區(qū)燕玲 陳麒羽 陳麗娟

（華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 廣東廣州 510631）

利用留數(shù)計(jì)算廣義積分

區(qū)燕玲 陳麒羽 陳麗娟

（華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 廣東廣州 510631）

利用留數(shù)來計(jì)算實(shí)函數(shù)的廣義積分可以帶來很大的方便。本文總結(jié)了幾種可以利用留數(shù)來計(jì)算的廣義積分的類型，對(duì)某些類型進(jìn)行了推廣，并且在原有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上弱化了某些條件。

留數(shù)；留數(shù)定理；廣義積分；有理函數(shù)；三角函數(shù)；對(duì)數(shù)函數(shù)；冪函數(shù)

定理1[1]：設(shè)是有理函數(shù)，分母在實(shí)軸上不為零，并且分母的次數(shù)要比分子的次數(shù)至少高2。那么其中表示函數(shù)f(z)在上半平面內(nèi)的所有孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)總和。這就是我們常說的“圍道法”，我們就不作證明了。

Jordan引理[2]：設(shè)函數(shù)f(z)在半圓周R充分大)上連續(xù)，且在圓弧CR上一致成立，則

定理2[2]：設(shè)為有理函數(shù)，如果P(x)，Q(x)滿足下列條件：

(1)Q(x)比P(x)的次數(shù)至少高一次；

(2)在實(shí)軸上，()0 Q x≠；

圖1

證明：令（如圖1所示），其中CR+L為正取向(逆時(shí)針方向)，則：令：R→+∞，有：

又因?yàn)镼(x)比P(x)的次數(shù)至少高一次，故在CR上，由Jordan引理，得故故定理可證。

推論1：設(shè)為有理函數(shù)，如果P(x)，Q(x)滿足下列條件：

(1)Q(x)比P(x)的次數(shù)至少高一次；(2)在實(shí)軸上，Q(x)≠0；(3)m, n>0。則：

證明：由于1)、2)顯然可證。再由積化和差公式以及1)、2)結(jié)論，3)、4)、5)均可證。

引理1[1]：設(shè)函數(shù)f(z)在上連續(xù)，而且其中A有限，則其中ΓR為位于D內(nèi)的圓弧方向去逆時(shí)針方向。|

引理2[1]：設(shè)函數(shù)f(z)在圓環(huán)形閉區(qū)域：上連續(xù)，記的方向?yàn)槟鏁r(shí)針，若其中A有限，則

其實(shí)，定理2中的條件(2)還可弱化，將其推廣得到如下定理:

定理3[2](定理2的推廣)設(shè)為有理函數(shù)，如果P(x)，Q(x)滿足下列條件：(1)Q(x)比P(x)的次數(shù)至少高一次；(2)在實(shí)軸上，Q(z)至多只有一階零點(diǎn)；(3)m>0。則其中表示函數(shù)在上半平面內(nèi)的所有孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)總和，而表示函數(shù)在實(shí)軸上的所有一階極點(diǎn)處的留數(shù)總和。

證明：若在實(shí)軸上，Q(z)≠0，由定理2和可證定理成立。否則，不失一般性，不妨設(shè)Q(z)在實(shí)軸上僅有一個(gè)一階零點(diǎn)z0，由反常積分柯西主值的定義如圖2，取上半圓周以及上半其參數(shù)方程為圓周其參數(shù)方程為使得在上半平面內(nèi)的所有孤立奇點(diǎn)全含于CR及Cr與實(shí)軸上的直線段及所圍成的有界區(qū)域內(nèi)。由題設(shè)在該區(qū)域加邊界所構(gòu)成的有界閉域上解析，由留數(shù)定理即又因?yàn)镼(x)比P(x)的次數(shù)至少高一次，由Jordan引理，又z0為的一階極點(diǎn)，由引理2有故

圖2

定理4[2]：若實(shí)有理函數(shù)滿足：P(x) Q(x)互質(zhì)，Q(x),在上恒不為零。且分母的次數(shù)要比分子的次數(shù)至少高2次，則：

圖3

定理4的推廣[3]：設(shè)是只有有限個(gè)極點(diǎn)且在半實(shí)軸x≥0上無極點(diǎn)的亞純函數(shù)，分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高2次，有：

定理5[2]：若實(shí)有理函數(shù)滿足：P(x)和Q(x)互質(zhì)，Q(x)在上恒不為零，且則其中zα為上滿足的解析分支（即主值支），zk為在內(nèi)的孤立奇點(diǎn)，即Q(z)在C[0,+∞)內(nèi)的零點(diǎn)。

證明：由反常積分柯西主值的含義作輔助函數(shù)并記Q(z)在內(nèi)的零點(diǎn)為顯然這樣的零點(diǎn)至多只有有限個(gè)。

如圖4，取充分大的正數(shù)R和充分小的正數(shù)ε，使Q(z)在C[0,+∞)內(nèi)的零點(diǎn)都含于點(diǎn)集內(nèi)。考慮函數(shù)沿D的邊界的正向積分，由留數(shù)定理得，并注意到當(dāng)時(shí)，得：

定理可證。

圖4

所以：

[1]陳宗煊，孫道椿，劉名生.復(fù)變函數(shù)[M].科學(xué)出版社，2010

[2]劉敏思，歐陽露莎.復(fù)變函數(shù)論[M].武漢大學(xué)出版社，2010.

[3]張毅.應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算一類實(shí)積分[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2010.

區(qū)燕玲（1989-），女，廣東云浮人，華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院本科生研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。

2010-11-27