李乃醫(yī)，李永明

（1.廣東海洋大學(xué)理學(xué)院，廣東湛江524088；2.上饒師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，江西上饒334001）

負(fù)相協(xié)樣本下總體分位數(shù)的經(jīng)驗(yàn)似然漸近性質(zhì)的推斷

李乃醫(yī)，李永明

（1.廣東海洋大學(xué)理學(xué)院，廣東湛江524088；2.上饒師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，江西上饒334001）

文章在強(qiáng)平穩(wěn)負(fù)相協(xié)樣本下，利用分組經(jīng)驗(yàn)似然比方法，克服了傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)似然方法的缺陷，所得到的漸近分布為標(biāo)準(zhǔn)的卡方分布，便于構(gòu)造總體分位數(shù)的漸近置信區(qū)間。

強(qiáng)平穩(wěn)；負(fù)相協(xié)；分組經(jīng)驗(yàn)似然；置信區(qū)間

0 引言

NA（Negative Associate）相依概念在可靠性理論、滲透理論和多元統(tǒng)計(jì)分析中有廣泛的應(yīng)用。經(jīng)驗(yàn)似然是1988年最早由Owen[7][8]引入經(jīng)驗(yàn)似然，它是一種非參數(shù)推斷方法，類似于Bootstrap和隨機(jī)加權(quán)方法，但有所不同的是它在每個(gè)樣本點(diǎn)上所賦予的概率是帶有選擇余地的，在一些合理的約束條件下，描繪了支撐在樣本上的一個(gè)多元似然，而經(jīng)驗(yàn)似然比方法所構(gòu)造置信區(qū)域就是此多元似然的一個(gè)等高區(qū)域。更值得一提的是經(jīng)驗(yàn)似然比置信區(qū)域具有保范圍性，它與被置信的總體特征具有同樣的范圍，這是其它方法所不能到達(dá)的。并且它的區(qū)域形狀完全由樣本決定，其覆蓋概率不比Bootstrap置信區(qū)域差。正是由于經(jīng)驗(yàn)似然與經(jīng)典或現(xiàn)代的其它統(tǒng)計(jì)方法相比具有上述突出的優(yōu)點(diǎn)。因此，該方法引起了國(guó)內(nèi)外許多統(tǒng)計(jì)學(xué)家的興趣，并將這一方法應(yīng)用到多種統(tǒng)計(jì)模型及各種領(lǐng)域。

在相依情形下，經(jīng)驗(yàn)似然方法研究剛剛開(kāi)始，尤其在NA相依樣本下利用該方法研究成果甚少。到目前為止，在獨(dú)立樣本和混合樣本下對(duì)分位數(shù)進(jìn)行了經(jīng)驗(yàn)似然方法研究。本文將嘗試在NA（負(fù)相協(xié)）相依樣本下，克服普通經(jīng)驗(yàn)似然方法的缺陷，重新借助分組經(jīng)驗(yàn)似然比方法，構(gòu)造未知的分位數(shù)漸近置信區(qū)間。首先給出NA序列和強(qiáng)平穩(wěn)概念。

定義1[1]稱隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn(n≥2)是NA的，如果對(duì)于集合{1，2，…，n}的任何兩個(gè)不相交的非空子集A1和A2，都有

Cov(f1(Xi，i∈A1)，f2(Xj，j∈A2))≤0

其中f1與f2是任何兩個(gè)使得協(xié)方差存在的對(duì)每個(gè)變量均非降(或非升)的函數(shù)。稱隨機(jī)變量序列{Xi，i∈N}是NA序列，如果對(duì)任何n≥2，隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn(n≥2)都是NA（負(fù)相協(xié)）的。

定義2 隨機(jī)變量序列{Xn|n≥1}稱強(qiáng)平穩(wěn)，若對(duì)任意自然數(shù)對(duì)(i，j)，序列(Xi+1，…，Xi+j)與(X1，…，Xj)有相同分布，其中1≤j

對(duì)數(shù)經(jīng)驗(yàn)似然比為

這里s∈R1且滿足

1 若干引理和定理

1.1 定理與引理

條件：

(1)X1，X2，…，Xn是強(qiáng)平穩(wěn)NA樣本；

定理1若上述條件成立，則有

此處

由于A2和σ2未知，結(jié)果不便應(yīng)用，為了彌補(bǔ)這一缺陷，利用分組經(jīng)驗(yàn)似然方法，重新構(gòu)造經(jīng)驗(yàn)似然比以使其極限分布不含未知參數(shù)。

（注：關(guān)于條件（2）是研究NA序列，通常需要對(duì)協(xié)方差結(jié)構(gòu)做出這一約束要求。）

定理2在定理1的條件下，進(jìn)一步有以下假設(shè)成立：

（2）Y2i-1=ξi/m，Y2i=ηi/m(1≤i≤g)。

其中

則有

其中λ∈R1，滿足

分組后經(jīng)驗(yàn)似然比R'(ξp)由下式?jīng)Q定

本文以下為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，適當(dāng)抽樣使n=2mg。文中常數(shù)c在不同的地方可以取不同的值。

引理1[9]設(shè){Xn，n≥1}為NA序列；A1，A2，…，Am是集合{1，2，…，n}的兩兩不交的非空子集。記αi=#(Ai)，即為Ai中的元素個(gè)數(shù)，如果fi:Rαi→R(i=1，2，…，m)是對(duì)每個(gè)變?cè)挤墙?或非升)的函數(shù)，則f1(Xj，j∈A1)，…，fm(Xj，j∈Am)仍為NA變量。

引理3[3]設(shè)X1，X2，…，Xn為NA變量，對(duì)p≥2，有E|Xj|<∞，且EXj=0，j=1，…，n。記則存在僅與p有關(guān)的常數(shù)Cp>0，使得

引理4[2]設(shè){Xi|i≥1}是強(qiáng)平穩(wěn)NA序列，假定EX1=0，E|并且則有

引理5 設(shè){Xi|i≥1}是強(qiáng)平穩(wěn)NA序列，并且滿足

則有

其中

引理6[10]設(shè){Xn，n∈N}是NA序列，數(shù)列{bn，n∈N}滿足且則s收斂于0。

引理7 設(shè){Xn，n∈N}是同分布的NA序列，則有

引理8 設(shè){Xi|i≥1}是同分布NA序列，則有

1.2 定理1的證明

易得

從而可知0是集合{I{X1≤ξp}-p，1≤i≤n}所構(gòu)成的凸包的內(nèi)點(diǎn)，因此存在為正。

又因?yàn)?/p>

由拉格朗日乘子法，得唯一解

其中s∈R1，并滿足注意到：

令γi=s(I{Xi≤ξp}-p)，s滿足h(s)=0，由（6）式及引理2知：

于是有

因此

再由引理4和引理7知：

由條件得J2=Op(1)

又由（6）和引理2得

其中c為某個(gè)正數(shù)，故有

綜合（9）～（11）式便得

1.3 定理2的證明

類似前面的討論，只需證明

由拉格朗日乘子法得

其中λ∈R1，且滿足易得

從而有

接下證明

又由

利用引理8得

由（18）及（19）式得

又由

由引理5和(18)式得

又由（21）、（22）和（24）式得

由(23)式和Taylor展開(kāi)式得

利用引理5及引理4,同樣討論得

由（24）式得

由(18)和(24)式得

從而得K3=Op(1)，綜（25）～(28)式知

2 結(jié)論

定理2結(jié)論中的漸近分布不僅為標(biāo)準(zhǔn)的卡方分布，且無(wú)需估計(jì)總體未知的方差和協(xié)方差。

利用定理2，當(dāng)樣本n比較大時(shí)，我們可構(gòu)造未知的分位數(shù)ξp的置信水平為1-α的漸近置信區(qū)域：1-α，其中Cα為分布的上α分位點(diǎn)，通常α取0.05或 0.01。另外，在其它相依情形，如在正相協(xié)樣本下，值得進(jìn)一步深入研究。

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（責(zé)任編輯/亦民）

O212.4

A

1002-6487（2011）06-0017-04

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11061029）；廣東海洋大學(xué)自然科學(xué)研究資助項(xiàng)目(1012138；0612163）

李乃醫(yī)（1979-），男，江西九江人，碩士，講師，研究方向：數(shù)理統(tǒng)計(jì)。