蘇廣寧， 嚴 正， 杜 浩

(上海交通大學電氣工程系電力傳輸與功率變換控制教育部重點實驗室， 上海 200240)

引入赫希曼指數的電力系統(tǒng)諧波分析①

蘇廣寧， 嚴 正， 杜 浩

(上海交通大學電氣工程系電力傳輸與功率變換控制教育部重點實驗室， 上海 200240)

快速傅里葉變換是進行電網諧波分析的最主要方法，但是由于實際應用中只能截取有限長序列分析，從而必然產生誤差。為了提高諧波分析的精度，該文提出了引入壟斷經驗學中的赫希曼指數(HHI)，來衡量頻譜的集中程度，從而得到參與傅里葉變換的最佳序列長度。其中，采用Good-Thomas算法對任意長度序列進行快速準確地基本快速傅里葉變換計算，數據源為80點/周波現場實測Comtrade數據。通過仿真證實，其效果非常顯著。并用Qt跨平臺語言，實現了基于上述算法的電力系統(tǒng)諧波分析軟件。

諧波； 快速傅里葉變換； 赫希曼指數； 序列長度

近年來，隨著科學技術的快速發(fā)展，電力系統(tǒng)中出現了大量非線性元件，如輸電系統(tǒng)中的換流設備等，而負荷中的非線性元件更是數不勝數，如電弧爐、電氣化鐵路、變頻設備、電焊機等等。這些非線性元件產生的諧波注入到電網中會對電力系統(tǒng)造成很多不利的影響，威脅到電力設備的安全經濟運行。對電網中的諧波進行準確的監(jiān)測，是進行諧波治理的基礎，其意義非常重大。進行諧波分析的最常用方法是快速傅里葉變換FFT(fast Fourier transform)。

在應用FFT的過程中，很多工作者認為，參與傅里葉變換的序列越長，得到的結果越準確。本文將證明這是一種誤區(qū)，并提出了一種借用壟斷經濟學中的赫芬達爾-赫希曼指數HHI(Herfindahl-

Hirschman index)，簡稱赫希曼指數，來改進諧波分析精度的算法。最后，編寫了基于跨平臺語言Qt的電力系統(tǒng)諧波分析軟件。

1 關于Fourier變換長度選擇的誤區(qū)

很多技術人員都存在這樣一種共識，在進行傅里葉變換的時候，如果采樣信號已經確定，那么每次參與變換的序列越長，即N越大，則得到的頻譜愈接近于理論值。應該說，在N可以取得非常大的時候，這種說法是正確的，因為此時非整數周期的截斷效應已經可以忽略。但實際情況并非如此，可以截取的N總是很有限的，它是否取得越大越好呢?下面做出分析。

設離散信號x(n)中含有L種諧波分量為

(1)

考慮到系統(tǒng)中間諧波的存在，ωi不一定為基波ω0的整數倍。用離散傅里葉變換DFT(discrete Fourier transform)的定義將其展開

k=0，1，…，N-1

(2)

經過較復雜的推導，得只含三角函數的式子為

(3)

由式(3)對ki進行如下討論。

(1)當所有的ki都能取到整數時，根據三角函數的周期性，由(3)看出，除了當k=ki時X(k)≠0，其他的X(k)均為0。

(2)ki不能都取到整數時，會發(fā)生頻譜泄漏。

(4)

式中：fs為采樣頻率；fi為i次諧波頻率。

若系統(tǒng)中只含有整數次諧波，即i只取整數，則只要使截斷后的序列長度為原始信號中基波周期(最大周期)的整數倍，就可以得到準確頻譜。在實際電力系統(tǒng)中，無論按標準取80點/周或是256點/周，只要截取長度為整周期數，就可以使ki為整數。

但事實上，系統(tǒng)中由于間諧波的存在以及頻率的波動，使得無論N取多少，ki都不可能總為整數，進行頻譜分析時存在頻譜泄漏是不可避免的。應該盡量使ki接近整數，由式(4)知，這可以通過調整N實現。

由式(3)可以看出，頻譜泄漏的多少與N的關系并不明確，為此，通常認為序列越長，諧波分析越準確的結論是否正確。下面通過一個實驗來推翻這種論斷，同時實驗的過程本身就是一種提高傅里葉分析精度的算法。

2 計及HHI的電力系統(tǒng)諧波分析

首先，要確定一個衡量頻譜泄漏多少的指標。在數字信號處理的相關文獻中，尚未看到這種定義。據了解，在宏觀經濟學中，有若干用于衡量市場集中度(market concentration rate)的指標，如：行業(yè)集中率、赫爾芬達爾-赫希曼指數、洛侖茲曲線、基尼系數、逆指數和熵指數等。其中赫希曼指數(HHI)既反映了行業(yè)的集中度，又體現了該行業(yè)中企業(yè)的規(guī)模分布。它同時具有數學上絕對法和相對法的優(yōu)點，從而成為了較理想的市場集中度計量指標，經常運用在反壟斷經濟分析之中。[2]它的計算公式為

(5)

式中：Si是第i個企業(yè)所占市場份額；n是這個行業(yè)中企業(yè)總數。

下面就用赫希曼指數來作為衡量頻譜集中程度的指標，參與傅里葉變換的序列長度N在一個區(qū)間內連續(xù)取不同的值，觀察HHI(n)的大小變化，并取HHI(n)最大時的序列長度N，作為最終參與FFT的序列長度。

這里，輸入信號的幅度-頻率分布采用高斯函數形式為

φ(f)=ae-(f-b)2/c2

(6)

其中a、b與c為實數常數，且a>0。采用該函數是因為c2=2的高斯函數是傅里葉變換的特征函數。這就意味著高斯函數的傅里葉變換不僅僅是另一個高斯函數，而且是進行傅里葉變換的函數的標量倍。這就使很容易估計出變換后頻譜的形狀，從而直觀地判斷頻譜泄漏的大小。具體實驗如下。

幅度-頻率分布函數指數部分除以20，是為了讓不同頻率諧波的幅值相差不要超過一個數量級，否則在輸出的高斯分布圖上就無法清楚地看到兩邊的分量。采樣間隔取0.008 123 s，這樣避免被整除，使結果更具說服力，另外它小于0.01 s，即fs>100 Hz，滿足采樣定理，避免產生頻譜混疊。實驗結果如下。

輸入信號的理論頻譜如圖1所示。

圖1 原始輸入信號的高斯分布頻譜

取參與傅里葉變換的點數N在1 000～2 000點之間變化。由圖2所示，在N取1 231點時，HHI最大。用1 231點參與傅里葉變換的頻譜分布圖如圖3，可以看到，它同樣是很好的高斯分布，分析精度很高。而當取最大點數2 000點參與傅里葉變換時，頻譜分布如圖4所示，它已經遠遠偏離高斯分布，分析的精度很差。

圖2 HHI隨輸入序列長度變化曲線

從圖2還可以看到，參與傅里葉變換的點數從1 000變到2 000的過程中，HHI在1 231點取得最大值，而且整個趨勢是隨著參與傅里葉變換的點數的增多而遞減的，這與通常人們認為的參與傅里葉變換的點數越多越好的常識是相悖的。

在實際的電力系統(tǒng)當中，由于頻率的波動以及間諧波的存在，當截取有限長序列進行分析時，必然會產生截斷效應，引起泄露。上述算例是在一個輸入波形的諧波次數為隨機數的情況下完成的，很有代表性地驗證了，存在這樣一個最優(yōu)序列長度，可以使HHI最大，即泄露最小。正如1中所分析的，此時的N，根據式(4)，可以使ki最接近整數。

圖3 按HHI最大的1 231點計算出的頻譜

圖4 按點數最多的2 000點計算出的頻譜

3 基于Qt語言的諧波分析軟件實現

考慮上述算法，筆者編寫了基于Qt語言的電力系統(tǒng)諧波分析軟件。Qt是Linux下的強大編程工具，它的最大優(yōu)點是可以實現跨平臺編譯。目前變電站監(jiān)控系統(tǒng)普遍采用Windows系統(tǒng)，但是出于對電力系統(tǒng)安全的考慮，已經逐步開始將Linux和Solaris系統(tǒng)引入到電力系統(tǒng)當中。因此，基于Qt語言編寫的諧波分析軟件，可以更好的適應未來電力系統(tǒng)的發(fā)展。

數據源采用80點/周的現場實測Comtrade數據。軟件中實現了上述算法，即可自動選擇最優(yōu)序列長度進行計算，提高了離線諧波分析的精度。

為了可以快速準確地進行任意長度序列的FFT，采用了以Winograd小NDFT算法為基礎的Good-Thomas算法做基本運算[3，4]。這種算法將長度為N=N1×N2的一維DFT轉換成尺寸為N1×N2的二維DFT，然后以行-列方式沿每一維采用最有效的算法計算這個二維的DFT。它的運算效率比分裂基FFT更高，當然編程也更復雜。

圖5 基于Qt語言的電力系統(tǒng)諧波分析軟件

4 結語

本文是在筆者編寫基于現場實測80點/周Comtrade文件數據的諧波分析軟件過程中，遇到的實際問題而寫的。文中提出了一種引入壟斷經濟學中的赫希曼指數作為衡量頻譜泄漏指標的算法，由仿真結果可以看出，該方法對提高諧波分析的精度有很大的幫助。最后實現了基于跨平臺編譯語言

Qt和該算法的諧波分析軟件。其中為了可以快速對任意長度序列進行FFT計算，采用了Good-Thomas算法。

[1] 周厚奎，張昱，金心宇(Zhou Houkui, Zhang Yu, Jin Xinyu).基于傅里葉和小波變換的電網諧波分析(Power harmonic analysis based on Fourier and wavelet transform)[J].電力系統(tǒng)及其自動化學報(Proceedings of the CSU-EPSA)，2005，17(6)：59-62，99.

[2] (美)小賈爾斯·伯吉斯.管制和反壟斷經濟學[M].上海: 上海財經大學出版社，2003.

[3] 布萊赫特 R E.數字信號處理的快速算法[M].北京: 科學出版社，1992.

[4] 殷福亮,宋愛軍.數字信號處理C語言程序集[M].沈陽: 遼寧科學技術出版社，1997.

[5] (加)Blanchette J，(英)Summerfield M. C++ GUI Qt 4編程[M].北京: 電子工業(yè)出版社，2008.

[6] 易立強,鄺繼順(Yi Liqiang, Kuang Jishun).一種基于FFT的實時諧波分析算法(FFT-based algorithm for real-time harmonic analysis)[J].電力系統(tǒng)及其自動化學報(Proceedings of the CSU-EPSA),2007,19(2):98-102.

HarmonicAnalysisofPowerSystemIntroducedHirschmanIndex

SU Guang-ning， YAN Zheng， DU Hao

(Key Laboratory of Control of Power Transimission and Transformation, Ministry of Ecluction,Department of Electrical Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

Fast Fourier transform(FFT)is the most important method used in power system harmonic analysis.However,taking finite-duration signals makes i inaccuracy.In order to improve analysis accuracy,this paper presents a new algorithm based on the concept of Hirschman index(HHI) in the monopoly economics,which evaluates the intensity of frequency spectrun and gets the best sequence length to participate FFT.Good-Thomas algorithm is used to calculate random length sequence apace accurately.The data source is format Comtrade measuring in the on-site.The simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed algorithm.Based on above algorithm,a harmonic analysis software of power system is accomplished using Qt,which is a kind of cross-platform programming language.

harmonic； fast Fourier transform； Hirschman index； sequence length

2009-09-25

2009-11-02

TM714

A

1003-8930(2011)01-0123-04

蘇廣寧(1986-)，男，碩士研究生，研究方向為電能質量。Email:realsgn@163.com 嚴 正(1964-)，男，教授，博士生導師，研究方向為電力系統(tǒng)優(yōu)化運行、電力系統(tǒng)穩(wěn)定分析、電力市場。Email:zhengyan_sjtu@yahoo.com.cn 杜 浩(1987-)，男，碩士研究生，研究方向為電能質量。Email:duhao@mail.sjtu.edu.cn