宋彥琦, 呂艷偉

(1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué) (北京)理學(xué)院,北京 100083;2.普利茅斯大學(xué)科技學(xué)院,英國(guó) PL4 8AA)

基于有限變形理論的能量釋放率和 J積分增率形式

宋彥琦1, 呂艷偉2

(1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué) (北京)理學(xué)院,北京 100083;2.普利茅斯大學(xué)科技學(xué)院,英國(guó) PL4 8AA)

以有裂紋的瞬時(shí)位形為參考,建立的增量變形引起的裂紋擴(kuò)展方程能夠更真實(shí)地描述裂紋尖端的擴(kuò)展機(jī)制.而真實(shí)地描述當(dāng)前裂紋狀態(tài)下的增量變形的困難在于,帶裂紋尖端的瞬時(shí)位形相對(duì)于初始位形應(yīng)滿足有關(guān)的力學(xué)平衡方程.在解決裂紋擴(kuò)展問(wèn)題時(shí),基于能量方法的裂紋能量釋放率 G和 J積分是一種有效的研究方法.由于經(jīng)典的微小變形理論引入的裂紋尖端模型解決問(wèn)題的方法是相對(duì)于初始位形的,為得到當(dāng)前裂紋狀態(tài)下的增量變形的有關(guān)方程,采用能量原理和變分原理,使用有限變形的隨體張量表達(dá)方式,在瞬時(shí)位形基礎(chǔ)上,推導(dǎo)裂紋體的能量釋放率 G和 J積分的增率G·和J·,建立增量變形的有關(guān)方程,從而為研究裂紋尖端的擴(kuò)展問(wèn)題提供了新的理論思路.

增量變形;有限變形;能量釋放率;J積分;增率形式

裂紋問(wèn)題與工程結(jié)構(gòu)的破壞和可靠性緊密相關(guān).研究裂紋問(wèn)題需要用到的斷裂力學(xué)理論中,裂紋擴(kuò)展問(wèn)題十分重要.目前,最常用的裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則是應(yīng)力型和能量型準(zhǔn)則.20世紀(jì) 20年代初,Griffith研究了玻璃、陶瓷等材料的脆斷問(wèn)題,采用關(guān)于含橢圓孔無(wú)限平面介質(zhì)的彈性力學(xué)解作為其理論的基礎(chǔ),并從能量平衡的角度出發(fā),提出了著名的能量釋放率理論,導(dǎo)出脆性斷裂材料斷裂的準(zhǔn)則,奠定了斷裂力學(xué)的基礎(chǔ).

Griffith理論是針對(duì)玻璃和陶瓷等理想脆性材料建立的,適用范圍有限.Griffith能量釋放率準(zhǔn)則主要用于線彈性力學(xué),而在彈塑性力學(xué)中,則主要采用 J積分守恒定理[1-5].人們常把 J積分作為對(duì)Griffith能量釋放率準(zhǔn)則的一種擴(kuò)展,其有 3個(gè)明顯的具有吸引力的特點(diǎn):①對(duì)線彈性行為,其與能量釋放率 G相同;②對(duì)彈塑性行為,其表征了裂紋尖端區(qū)的特征;③J積分與路徑無(wú)關(guān),可以通過(guò)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)得到.

在斷裂力學(xué)理論及宏觀斷裂理論研究中,主要著重于應(yīng)力應(yīng)變分析,為了數(shù)學(xué)上的處理方便,仍沿用 Griffith尖裂紋模型,從而導(dǎo)致了在尖裂紋模型下的應(yīng)力和應(yīng)變的奇異性.為了消除裂紋尖端奇異性,人們提出了一些新的模型和研究方法,其中比較成功的是由 Eringen發(fā)展的非局部理論.盡管這種理論在普遍應(yīng)用上還存在一定困難,但已顯示出它的優(yōu)越性.陳篪[6]提出恢復(fù)裂紋的真實(shí)模型的可能裂紋擴(kuò)展判據(jù).田常海等[7]提出一種復(fù)合型裂紋脆斷的主應(yīng)變因子準(zhǔn)則.閆相橋[8]在裂紋尖端周?chē)鶱adai屈服上考慮斷裂參數(shù),提出一個(gè)新的斷裂準(zhǔn)則.王沖[9]提出了一個(gè)以轉(zhuǎn)動(dòng)梯度為基本參數(shù)的斷裂準(zhǔn)則.以上準(zhǔn)則對(duì)某些材料較為吻合.近年來(lái),一些學(xué)者也在裂紋擴(kuò)展方面做了相關(guān)的研究工作[10-14].

在彈塑性斷裂分析中,幾乎都要用到 J積分準(zhǔn)則.但是這種積分守恒性僅在塑性全量理論、小變形以及不發(fā)生卸載等條件下成立.很顯然,對(duì)于裂紋頂端出現(xiàn)大范圍屈服時(shí)發(fā)生的大量的裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展,J積分準(zhǔn)則便無(wú)能為力了[1-5].如果摒棄裂紋尖端模型而采用真實(shí)的裂紋模型,并且仍然從能量角度來(lái)研究裂紋真實(shí)的數(shù)學(xué)物理狀態(tài),那么將可能使得經(jīng)典斷裂理論中遇到的這些問(wèn)題得到解決.

以裂紋前端通常發(fā)生的塑性變形作為參考,則原則上引起裂紋或其擴(kuò)展的是增量變形[15-16].這樣,就要在已變形的位形上建立增量變形的有關(guān)力學(xué)方程.本研究利用有限變形理論中的能量原理和變分原理,考慮含裂紋體真實(shí)的物理狀態(tài),在含有裂紋物體的瞬時(shí)變形的基礎(chǔ)上,建立能量釋放率 G和J積分的增率G·和J·的形式來(lái)描述裂紋體的狀態(tài).

1 有限變形理論下的能量原理和變分原理

對(duì)于大位移與大變形情況,外力的大小與方向一般在變形漸進(jìn)過(guò)程中發(fā)生改變,用功的全量形式來(lái)表達(dá)是有條件的.物體在空間做三維有限轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),因最后位形與轉(zhuǎn)動(dòng)次序有關(guān),故有限轉(zhuǎn)動(dòng)的功是非保守力性質(zhì)的.所以,對(duì)有限變形與位形功的一般表達(dá)式應(yīng)采用功的增量形式[16].

作用在變形體上的機(jī)械力和場(chǎng)力的功增加了變形體的宏觀動(dòng)能和形變能[16],設(shè)已知作用在變形體的外力有表面力 P(力 /單位面積)和體力 f(力 /單位質(zhì)量),考慮無(wú)體力矩作用的情況.在拖帶坐標(biāo)系中,以 d a表示界面的微元面積,表示微元體積,ρ為單位體積質(zhì)量 (變形位形中).變形體中任一點(diǎn)的與速變度形為能 V的,則增外量力功之和率 ,即可表示為動(dòng)能的增加率從虛功率原理出發(fā),考慮物體運(yùn)動(dòng)的每一瞬時(shí),式(2)所表達(dá)的能量關(guān)系成立.假設(shè)某一瞬時(shí),運(yùn)動(dòng)達(dá)某一狀態(tài),以此狀態(tài)為基準(zhǔn),比較一切可能存在的無(wú)窮小相鄰狀態(tài).

假設(shè)在變形后的位形,保持力的大小與方向不變,而給以速度、角速度與應(yīng)變速率一虛變動(dòng),且這些虛變動(dòng)滿足如下協(xié)調(diào)條件:

2 三維空間中的能量釋放率增率形式G·和 J積分增率形式 J·

考慮在三維空間中的一個(gè)有裂紋的物體,Σ表示包圍裂紋的實(shí)曲面,Σ所包含的體積為Ω,如圖 1所示.

圖 1 三維空間的裂紋端部簡(jiǎn)化模型Fig.1 Sim plif ied model of 3-D crack-tip

2.1 能量釋放率的增率形式G·

定義系統(tǒng)勢(shì)能函數(shù)增率為

式中,W·為系統(tǒng)單位體積內(nèi)非保守勢(shì)能函數(shù)的增率,T為曲面Σ上的外力,V為位移場(chǎng)中某點(diǎn)的速度.

設(shè)裂紋擴(kuò)展方向上的單位矢量為 b,裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度為δrb.在時(shí)間 t內(nèi),保持外力 T不變,則沿著裂紋擴(kuò)展方向上的勢(shì)能變化率為

在上述定義中,W·為單位體積內(nèi)非保守能量勢(shì)能函數(shù),是點(diǎn)的位置、溫度和時(shí)間的函數(shù),而不是應(yīng)變能密度函數(shù)的增率.這是由于在實(shí)際情況中,裂紋的擴(kuò)展、裂紋端部小區(qū)域一般或多或少會(huì)發(fā)生不可恢復(fù)的塑性變形,存在一定的能量耗散.注意到,Griffith能量釋放率準(zhǔn)則是建立在初始位形參考上的,其速率并不是在當(dāng)前位形下的真實(shí)速率.事實(shí)上,在裂紋擴(kuò)展問(wèn)題上,Griffith能量釋放率準(zhǔn)則并沒(méi)有給出好的結(jié)果.而上文公式是建立在有限變形能量原理和變分原理基礎(chǔ)上的,能量釋放率增率,適合彈性、彈塑性大小變形情況.

2.2 三維空間中 J積分的增率形式J·

根據(jù)上文結(jié)果,式 (11)表示系統(tǒng)勢(shì)能函數(shù)增率對(duì)裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度δrb變化率.如圖 1所示,圍繞裂紋端部選擇閉曲面 a-g-c-d-O-a,其中裂紋的上下表面de和 ef為自由邊界.在該自由邊界上,T=0,n·b=0.所以,在裂紋端部的微小區(qū)域內(nèi),

圖 2 簡(jiǎn)化 2-D裂紋端部模型Fig.2 Simplif ied 2-D crack-tip model

3 結(jié) 束 語(yǔ)

本研究應(yīng)用能量原理和變分原理,考慮裂紋體真實(shí)的物理狀態(tài),在瞬時(shí)位形上推導(dǎo)了裂紋體的能量釋放率G和J積分的增率G·和J·,建立了增量變形的有關(guān)方程,以能量增率形式真實(shí)地描述裂紋狀態(tài),為研究裂紋尖端的擴(kuò)展問(wèn)題提供了新的理論思路.

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Form s of Energy Release Rate and J Internal Increase Rate Based on Fin ite Deformation Theory

SONG Yan-qi1, Lü Yan-wei2
(1.School of Science,China University of M ining and Technology(Beijing),Beijing 100083,China;2.Faculty of Science and Technology,University of Plymouth,PL4 8AA,UK)

To study the crack propagation problem,a model in terms of incremental deformation represents the real propagation mechanism by taking instantaneous configuration as a reference. It requires an accurate definition of incremental deformation on a fresh crack.However,it is difficult to make the instantaneous configuration including zones around the crack tip satisfy the relevant equilibrium equationswith regards to the initial configuration.Generally,energy methods such as crack tip energy release rate G and J-integral are powerful in analyzing and solving crack problems.Therefore the focus is on the determination of the form of the increase rate of energy release rate,G·,and that of J-integral,J·,regarding instantaneous configuration.Because the classical theory of small deformation takes initial configuration as a reference,the formulae for G·and J·

are derived by using the energy p rincip le and variational principle in the finite deformation theory in the p resent study.This work provides a new theoretical line for studying crack p ropagation.

incremental deformation;finite deformation;energy release rate;J integral;increase rate form

O 331

A

1007-2861(2011)02-0153-05

10.3969/j.issn.1007-2861.2011.02.009

2010-03-02

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)資助項(xiàng)目(2007CB209402,2010CB732002);國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (10302030);中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)資助項(xiàng)目(2009QS01)

宋彥琦 (1969～),女,副教授,博士,研究方向?yàn)楣腆w力學(xué)及工程應(yīng)用.E-mail:yanqi_song@sina.com

(編輯:孟慶勛)