陳溟

（內(nèi)蒙古科技大學(xué)數(shù)理與生物工程學(xué)院，內(nèi)蒙古包頭014010）

Black-Scholes期權(quán)定價(jià)的修正模型及其應(yīng)用性研究

陳溟

（內(nèi)蒙古科技大學(xué)數(shù)理與生物工程學(xué)院，內(nèi)蒙古包頭014010）

文章在經(jīng)典B-S模型的基礎(chǔ)上引入了交易費(fèi)用和連續(xù)支付的紅利，對(duì)期權(quán)定價(jià)公式進(jìn)行了進(jìn)一步研究，并且給出了存在交易費(fèi)用和連續(xù)紅利時(shí)的期權(quán)定價(jià)公式。通過馬鋼權(quán)證和云化權(quán)證的實(shí)例分析，進(jìn)一步說明有交易費(fèi)用和連續(xù)紅利存在對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行簡(jiǎn)要的分析。

B-S定價(jià)模型；交易費(fèi)用；連續(xù)紅利

1973年，美國(guó)芝加哥大學(xué)教授Black.F和斯坦福大學(xué)教授Scholes.M發(fā)表了一篇名為《The pricing of options and Corporate Liabilities》的著名論文，文章給出了Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型，推導(dǎo)出基于股票的任何一種衍生證券的價(jià)格應(yīng)滿足的微分方程，并成功地求解該方程，因此獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。該理論及其以后的多種變形，對(duì)金融衍生工具市場(chǎng)的發(fā)展起了很大的推動(dòng)作用。

經(jīng)典的Black-Scholes模型在研究過程中沒有考慮交易費(fèi)用和連續(xù)紅利，這使得該模型在現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)中的實(shí)用性降低。為了提高該模型的實(shí)際應(yīng)用性，使其更加符合現(xiàn)實(shí)的金融市場(chǎng)，本文在Black-Scholes模型假設(shè)的基礎(chǔ)上，引入了交易費(fèi)用和連續(xù)紅利，并且給出了存在交易費(fèi)用和連續(xù)紅利情況下的期權(quán)定價(jià)公式，然后又引進(jìn)兩個(gè)具有代表性的權(quán)證，進(jìn)一步研究分析，從而說明交易費(fèi)用和連續(xù)紅利的存在對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。

1 Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型及其修正模型

期權(quán)定價(jià)的Black-Scholes偏微分方程為：

對(duì)應(yīng)于可用標(biāo)的變量S定義的所有衍生證券，此方程有許多解。解方程時(shí)得到的特定的衍生證券取決于使用的邊界條件。對(duì)于歐式看漲期權(quán)，關(guān)鍵的邊界條件為：

f=max(S-X,0)當(dāng)t=T時(shí)

對(duì)于歐式看跌期權(quán)，關(guān)鍵的邊界條件為：

f=max(X-S,0)當(dāng)t=T時(shí)

求解該偏微分方程，可得歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式為：

C（S，t）=SN(d1)-Xe-rf(T-t)N(d2)

看跌期權(quán)定價(jià)公式為：

其中：

N(x)為均值為0標(biāo)準(zhǔn)差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù)，f為期權(quán)價(jià)格，f=f(S,t)，S為股票價(jià)格，X為執(zhí)行價(jià)格，T為到期日，σ為股票回報(bào)的波動(dòng)率，rf為瞬時(shí)無風(fēng)險(xiǎn)利率。

實(shí)際金融市場(chǎng)中，股票投資者經(jīng)常會(huì)得到一定數(shù)量的紅利，紅利的支付有兩種情形，每年在規(guī)定時(shí)間內(nèi)支付或者按照一定比例連續(xù)支付，這里為方便只討論連續(xù)支付的情形，在規(guī)定時(shí)間內(nèi)支付可將除權(quán)除息日所支付的紅利均攤到每一天，這樣便可認(rèn)為紅利是連續(xù)支付的?，F(xiàn)實(shí)交易中由于對(duì)投資組合的權(quán)重進(jìn)行連續(xù)調(diào)整可引起交易成本不斷增加，所以在修改模型時(shí)將交易成本考慮在內(nèi)成為必然。Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型是在連續(xù)條件下，先在dt時(shí)間內(nèi)對(duì)期權(quán)進(jìn)行套期保值，再令dt→0而得到的，當(dāng)考慮交易費(fèi)用時(shí)，就不能無限次地對(duì)其進(jìn)行套期保值，否則交易費(fèi)用也會(huì)達(dá)到無窮，這是不可能的。因此，我們可適當(dāng)修改該模型基本假設(shè)里的部分條件，對(duì)Black-Scholes方程基本假設(shè)做如下推廣：

(1)股票價(jià)格過程遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其離散形式為：

其中，準(zhǔn)～N(0,1)其概率密度函數(shù)為：

這里△t不再是無窮小量，不再求趨于0的極限。

(2)期權(quán)在時(shí)刻t的價(jià)值遵循伊藤引理，其離散形式為：

(3)股票連續(xù)支付紅利，利率為q(t)，無風(fēng)險(xiǎn)利率為r=r(t)。

(4)交易費(fèi)用是投資者因買賣股票而產(chǎn)生的直接費(fèi)用，一般由股票多頭支付,并以交易額的固定比例M來表示。

構(gòu)造投資組合π，買入一份期權(quán)合約f，賣出δ份股票S：

π=f-δS

（3）式因套期保值策略而產(chǎn)生的交易份額ω為：

利用泰勒中值定理,將(4)式的第一項(xiàng)展開得：

從而可得△π的數(shù)學(xué)期望為：

兩邊同時(shí)消去△t并移項(xiàng)，即可得到有交易成本和連續(xù)支付紅利情況下歐式期權(quán)多頭的定價(jià)方程為：

歐式期權(quán)空頭的定價(jià)方程為：

2 求解修正后的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)方程

用偏微分的知識(shí)來求解該方程比較繁瑣，我們可以根據(jù)Black-Scholes模型的公式來推廣有交易費(fèi)用和連續(xù)支付紅利的情況。將此股票與一只不支付紅利的相似股票進(jìn)行比較，紅利的支付使得股票價(jià)格降低，所以支付連續(xù)紅利率q使得股票價(jià)格的增長(zhǎng)率比不支付時(shí)減少了q。

帶入(6)式中，整理后，可得：

與B-S基本模型相比，我們可以看出有交易費(fèi)用和紅利的定價(jià)模型只差在無風(fēng)險(xiǎn)利率r上，只需r-q用代替r，便可得到有交易費(fèi)用和紅利的期權(quán)定價(jià)公式。

于是，有交易費(fèi)用和紅利的歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式為：

其中

3 添加交易費(fèi)和連續(xù)紅利的期權(quán)定價(jià)公式的應(yīng)用研究

我們選取兩個(gè)具有代表性的權(quán)證—馬鋼權(quán)證和云化權(quán)證。馬鋼權(quán)證選擇2006-11-29至2008-11-28時(shí)間段，云化權(quán)證選擇2007-3-8至2009-3-7時(shí)間段（見表1），通過比較二者的B-S理論價(jià)格與修正價(jià)格的差異，進(jìn)而說明交易費(fèi)用和連續(xù)紅利對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。

3.1 馬鋼權(quán)證和云化權(quán)證的理論價(jià)格

3.1.1 馬鋼權(quán)證的理論價(jià)格

表1 馬鋼權(quán)證和云化權(quán)證的有關(guān)數(shù)據(jù)

由表1可得，S=4.43,X=3.26,T-t=2,r=0.0252,c=1.679，通過Matlab軟件編程，可得馬鋼權(quán)證的隱含波動(dòng)率σ為0.5136，d1=1.7096,d2=0.9832

表2 B-S理論價(jià)格與有交易費(fèi)和連續(xù)紅利的權(quán)證價(jià)格

查表有：N(d1)=0.956，N(d2)=0.836

則馬鋼權(quán)證的B-S理論價(jià)格為1.6437。

3.1.2 云化權(quán)證的理論價(jià)格

由表1可得，S=22.62，X=17.83,T-t=2,r=0.0252,c=9.34通過Matlab軟件編程，可得云化權(quán)證的隱含波動(dòng)率σ為0.6543，d1=1.5486,d2=0.6232

查表有：N(d1)=0.9384，N(d2)=0.7295

則云化權(quán)證的B-S理論價(jià)格為8.8589.

3.2 考慮有交易費(fèi)和支付連續(xù)紅利情況下的權(quán)證價(jià)格

3.2.1 馬鋼權(quán)證的修正價(jià)格

有交易費(fèi)用和支付紅利時(shí)的期權(quán)定價(jià)公式為：

馬鋼權(quán)證相關(guān)數(shù)據(jù)：S=4.43,X=3.26,T-t=2,r=0.0252,q=0.046,M=0.003

又由上可得馬鋼權(quán)證的隱含波動(dòng)率為0.5136，則可計(jì)算σL=0.517

那么可求得有交易費(fèi)用和紅利的馬鋼權(quán)證的修正價(jià)格為1.3836。

3.2.2 云化權(quán)證的修正價(jià)格有交易費(fèi)用和紅利時(shí)的期權(quán)定價(jià)公式為：

云化權(quán)證相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

S=22.62,X=17.83,T-t=2,r=0.0252,q=0.018,M=0.003,σ=0.6543,σL=0.6577

則可得有交易費(fèi)用和紅利時(shí)的云化權(quán)證的修正價(jià)格為8.3104.

3.3 結(jié)果分析

馬鋼權(quán)證和云化權(quán)證的B-S理論價(jià)格與修正價(jià)格見表2與圖1、圖2。

根據(jù)以上實(shí)證分析，我們將有交易費(fèi)用和支付連續(xù)紅利情況下的權(quán)證價(jià)格與經(jīng)典的B-S定價(jià)模型的結(jié)果進(jìn)行比較分析，結(jié)果如下：

（1）從散點(diǎn)圖中我們可以看出，有交易費(fèi)用和連續(xù)支付的紅利存在時(shí)的權(quán)證價(jià)格比B-S理論價(jià)格偏低。

（2）對(duì)于馬鋼權(quán)證來說，考慮交易費(fèi)用和支付連續(xù)紅利情況下的權(quán)證價(jià)格比經(jīng)典的B-S定價(jià)模型的權(quán)證價(jià)格降低了15.82%.

（3）對(duì)于云化權(quán)證來說，考慮交易費(fèi)用和支付連續(xù)紅利情況下的權(quán)證價(jià)格比經(jīng)典的B-S定價(jià)模型的權(quán)證價(jià)格降低了6.19%。

目前，我國(guó)權(quán)證市場(chǎng)中，交易費(fèi)用一般為千分之三，如果大客戶和券商協(xié)議降傭，那么交易費(fèi)用將更低，特別是在目前我國(guó)股市還沒有做空機(jī)制的情況下，不能無限次地進(jìn)行套期保值，所以就一次單邊交易而言，交易費(fèi)用通?？梢院雎圆挥?jì)。

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F201

A

1002－6487（2011）07－0135-03

陳溟（1972-），男，內(nèi)蒙古包頭人，碩士，副教授，研究方向：金融數(shù)學(xué)。

（責(zé)任編輯/亦民）