(tǒng)(11)的Jacobi矩陣的特征值仍為(－5，－1，－1)且均為負實數(shù)，滿足線性系統(tǒng)穩(wěn)定性準則，其同步誤差具有漸進穩(wěn)定性，并不用計算Lyapunov指數(shù).圖4給出了耦合強度分別為α=0.35，β=0.65時的同步結(jié)果，圖4的模擬結(jié)果表明2個混沌Chu系統(tǒng)(9)和(10)迅速能實現(xiàn)混沌同步.

3 結(jié)論

本文利用對稱非線性耦合混沌同步的方法，研究了一個新的混沌系統(tǒng):Chu系統(tǒng)的混沌同步，討論了該系統(tǒng)在不同耦合強度α，β的作用下，2個混沌系統(tǒng)存在的混沌同步現(xiàn)象，數(shù)值模擬顯示當參數(shù)α+β=1時，參數(shù)α，β對同步的穩(wěn)定性影響不大，證實了該混沌同步方法的有效性.

［1］陳關(guān)榮，呂金虎.Lorenz系統(tǒng)族的動力學分析、控制與同步［M］.北京:科學出版社，2003.

［2］陸啟韶.分岔與奇異性［M］.上海:上?？萍冀逃霭嫔纾?995.

［3］劉秉正，彭建華.非線性動力學［M］.北京:高等教育出版社，2004.

［4］PECORA L M，CARROLL T L.Synchronization in chaotic systems［J］.Physical Review Letters，1990 ，64(8):821－824.

［5］LORENZ E N.Deteeministic nonperiodic flow［J］.Journal of the Atmospheric Sciences，1963，20(2):130 －141.

［6］黃潤生，黃潔.混沌及其應(yīng)用［M］.武漢:武漢大學出版社，2005.

［7］于洪潔，劉延柱.對稱非線性耦合混沌系統(tǒng)的同步［J］.物理學報，2005，54(7):3 029 －3 033.

［8］于洪潔，鄭寧.非線性函數(shù)耦合的Chen吸引子網(wǎng)絡(luò)的混沌同步［J］.物理學報，2008，57(8):4 712－4 720.

［9］楮衍東，李險峰，張建剛，等.一類新自治混沌系統(tǒng)的計算機仿真與電路模擬［J］.四川大學學報:自然科學版，2007，44(3):596－602.

［10］李響，張榮，潘正華.一類混沌系統(tǒng)的混沌同步［J］.江南大學學報:自然科學版，2009，8(2):238－241.

(責任編輯梁志茂)

Nonlinear Coupling Synchronization of a New Chaotic System

ZHANG Xu-dong1，YU Jian-ning1，GUO Lan-ping1，PENG Jian-kui2，ZHANG Jian-gang1
(1.School of Mathematics，Physics and Software Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China;2.School of Mathematics and Information Engineering，Gansu Lianhe University，Lanzhou 730000，China)

This paper discusses the nonlinear characteristics of a new chaotic system，and gives the phase diagram of the system，power spectrum，Poincare mapping and Lyapunov index.It uses the nonlinear function coupling method to discuss the chaotic synchronization problems of the chaotic attractor.Through the numerical simulation it is concluded that the initial value and the choice of the coupling strength factor has less influence on the realization of chaos synchronization，which has proved that this chaotic synchronization method is effective.

new chaotic system;nonlinear coupling;Poincare mapping;Lyapunov index spectrum

O 322

A

1672－8513(2011)02－0149－03

10.3969/j.issn.1672 －8513.2011.02.018

2010－11－04.

國家自然科學基金(408034);甘肅省自然科學基金(3ZS051－A25－030，3ZS－042－B25－049);蘭州交通大學科研基金(DXS2010－018)

張旭東(1984－)，男，碩士研究生.主要研究方向:非線性動力系統(tǒng).

俞建寧(1957－)，男，教授，博士生導師.主要研究方向:非線性動力系統(tǒng).