王泰積，劉威儀，李竹渝

(1.四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，成都610064；2.北京大學(xué)光華管理學(xué)院，北京100871)

金融區(qū)間數(shù)據(jù)的動態(tài)回歸模型比較與實證檢驗

王泰積1，劉威儀2，李竹渝1

(1.四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，成都610064；2.北京大學(xué)光華管理學(xué)院，北京100871)

傳統(tǒng)金融時間序列中，對于股價研究多以當(dāng)日收盤價為基礎(chǔ)。這樣不可避免地會產(chǎn)生觀測信息的損失，從而導(dǎo)致模型解釋能力的降低。文章討論了模糊自回歸（FAR(p)）模型和模糊雙線性回歸（FDLR（p，q））模型結(jié)構(gòu)，并在金融動態(tài)數(shù)據(jù)不同趨勢條件下，直接討論針對區(qū)間序列的金融時間序列模型的變化；基于不同特點的金融區(qū)間波段，對這兩個模型作了比較研究，進(jìn)一步討論了模型的擬合評價與解釋能力。

金融區(qū)間數(shù)據(jù)；回歸模型

0 引言

不確定性研究可以分為兩類，一類是隨機的，一類是模糊的。傳統(tǒng)時間序列分析中對股票收盤價的單序列研究，都是基于前者。這些研究從概率性角度出發(fā)，借助隨機波動理論模型，完成對金融市場有效數(shù)據(jù)的解讀。顯然，僅依賴“收盤價”這樣的數(shù)據(jù)列信息是不完全的，因為股票市場上的金融資產(chǎn)的價格波動給出的信息是以[最低價，最高價]這樣的區(qū)間數(shù)據(jù)列顯示的。盡管收盤價對次日的預(yù)測有非常重要的作用，但無須質(zhì)疑的是，對整體市場波動的考量是有“信息流失”的。筆者提出另一種思路，即直接從金融區(qū)間數(shù)據(jù)出發(fā)，構(gòu)建區(qū)間時間序列模型。理論上，就是要從模糊性的角度來解釋不確定性問題。

從數(shù)據(jù)本身特點而言，區(qū)間數(shù)據(jù)較收盤價序列包含更多的信息。其完整反應(yīng)出了當(dāng)前時刻數(shù)據(jù)既有的波動范圍。比較傳統(tǒng)收盤價單序列結(jié)構(gòu)，區(qū)間數(shù)據(jù)對于波動的描述引入了新的信息，跳出以精確觀測值研究不確定性問題的經(jīng)典數(shù)據(jù)模式，具有很大的研究潛力。從數(shù)據(jù)分析而言，區(qū)間數(shù)據(jù)的模糊刻畫建模，完善了不確定性分析的內(nèi)涵。這類模型在不確定波動研究中加入非隨機波動的內(nèi)容，是描述問題的又一個開端。

本文把重點放在模型時序研究上。沒有隨機性假設(shè)的模型在運用于實證區(qū)間數(shù)據(jù)分析時，是否依然形成有效解釋是我們將集中討論的問題。其中包括模型對于數(shù)據(jù)的敏感性，以及模型對數(shù)據(jù)特點總結(jié)的優(yōu)劣評價。

1 金融區(qū)間序列的模糊刻畫

其中(xt,yt)是指以xt為中心、yt為廣度的對稱三角模糊數(shù)，稱這樣的序列為區(qū)間金融時間序列。

多數(shù)的金融研究是針對資產(chǎn)收益率而不是資產(chǎn)價格，Campbell.Lo和MacKinlay（1997）[3]中給出了使用收益率的兩個主要理由：第一，對普通的投資者來說，資產(chǎn)收益率是投資機會的完全的、尺度自由的概括；第二，收益率序列比價格序列更容易處理，因為前者有更好的統(tǒng)計性質(zhì)。參照傳統(tǒng)金融收益率定義，可以給出如下定義。

為區(qū)間金融收益率序列。

{rt}也可表成對稱三角模糊序列的形式{rt}={(ct,ut),t=2,3,…，N}，其中心序列（反映了金融資產(chǎn)收益率的集中變化趨勢）與廣度序列（反映金融資產(chǎn)收益率非隨機波動性的大?。┓謩e為：

對比傳統(tǒng)收盤價序列收益、波動率分析中所使用的均值—方差結(jié)構(gòu)，這里定義的對稱三角模糊數(shù)結(jié)構(gòu)（中心序列與廣度序列）可以理解為一種新的雙序列結(jié)構(gòu)，即中心—廣度序列結(jié)構(gòu)。這是研究金融市場動態(tài)風(fēng)險管理的一種新思路。

定義3 設(shè){rt}={(ct,ut)},t=2,3,…，N}為一區(qū)間金融收益率序列，當(dāng)其中心序列{ct}平穩(wěn)時，稱區(qū)間金融收益率序列{rt}= {(ct,ut)},t=2,3,…，N}條件平穩(wěn)。

2 金融區(qū)間數(shù)據(jù)的動態(tài)回歸模型

這里介紹的兩類模型?；诙x2，由文獻(xiàn)[1]引入模糊自回歸模型（FAR(p)）。

其中，A1，A2，…，Ap∈R為自回歸系數(shù)，ε軌t為t時刻的模糊誤差項。

模型（3）描述了區(qū)間金融收益率序列在t時刻取值與其滯后p階值的自回歸關(guān)系，與傳統(tǒng)時間序列分析的AR(p)模型相似，故稱其為p階模糊自回歸模型，簡記FAR(p)。為了估計FAR(p)模型中的未知回歸系數(shù)，可利用模糊線性規(guī)劃（Fuzzy Linear Program FLP）方法。FLP方法的基本思想是在滿足所有擬合值和觀測值的貼近度（貼近度的概念可參見陳水利等[4]）達(dá)到給定門限值的約束條件下，通過模型回歸系數(shù)的選取，使得回歸模型的模糊性指標(biāo)達(dá)到最小，從而將模型（3）回歸系數(shù)的估計過程化為一個線性規(guī)劃問題的求解過程。模型（3）中未知自回歸參數(shù)的估計A軒1，A軒2，…，A軒p可來自如下線性規(guī)劃模型的優(yōu)化求解：

其中，t=p+1，…，N；λ稱為貼近度門限值，可在[0,1]中取值。模糊性指標(biāo)為該指標(biāo)與序列的廣度序列緊密相關(guān)[1]。廣度序列在描述金融區(qū)間序列動態(tài)變化時，完全類似于傳統(tǒng)收益率均值-方差分析中方差的作用。廣度序列刻畫了區(qū)間金融序列的動態(tài)波動情況。因此廣度序列有一個自然的性質(zhì)：正定性。同時每期觀察點廣度必須為正的要求，就形成該線性規(guī)劃求解的模糊性指標(biāo)中的主要條件限制。

仔細(xì)觀察FAR（p）模型（3）、（5），區(qū)間序列簡單的整體建模導(dǎo)致區(qū)間金融收益率的中心和廣度有相同的變化趨勢，這是FAR(p)模型最明顯的不足。同時，對于并未中心化的數(shù)據(jù)，收益率模型中的常數(shù)項（漂移項）在金融收益率序列建模中不能被輕易省略。在利用（4）解決未知參數(shù)估計的過程中，由于其原理是分析線性規(guī)劃方程最優(yōu)解的存在問題，其解的存在性也就與規(guī)劃方程的條件密切相關(guān)。觀察模糊性指標(biāo)，可以清楚地看到：這里要求每時刻廣度嚴(yán)格為正。隨著觀察區(qū)間的增加，邊界條件維數(shù)大量增長，使得方程有解的限制增強，參數(shù)無解的可能性增加，模型對數(shù)據(jù)的解釋能力也由此將極大降低。但由于模糊自回歸模型是目前文獻(xiàn)中討論較多的模型，我們將保留此模型對區(qū)間數(shù)據(jù)的分析。

針對FAR（p）模型自身所存在的問題，以及考慮到中心與廣度序列存在一定相依性關(guān)系，這里借鑒Pierpaolo D’Urso[5]等（2000）中提出的廣度在動態(tài)變化過程中一定程度上依賴于中心的思想，構(gòu)建了模糊雙線性模型FDLR（p,q）[2]。

這里k=max(p,q)，且α0,α1，…，αp,β0,β1,…，βq，γ為未知回歸系數(shù)，εt和et分別為t時刻中心序列和廣度序列的誤差項。由于涉及中心序列與廣度序列的雙線性與滯后階數(shù)的變化，我們命名為（p，q）階的模糊雙線性回歸模型，簡記FDLR（p,q）。

式（6）是建立在兩個線性模型基礎(chǔ)上的：第一個模型解釋了區(qū)間金融收益率序列在t時刻收益率的集中趨勢（中心）與其滯后p階值的自回歸關(guān)系；第二個模型建立在第一個模型的基礎(chǔ)之上，解釋了區(qū)間金融收益率序列在t時刻收益率的波動變化趨勢（廣度）與其滯后q階、以及變化與集中程度的相依關(guān)系，解釋了區(qū)間金融收益率序列的波動趨勢。

對于模型（6）中未知參數(shù)的估計，采用普通最小二乘法，詳細(xì)論述可參見文獻(xiàn)[2]。

3 實證分析

3.1 數(shù)據(jù)選擇與檢驗

金融時間序列分析中，不同的金融波段會導(dǎo)致不同的模型解釋，而上升與下降的收益率波動變化也將是不對稱的。所以，在考慮模型對金融區(qū)間數(shù)據(jù)的解釋能力時，需要選取不同時段的數(shù)據(jù)，充分考慮波動的變化。我們觀察上證日指數(shù)中兩個不同特點的金融區(qū)間時段。圖1（a）：2006.11.21～ 2007.10.19，整體呈現(xiàn)上升（220個數(shù)據(jù)組）。圖1（b）：2008.1.22 ～2009.3.20，整體呈現(xiàn)下降趨勢（共281個數(shù)據(jù)組）。

圖2給出了這兩段區(qū)間數(shù)據(jù)的區(qū)間收益率中心序列圖示。

從圖2可見，中心序列集中在0值附近波動。其中上升段更集中于正值，下降段更集中于負(fù)值。區(qū)間收益率中心序列對于數(shù)據(jù)信息量的概括，依然能明顯顯現(xiàn)。

平穩(wěn)性是時序模型的解釋基礎(chǔ)，不論是隨機還是非隨機，數(shù)據(jù)的平穩(wěn)是不確定波動收斂的理論基礎(chǔ)。定義3以區(qū)間中心為標(biāo)準(zhǔn)所定義的條件平穩(wěn)雖然并不是廣泛意義下的區(qū)間平穩(wěn)，但如同收盤價收益率序列在傳統(tǒng)分析中的概括作用一樣，它是包含大量區(qū)間信息意義下的條件平穩(wěn)序列。由此，根據(jù)定義3中的條件平穩(wěn)定義，下面給出（a）、（b）序列平穩(wěn)性的討論。由于這里探討的是非隨機波動性，并未作任何關(guān)于分布的假設(shè)，借用無先驗分布假設(shè)的游程檢驗，其檢驗結(jié)果見表1。

表1 區(qū)間收益率中心序列平穩(wěn)性檢驗

表1中分析結(jié)果表明，以中位數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)的游程檢驗（P值分別為0.326和0.269，大于10%的顯著水平）不能拒絕這兩段數(shù)據(jù)的條件平穩(wěn)性，即這里使用的上升和下降區(qū)間段都是條件平穩(wěn)的。

整體上觀察：（a）、(b)段區(qū)間數(shù)據(jù)分別有上升和下降的趨勢，其間的小范圍波動也在各自結(jié)構(gòu)范圍之內(nèi)，并不影響其整體趨勢。在樣本期內(nèi)外數(shù)據(jù)的選取上，盡量使用整周數(shù)據(jù)，從而不擾亂日數(shù)據(jù)本身所具有的周效應(yīng)，以求得盡量合理的分析。下面，利用模型（3）、模型（6）分別對（a）、（b）序列進(jìn)行實證分析，將取最后三周共15組數(shù)據(jù)作為樣本期外的模型檢驗樣本。模型擬合評價，采取經(jīng)典的二階MSE，和一階MAE進(jìn)行比較。同時，模型對數(shù)據(jù)解釋的合理性，也是我們探討的重點。

3.2 FAR（1）與FDLR（1,1）實證比較

由于區(qū)間模型的定階問題比較復(fù)雜，需要考慮到區(qū)間數(shù)據(jù)本身的多重性質(zhì)，這里不作討論。實證中，根據(jù)文獻(xiàn)[6]中提到的金融收益率時間序列的短期強相關(guān)經(jīng)驗，取p=1、q=1進(jìn)行比較分析。

上升區(qū)間（a）段模型擬合結(jié)果如下式：FAR（1）模型：

FDLR（1，1）模型：

上升區(qū)間（a）段模型樣本期外一步預(yù)測結(jié)果如圖3、4。

下降區(qū)間（b）段模型擬合結(jié)果如下式：

FAR（1）模型：

下降區(qū)間（b）段模型樣本期外一步預(yù)測結(jié)果如圖5、6。

圖3～6可直接觀察到模型對于樣本期外預(yù)測的一些效果。兩個不同變化時段中，模型對于波動較大的數(shù)據(jù)，一步預(yù)測結(jié)果都會出現(xiàn)較大的偏差,FAR(1)模型甚至出現(xiàn)了預(yù)測與實際完全偏離的狀況。直觀比較而言，F(xiàn)DLR（1，1）模型的預(yù)測效果更趨向平穩(wěn)。同時FAR（1）模型對于數(shù)據(jù)的波動反應(yīng)出較為敏感的狀況，這種敏感甚至帶來走勢的錯誤預(yù)測。從圖上粗略的觀察，F(xiàn)DLR表現(xiàn)出更為穩(wěn)健的效果。

再從擬合模型結(jié)果(7)～(10)分析:FAR（1）模型中區(qū)間收益率序列的中心與廣度序列是同變的，并且缺少描述數(shù)據(jù)集中趨勢的漂移項，因此該模型在對于區(qū)間序列的解釋能力上，存在一些明顯的不足，并不足以充分描述數(shù)據(jù)的動態(tài)變化。而FDLR（1，1）模型在這些方面做出了很大的改進(jìn)。從(8)和(10)兩式中，我們可以得到該模型對數(shù)據(jù)的一些合理描述。

對于上升段區(qū)間數(shù)據(jù)，實證模型（8）表現(xiàn)出：①中心序列漂移項為正（這點與圖形直觀相符），中心序列的滯后一階對其本身的影響是正向的；②廣度序列漂移項為正，波動較為明顯；③廣度序列滯后一階對其當(dāng)前的影響是正向的，而當(dāng)前時刻收益序列的集中程度（中心）對其影響為負(fù)向，集中程度的強弱變化對區(qū)間波動有較大影響。

同樣，實證模型（10）也給出區(qū)間數(shù)據(jù)下降段的一些描述：①中心序列漂移項為負(fù)（這點符合圖形直觀），中心序列的滯后一階對其本身的影響是正向的；②廣度序列漂移項為正，波動較為明顯，但較上升段無明顯變化；③廣度序列滯后一階對其本身的影響是正向的，而當(dāng)前時刻收益序列的集中程度（中心）對其影響為負(fù)向，集中程度的強弱變化對區(qū)間波動影響遠(yuǎn)不及上升段區(qū)間數(shù)據(jù)，顯示出上升、下降區(qū)間數(shù)據(jù)波動變化的不對稱性。

兩個不同金融波段得到的模型總結(jié)中，后兩項一致，而中心序列漂移項的改變反映出股市數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)性變化。于是比較而言，兩段數(shù)據(jù)的實證分析表明，F(xiàn)DLR（1，1）的實證解釋能力更為全面。

直觀上的模型擬合圖形比較是不嚴(yán)格的，利用實際值和擬合值間的距離描述來評價擬合效果，是經(jīng)典模型評價中最直接有效的方法。這里我們借用兩種不同距離來考察區(qū)間模型對于數(shù)據(jù)的擬合預(yù)測效果。

表2給出了利用定義6中MSE、MAE考察不同區(qū)間、不同模型對于實際數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果。

表2中的結(jié)果表明：①對于兩個不同的區(qū)間時段：兩個模型都具有一定時變性。即不同的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)導(dǎo)致不同的擬合效果。②兩個模型作比較：兩個金融波段中，F(xiàn)DLR（1，1）模型不論是樣本期外還是樣本期內(nèi)都具有更好的擬合預(yù)測效果。

FDLR（1，1）模型中，對上升下降兩個不同特點的金融波段,中心序列對于波動的影響表現(xiàn)出明顯的不對稱。中心序列對于區(qū)間波動產(chǎn)生負(fù)向影響，即中心有限制波動的作用。但再比較上升下降兩個波段上中心(集中程度)變化對區(qū)間波動影響，上升段區(qū)間數(shù)據(jù)遠(yuǎn)較下降段數(shù)據(jù)明顯。區(qū)間中心在不同趨勢區(qū)間序列中表現(xiàn)出不對稱的影響效應(yīng)，模型在實證中表現(xiàn)出較強的數(shù)據(jù)敏感性，這種結(jié)構(gòu)特征是值得進(jìn)一步仔細(xì)研究的。

表2 上升區(qū)間段與下降區(qū)間段模型擬合預(yù)測效果評價（MSE/MAE）

4 小結(jié)

實證分析表明：對于結(jié)構(gòu)特征單一的區(qū)間數(shù)據(jù)，F(xiàn)DLR（1，1）模型在擬合預(yù)測精度上優(yōu)于FAR（1）模型，其解釋能力更為全面，能反映出區(qū)間數(shù)據(jù)的部分結(jié)構(gòu)特征。對于不同趨勢的條件平穩(wěn)區(qū)間波段，F(xiàn)DLR模型表現(xiàn)出了不對稱的影響效應(yīng)。這種敏感性的變化能反映模型實證解釋能力，這點也是它有別于FAR模型的特點。

對于FDLR（p，q）模型，模型結(jié)構(gòu)的改進(jìn)將導(dǎo)致敏感性和解釋能力的改變，如何解決模型穩(wěn)定性和數(shù)據(jù)敏感性之間的關(guān)系也將是我們下一步討論的重點。同時，僅對模型做實證分析，僅僅是模型對實際應(yīng)用的一種探討，對模型的合理性和有效性還需要做模型仿真模擬的實驗研究，這是我們對金融區(qū)間數(shù)據(jù)建模研究的重點，也是與模型定階問題有關(guān)的問題。

全球金融危機后引發(fā)的一個突出問題就是：人們開始相信傳統(tǒng)研究所依賴的“風(fēng)險預(yù)報，也會出錯”，“傳統(tǒng)模型失誤系數(shù)有可能非常高”。這就是說：實際風(fēng)險與預(yù)測風(fēng)險之間可能存在顯著差異。探索新的視角、新的研究思路、運用交叉學(xué)科知識構(gòu)建綜合研究平臺以利開發(fā)新的、更完善、信息損失更少、能更好地處理市場波動不確定性的模型，來研究風(fēng)險管理問題已經(jīng)是大勢所趨。

從模型角度來看，直接對以中心—廣度為基本結(jié)構(gòu)的區(qū)間數(shù)據(jù)建模分析，是研究市場波動的新思路。結(jié)合區(qū)間數(shù)據(jù)自有的模糊性探討不確定現(xiàn)象，特別是在缺少隨機性假設(shè)的條件下，這是對市場波動另一個角度的研究。從不確定中挖掘確定，從雜亂波動中提取規(guī)律是人們長期關(guān)注的話題。在有限認(rèn)知能力下，多角度研究不確定性將為這一探索帶來新的發(fā)現(xiàn)。

[1]李竹渝，張成，王泰積.金融區(qū)間序列分析及其預(yù)測的初步評價[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理，2010，29（1）.

[2]Wang Taiji,Liu Weiyi,LI Zhuyu.Fuzzy Double Linear Regression of the Financial Assets Yield[Z].Cutting-Edge Research Topics on Multiple Criteria Decision Making(MCDM2009):Springer-Verlag,2009.

[3]Campbell,Lo,MacKinlay（1997）The Econometrics of Financial Markets[M].朱平芳，劉弘譯.上海：上海財經(jīng)大學(xué)出版社，2003.

[4]陳水利，李敬功，王向公.模糊集理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社,2005.

[5]Pierpaolo D’Urso,Tommaso Gastaldi.A Least-Squares Approach to Fuzzy Linear Regression[J].Computational Statistics&Data Analysis,2000，10.

[6]Ruey S.Tsay.金融時間序列分析（第一版）[M].潘家柱譯.北京：機械工業(yè)出版社，2006.

（責(zé)任編輯/亦民）

C812

A

1002－6487（2011）06－0028-04

國家社會科學(xué)基金資助項目（07BTJ003）