王秀波

（和田師范專(zhuān)科學(xué)校物理系 新疆和田 848000）

函數(shù)圖像法在中學(xué)物理中的應(yīng)用

王秀波

（和田師范專(zhuān)科學(xué)校物理系 新疆和田 848000）

函數(shù)圖像法是一種能直觀、形象地描繪物理規(guī)律、解決物理問(wèn)題的方法。本文通過(guò)多方面舉例，闡明了物理函數(shù)圖像法在研究物理規(guī)律、處理物理問(wèn)題方面的優(yōu)勢(shì)以及在培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、理解問(wèn)題和解決問(wèn)題中的重要作用。

函數(shù)圖像；中學(xué)物理；應(yīng)用

引言

在物理學(xué)中，由于函數(shù)圖像能直觀地反應(yīng)物理現(xiàn)象或規(guī)律，所以在近幾年的中高考命題中，通過(guò)分析函數(shù)圖像解決物理實(shí)際問(wèn)題的考題呈逐年上升的趨勢(shì)，并且知識(shí)覆蓋面也越來(lái)越廣，這就要求我們要能掌握并熟練地運(yùn)用物理函數(shù)圖像法來(lái)分析和解決問(wèn)題。

要能熟練的使用物理函數(shù)圖像來(lái)解決問(wèn)題，首先必須理解物理函數(shù)圖像所表達(dá)的意義，就是能用圖像中坐標(biāo)軸所代表的物理量，推斷出圖像所表述的物理意義和物理情景，并能將圖像和方程聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)一步獲取信息。在理解和掌握了函數(shù)圖像中各要素的意義下，就要學(xué)會(huì)看圖像、用圖像、畫(huà)圖像。在這一過(guò)程中也能培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的分析問(wèn)題、理解問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

1.函數(shù)圖像的概念以及優(yōu)點(diǎn)

物理規(guī)律可以用文字來(lái)描述，也可以用數(shù)學(xué)函數(shù)式來(lái)表示，還可以用圖像來(lái)描述。利用圖像描述物理規(guī)律、解決物理問(wèn)題的方法稱(chēng)之為圖像法。物理圖像有很多類(lèi)型，如模型圖、受力分析圖、過(guò)程分析圖、函數(shù)圖像等。其中函數(shù)圖像的出現(xiàn)是因?yàn)槿藗優(yōu)檠芯亢瘮?shù)，從而渴望得到一種快捷方便的方式。所以函數(shù)圖像的最大作用就是讓人看到函數(shù)的變化，能更深入地研究。物理函數(shù)圖像就是一種形象直觀“語(yǔ)言”，它不僅能使抽象的物理概念變得形象直觀，使動(dòng)態(tài)過(guò)程變得清晰，而且能恰當(dāng)?shù)乇硎居谜Z(yǔ)言難以表達(dá)的內(nèi)涵。用函數(shù)圖像分析物理問(wèn)題不但迅速、直觀，還可以避免復(fù)雜的運(yùn)算過(guò)程，是處理物理問(wèn)題的重要手段之一。加強(qiáng)對(duì)物理函數(shù)圖像的學(xué)習(xí)與使用，可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力，具有形象、直觀、動(dòng)態(tài)變化、過(guò)程清晰等特點(diǎn)，能使物理問(wèn)題簡(jiǎn)化明了，更重要的是它能將物理學(xué)科與數(shù)學(xué)、信息技術(shù)等其他學(xué)科有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，增強(qiáng)學(xué)生的綜合素質(zhì)能力。

2.函數(shù)圖像法運(yùn)用于中學(xué)物理教學(xué)的意義

2.1 直觀形象、簡(jiǎn)化解題過(guò)程

圖像解法不僅思路清晰，而且直觀、形象，可使解題過(guò)程得到簡(jiǎn)化，起到比解析法更巧妙、更靈活的效果。例如在比較勻變速直線運(yùn)動(dòng)中的平均速度與中間位置的速度的大小關(guān)系時(shí)，用圖像法解題一目了然。如圖1，平均速度即中間時(shí)刻速度V2，中間t1位置的瞬時(shí)速度即面積平分時(shí)刻的速度V1。依據(jù)圖像能很快地得出結(jié)論V2＜V1。

圖1 chart 1

2.2 幫助學(xué)生理解抽象的物理概念

例如密度是物質(zhì)的特性，理解這個(gè)概念往往感比較抽象，為了突破這一教學(xué)上的難點(diǎn)，可做出物質(zhì)質(zhì)量和體積的關(guān)系圖像，如圖2所示，簡(jiǎn)稱(chēng)m-v關(guān)系圖像。例如實(shí)驗(yàn)所測(cè)得的不同體積的鋁塊的質(zhì)量為m1、m2、m3、m4分別畫(huà)在直角坐標(biāo)上，橫坐標(biāo)代表體積，縱坐標(biāo)代表質(zhì)量，畫(huà)出圖像為直線，即鋁的m-v關(guān)系圖像，它的數(shù)學(xué)意義是m與v的正比關(guān)系，且m與v的比值是一個(gè)恒量。

圖2 chart 2

2.3 演示變化過(guò)程，掌握變化規(guī)律

用圖像法來(lái)描述物理過(guò)程則更直觀，可以描述出其變化的動(dòng)態(tài)特征，幫助學(xué)生理解物理過(guò)程。比如在研究機(jī)械波時(shí)，我們可以根據(jù)波形圖的變化來(lái)判斷波的傳播方向。如下圖中實(shí)線是簡(jiǎn)諧波在t=0時(shí)刻的波形圖，虛線是t=0.3s時(shí)刻的波形圖，波速是20cm/s。從圖中可以看出其波長(zhǎng)為8cm，則可算出周期為T(mén)=0.4s，則，由此我們可以判斷此列波是沿 軸向左傳播的。

圖3 chart 3

2.4 用于實(shí)驗(yàn)，簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)處理方法

物理學(xué)習(xí)離不開(kāi)物理實(shí)驗(yàn)，在物理實(shí)驗(yàn)中應(yīng)用圖像法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，不僅具有簡(jiǎn)明、直觀的特點(diǎn)，而且還可以減小誤差、分析誤差的成因。如測(cè)量電源電動(dòng)勢(shì)與內(nèi)阻的實(shí)驗(yàn)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)畫(huà)出路端電壓與電流的圖像。根據(jù)歐姆定律U=E?Ir，可知U是I的一次函數(shù)，這個(gè)圖線應(yīng)是一條直線。由于實(shí)驗(yàn)誤差，根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)做出的點(diǎn)不會(huì)嚴(yán)格地落在同一條直線上。我們用直尺畫(huà)一條直線，是直線兩側(cè)的點(diǎn)子數(shù)目大致相等。

圖4 chart 4

如圖 4所示這條直線就能代表沒(méi)有誤差或誤差很小時(shí)的電壓-電流關(guān)系，這條直線跟縱軸的交點(diǎn)表示 I=0，屬于斷路的情況，這時(shí)的電壓U等于電源電動(dòng)勢(shì)，這條直

線與橫軸的交點(diǎn)表示電壓U=0，屬于短路的情況，根據(jù)短路電流I短與內(nèi)阻r、電動(dòng)勢(shì)E的關(guān)系，可求出電源的內(nèi)阻r。

2.5 是一種科學(xué)探究的基本方法

函數(shù)圖像法在研究性學(xué)習(xí)中也有較大的應(yīng)用。通過(guò)圖像可以確定物理量之間的關(guān)系。如在研究“一定質(zhì)量的氣體在溫度不變的情況下，壓強(qiáng)與體積的關(guān)系”實(shí)驗(yàn)中，將數(shù)據(jù)采集器收集到的數(shù)據(jù)輸送到圖形計(jì)算器，輸出P—V圖線，得到的是一條曲線，輸出P—1/V圖線，得到一條直線，通過(guò)對(duì)圖線的擬合，發(fā)現(xiàn)曲線與反比例函數(shù)、直線與一次函數(shù)圖線都能很好地吻合，由此可得一定質(zhì)量的氣體在溫度不變的情況下，壓強(qiáng)與體積成反比。

總之運(yùn)用函數(shù)圖像法解題的深層意義在于可以啟迪學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)造能力，提高學(xué)生的綜合能力，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的治學(xué)態(tài)度。

3.函數(shù)圖像的各個(gè)層次的物理意義

圖像的物理意義主要通過(guò)“點(diǎn)”、“線”、“面”、“形”四個(gè)方面來(lái)體現(xiàn)：

3.1 物理圖像中“點(diǎn)”的物理意義

“點(diǎn)”是認(rèn)識(shí)圖像的基礎(chǔ)。物理圖像上的“點(diǎn)”代表某一物理狀態(tài)，它包含著該物理狀態(tài)的特征和特性。從“點(diǎn)”著手分析應(yīng)注意從幾個(gè)特殊“點(diǎn)”入手分析其物理意義 。

（1）截距點(diǎn)，它反映了當(dāng)一個(gè)物理量為零時(shí)，另一個(gè)物理的值是多少，也就是說(shuō)明確表明了研究對(duì)像的一個(gè)狀態(tài)。如圖 5中，圖像與縱軸的交點(diǎn)反映出當(dāng) I=0時(shí)，U＝E即電源的電動(dòng)勢(shì)；而圖像與橫軸的交點(diǎn)反映出電源的短路電流。

圖5 chart 5

（2）交點(diǎn)，即圖線與圖線相交的點(diǎn)，它反映了兩個(gè)不同的研究對(duì)象此時(shí)有相同的物理量。如圖6中的P點(diǎn)表示甲、乙物體運(yùn)動(dòng)位移相同的時(shí)刻和位移。

圖6 chart 6

（3）拐點(diǎn)，通常反映出物理過(guò)程在該點(diǎn)發(fā)生突變，物理量由量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。拐點(diǎn)分明拐點(diǎn)和暗拐點(diǎn)，對(duì)明拐點(diǎn)，學(xué)生能一眼看出其物理量發(fā)生了突變。如圖7中的P點(diǎn)反映了加速度方向發(fā)生了變化而不是速度方向發(fā)生變化。

圖7 chart 7

而暗拐點(diǎn)，學(xué)生常察覺(jué)不到物理量的突變，如圖8中P點(diǎn)看起來(lái)是一條直線，實(shí)際上在該點(diǎn)速度方向發(fā)生了變化。

圖8 chart 8

圖9 chart 9

（4）極值點(diǎn)，它可表明該點(diǎn)附近物理量的變化趨勢(shì)。如圖9中的D點(diǎn)表明當(dāng)電流等于E/(2r)時(shí)，電源有最大的輸出功率。

3.2 物理圖像中“線”的物理意義

“線”：主要指圖像的直線或曲線的切線，其斜率通常具有明確的物理意義。物理圖像的斜率代表兩個(gè)物理量增量之比值，其大小往往代表另一物理量值。如s-t圖像的斜率為速度，v-t圖像的斜率為加速度、Φ-t圖像的斜率為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、U-I圖像的斜率為負(fù)載的電阻等。

3.3 物理圖像中“面”的物理意義

“面”：是指圖線與坐標(biāo)軸所圍的面積。有些物理圖像的圖線與橫軸所圍的面積的值常代表另一個(gè)物理量的大小。學(xué)習(xí)圖像時(shí)，有意識(shí)地利用求面積的方法，計(jì)算有關(guān)問(wèn)題，可使有些物理問(wèn)題的解答變得簡(jiǎn)便，如v-t圖像中所圍面積代表位移，F(xiàn)-S圖像中所圍面積為力做的功，P-V圖像中所圍面積為氣體壓強(qiáng)做的功。S-(1/v)圖像與1/v軸所圍的面積代表時(shí)間等。

3.4 物理圖像中“形”的物理意義

“形”：指圖像的形狀。由圖線的形狀結(jié)合其斜率找出其中隱含的物理意義。例如在v-t圖像，如果是一條與時(shí)間軸平行的直線，說(shuō)明物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)；若是一條斜的直線，說(shuō)明物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)；若是一條曲線，則可根據(jù)其斜率變化情況，判斷加速度的變化情況。在波的圖像中，可通過(guò)微小的平移能夠判斷出各質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)刻的振動(dòng)方向；在研究小電珠兩端的電壓U與電流I關(guān)系時(shí)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)出在不同電壓下通過(guò)小電珠的電流，作出U-I圖線，得到的是一條曲線，通過(guò)對(duì)圖線斜率的分析可得出：在實(shí)際情況下，小電珠的電阻隨著溫度的變化而發(fā)生了變化。

4.高中物理涉及的物理函數(shù)圖像

高中物理常涉及到的函數(shù)圖像有：V（速度）-t（時(shí)間）圖像、S（位移）-t（時(shí)間）圖像、波動(dòng)圖像、P（壓強(qiáng)）-T（溫度）圖像、P（壓強(qiáng)）-V（體積）圖像、U（路端電壓）-I（電流）圖像、I（電流）-t（時(shí)間）圖像等。從圖像的層次看，有“點(diǎn)”、“線”、“面”、“形”四個(gè)不同的層次，從圖像形狀看，有直線型、正弦、余弦曲線型、雙曲線型、拋物線型和其他型等。下面就分別舉例說(shuō)明它們的應(yīng)用。

4.1 力學(xué)部分

（1）v-t圖

例1 礦井里的升降機(jī)，由靜止開(kāi)始勻加速上升，經(jīng)5s速度達(dá)到4m/s后，又以這個(gè)速度勻速上升20s，然后勻減速上升，經(jīng)過(guò)4s停在井口，求礦井的深度。

解析：如果采用解析法，就得分三個(gè)步驟：第一，由于從靜止開(kāi)始，初速度為 0，由vt=at得到第一次加速過(guò)程中的加速度a1，再利用公式，得到h1；第二，利用勻速運(yùn)動(dòng)的位移公式得到h2；最后，先求出減速運(yùn)動(dòng)中的加速度a2，我們可以將這個(gè)減速運(yùn)動(dòng)看成是一個(gè)反方向的加速運(yùn)動(dòng)，所以同樣利用得到h3。最終礦井的深度為。這道題采用解析法也不麻煩，但是對(duì)于馬虎的同學(xué)來(lái)說(shuō)可能會(huì)算漏或帶錯(cuò)符號(hào)。如果我們利用函數(shù)圖像法來(lái)處理這道題的話，會(huì)顯得簡(jiǎn)單明了，且不易出錯(cuò)。首先，要懂題，建立直角坐標(biāo)，根據(jù)習(xí)慣我們將速度設(shè)為縱坐標(biāo)，時(shí)間設(shè)為橫坐標(biāo)，再一步一步根據(jù)題意作圖，如下：

圖10 chart 10

圖10 中的梯形面積，即表示升降機(jī)運(yùn)動(dòng)的位移大小，通過(guò)計(jì)算梯形面積得到井深h。

（2）s-t圖

例2 如圖11表示甲、乙兩運(yùn)動(dòng)物體相對(duì)同一原點(diǎn)的位移-時(shí)間圖像，下面有關(guān)說(shuō)法正確的是：

A. 甲、乙都做勻速直線運(yùn)動(dòng)

B.甲、乙運(yùn)動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)相距s0

C.乙運(yùn)動(dòng)的速度大于甲運(yùn)動(dòng)的速度

D.乙比甲早出發(fā)t1的時(shí)間

圖11 chart 11

圖12 chart 12

解析：圖中所示圖像都是直線，所以甲、乙均是做勻速直線運(yùn)動(dòng)，故A正確。因t=0，甲圖像與s軸的截距為s0，而乙圖像表示乙在原點(diǎn)，所以出發(fā)點(diǎn)相距s0，故B正確。因乙圖像的斜率大于甲圖像斜率的絕對(duì)值，所以乙運(yùn)動(dòng)速率大于甲運(yùn)動(dòng)速率，故C正確。從圖像中可以看出甲比乙早出發(fā)

t1的時(shí)間，故D選項(xiàng)錯(cuò)。

4.2 熱學(xué)部分

（1）P-T圖

例3 如圖12示，一定質(zhì)量的理想氣體經(jīng)歷圖示的一系列過(guò)程，ab，bc，cd和da這四段過(guò)程在P-T圖上都是直線段，其中ab的延長(zhǎng)線通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)o，bc垂直于ab，而cd平行于ab，由圖可以判斷：

A. ab過(guò)程中氣體體積不斷減少

B. bc過(guò)程中氣體體積不斷減少

C. cd過(guò)程中氣體體積不斷增大

D. da過(guò)程中氣體體積不斷增大

4.3 光學(xué)部分

（1）Ek?v圖

例 4 用不同頻率的紫外線分別照射鎢和鋅的表面而產(chǎn)生光電效應(yīng)，可得到光電子最大初動(dòng)能的Ek隨入射光頻率v變化的Ek?v圖像，已知鎢的逸出功是 3.28eV，鋅的逸出功是 3.24eV，若將二者的圖線畫(huà)在同一個(gè)坐標(biāo)圖中，用實(shí)線表示鎢，虛線表示鋅，則正確反映這一過(guò)程的圖是：

解析：在Ek?v圖像中，斜率k=h，所以鎢和鋅的Ek?v圖線應(yīng)該平行，而圖中橫軸的截距在數(shù)值上等于金屬的極限頻率v0，v0越大截距越大，而鎢的逸出功大于鋅的逸出功，所以鎢的極限頻率大些，表示鎢的實(shí)線與橫軸的截距也應(yīng)該大一些，故選A。

4.4 電學(xué)部分

(1) U-I圖

例5 如圖13所示，直線A為電源的路段電壓U與干路電流I的關(guān)系圖線，直線B是電阻R的兩端電壓U與電流I的關(guān)系圖線，用該電源與該電阻組成閉合電路，則電源的輸出功率P是多少？電源的效率又是多少？

圖13 chart 13

解析：由直線B知R=1?，由直線A知E=3v，r=0.5?，當(dāng)兩者組成電路后，，故：

（2）I-t 圖

例6 一矩形線圈位于一隨時(shí)間t變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)內(nèi)，磁場(chǎng)方向垂直線圈所在的平面（紙面）向里，如圖14所示，圖15表示磁場(chǎng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化情況以I表示線圈中的感應(yīng)電流，以圖中的線圈上所示方向的電流為正，則圖中的I-t圖正確的是哪一個(gè)？

圖14 chart 14

解析：由圖像乙知，在0到1秒的時(shí)間內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度均勻增大，那么根據(jù)楞次定律可以判斷，感應(yīng)電流的方向?yàn)槟鏁r(shí)針的方向，與圖示甲的電流方向相反，為負(fù)值，所以就可以由此先排除B、C選項(xiàng)。根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，其大小為一定值，在2到3秒和4到5秒內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度不變，磁通量不變，也就無(wú)感應(yīng)電流產(chǎn)生，所以D錯(cuò)，結(jié)果選A。

圖16 chart 16

4.5 實(shí)驗(yàn)部分

例7 在研究平拋物體的運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)當(dāng)中，我們通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)，描出平拋物體運(yùn)動(dòng)的軌跡，再根據(jù)圖像求出平拋物體的初速度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果示意圖如圖16所示。

過(guò)程是：實(shí)驗(yàn)時(shí)，使小球由斜槽的某一位置自由下滑，并由O點(diǎn)開(kāi)始做平拋運(yùn)動(dòng)。先用眼睛粗略地確定做平拋運(yùn)動(dòng)的小球在某一x1值處的y1值。然后使小球從開(kāi)始的位置滑下，在粗略確定的位置附近，用鉛筆較準(zhǔn)確確定小球通過(guò)的位置，并在坐標(biāo)值上記下這一點(diǎn)。以后依次改變 的值，用同樣的方法確定其他各點(diǎn)的位置。注意的是：每次應(yīng)使小球從槽上的同一位置滑下。實(shí)驗(yàn)完成后，取下坐標(biāo)紙，根據(jù)記錄下的一系列位置，用平滑的曲線畫(huà)出小球做平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡。在軌跡選取幾個(gè)不同的點(diǎn)，測(cè)出它們的橫縱坐標(biāo)，已知g值，利用公式求出小球做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度v0，最后算出v0的平均值。

這就是典型的在實(shí)驗(yàn)中根據(jù)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象制作函數(shù)圖像，通過(guò)對(duì)函數(shù)圖像的分析來(lái)對(duì)問(wèn)題做出解答，或由圖像的性質(zhì)、特點(diǎn)來(lái)總結(jié)物理規(guī)律。

5.如何應(yīng)用函數(shù)圖像法

圖像法解題有許多優(yōu)點(diǎn)，但如何讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)并掌握這種行之有效的方法卻并非簡(jiǎn)單，下面著重從圖像的坐標(biāo)選取和圖形的建立這兩方面來(lái)加以討論。

第一步，根據(jù)對(duì)圖像的物理意義的把握，能自覺(jué)自如地處理解決與圖像有關(guān)的物理問(wèn)題，也就是要能看懂圖像，就是要能夠看出函數(shù)圖像所表達(dá)的意義，不為圖像的表面現(xiàn)象所迷惑，不要把問(wèn)題中的幾何圖形、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡與圖像中的函數(shù)圖線混淆。

首先，教師在平時(shí)的教學(xué)中要經(jīng)常地把物理概念、定義、規(guī)律、定律等的教學(xué)圖像化，這樣通過(guò)平時(shí)教學(xué)的潛移默化讓學(xué)生對(duì)圖像有個(gè)較扎實(shí)、深刻的理解。

其次，教師在教學(xué)分析圖像時(shí)力求做到講清、講全、講透。清：圖像的物理意義要清，不拖泥帶水；全：一個(gè)物理圖像中所隱含的所有物理信息要分析全面，讓學(xué)生對(duì)整個(gè)圖像的物理意義有一個(gè)橫向的理解；透：講到一個(gè)圖像時(shí)，應(yīng)能舉一反三把這個(gè)圖像與以前學(xué)過(guò)的類(lèi)似的圖像聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生能對(duì)圖像有一個(gè)縱向的把握。

最后，平時(shí)的教學(xué)訓(xùn)練，教師要常收集一些有關(guān)圖像的題目讓學(xué)生訓(xùn)練。用一些圖像法能一目了然而解析法較難解決的題目來(lái)訓(xùn)練學(xué)生，讓學(xué)生深刻體會(huì)到圖像法解題的妙處，使學(xué)生在內(nèi)心深處渴望用圖像法來(lái)解決物理問(wèn)題。

例8 如圖17中A表示電源的總功率與電流的關(guān)系，曲線B表示電源內(nèi)部的發(fā)熱功率與電流的關(guān)系圖，試求電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻；CD線段表示的物理意義，等于多少？

圖17 chart 17

解析：首先要看懂圖，分析這個(gè)圖像，不難發(fā)現(xiàn)A的斜率即為電源的電動(dòng)勢(shì)3v，A、B相交的點(diǎn)表示電源短路的情況，進(jìn)而能分析出電源的內(nèi)阻為1Ω。進(jìn)一步分析CD線段，它表示當(dāng)電流為2A時(shí)，外電路的電功率。

例9 甲、乙、丙三物體同時(shí)同地出發(fā)作直線運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的s-t圖像如圖18所示，在時(shí)間t0內(nèi)它們的平均速率大小關(guān)系如何？

圖18 chart 18

解析：分析這道試題時(shí)，且不可將這三條圖線看成是物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，由圖可見(jiàn)，乙、丙均作單向直線運(yùn)動(dòng)，它們的路程是相同的，都為s0，而兩者的區(qū)別在于，乙作勻速直線運(yùn)動(dòng)，丙作變速直線運(yùn)動(dòng)，甲作的是往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)，它先沿直線運(yùn)動(dòng)到距離原點(diǎn)位移為sm（sm>s0），然后又返回至乙、丙運(yùn)動(dòng)的終點(diǎn)?？梢?jiàn)甲運(yùn)動(dòng)的路程大于乙、丙通過(guò)的路程（三者的位移相同），甲通過(guò)的路程為，故。

像以上這兩種例題非常能激起學(xué)生對(duì)圖像法解決物理問(wèn)題的興趣，進(jìn)而能熟練地掌握?qǐng)D像法的精髓，從而提高學(xué)生解決物理問(wèn)題的能力。

第二步，在上述基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求，靈活地建立坐標(biāo)，應(yīng)用圖像解決實(shí)際問(wèn)題，就是要會(huì)畫(huà)圖像，根據(jù)題目的條件，運(yùn)用物理定律和物理規(guī)律找到物理量之間存在的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系式，建立相應(yīng)的X、Y軸，畫(huà)出圖像，將物理過(guò)程的變化和規(guī)律用不同的圖像反映出來(lái)，再根據(jù)畫(huà)出的圖像進(jìn)行綜合分析。

例 10 已知螞蟻離開(kāi)巢沿直線爬行，它的速度與到蟻巢中心的距離成反比，當(dāng)螞蟻爬到距巢中心的距離L1=1m的A點(diǎn)處時(shí)，速度是v1=2cm/s。試問(wèn)螞蟻從A點(diǎn)爬到距巢中心的距離L2=2m的B點(diǎn)所需的時(shí)間為多少？

解析：本題若采用將AB無(wú)限分割，每一等分可看作勻速直線運(yùn)動(dòng)，然后求和，這一辦法原則上可行，實(shí)際上很難計(jì)算。但如果我們用圖像法解題根據(jù)題中一個(gè)關(guān)鍵條件：螞蟻運(yùn)動(dòng)的速度v與螞蟻離巢的距離x成反比，即，作出圖像，如圖19所示，為一條通過(guò)原點(diǎn)的直線。從圖上可以看出梯形ABCD的面積，就是螞蟻從A到B的時(shí)間：

圖19 chart 19

解本題的關(guān)鍵是確定坐標(biāo)軸所代表的物理量，速率與距離成反比的條件，可以寫(xiě)成，也可以寫(xiě)成，若按前者確定坐標(biāo)軸代表的量，圖線下的面積就沒(méi)有意義了，而以后者來(lái)確定，面積恰好表示時(shí)間。可見(jiàn)合理地選取坐標(biāo)是應(yīng)用圖像法解決物理問(wèn)題的關(guān)鍵所在。

例11 火車(chē)自甲站開(kāi)出，先以勻加速前進(jìn)時(shí)間t1，后以勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2，正好到達(dá)乙站停止，如果甲乙兩站相距為s，求火車(chē)的最大速度。

解析：此題可以運(yùn)用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行解決，但較為繁瑣，畫(huà)出物理量變化的函數(shù)圖像，再運(yùn)用物理圖像進(jìn)行解題。作火車(chē)的v-t圖像，如圖20所示。

圖20 chart 20

圖像下“面積”在數(shù)值上表示火車(chē)通過(guò)的距離。故有：

從上面的五個(gè)例子中，我們看到，函數(shù)圖像具備直觀性，能顯示出全過(guò)程的物理變化情況，有動(dòng)感，數(shù)學(xué)形式相同的物理規(guī)律其圖像也相同，某些情況下，運(yùn)用圖像求解比解方程運(yùn)算簡(jiǎn)潔。

6.應(yīng)用函數(shù)圖像法的注意事項(xiàng)

為使學(xué)生能正確理解函數(shù)圖像法在中學(xué)物理中的應(yīng)用，我們?cè)谄綍r(shí)的函數(shù)圖像教學(xué)中應(yīng)特別注意以下幾點(diǎn)：

首先，必須搞清楚縱軸和橫軸所代表的物理量，明確要描述的是哪兩個(gè)物理量間的關(guān)系。如辨析簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)和簡(jiǎn)諧波的圖像，就根據(jù)坐標(biāo)軸所表示的物理量不同進(jìn)行區(qū)別。

其次，要認(rèn)識(shí)圖線并不表示物體實(shí)際運(yùn)動(dòng)的軌跡。如勻速直線運(yùn)動(dòng)的S-t圖像是一條斜向上的直線，但物體實(shí)際運(yùn)動(dòng)的軌跡可能是水平的，并不是向上爬坡。

最后，要從物理意義上去認(rèn)識(shí)圖像。由圖像的形狀應(yīng)能看出物理過(guò)程的特征，特別要關(guān)注截距、斜率、圖線所圍面積、兩圖線交點(diǎn)等。在很多情況下，寫(xiě)出物理量的解析式與圖像進(jìn)行對(duì)照，將有助于對(duì)圖像物理意義的理解。

7.總結(jié)

物理函數(shù)圖像是以解析幾何中的坐標(biāo)為基礎(chǔ)，借助數(shù)和行的幾何，即將描述取值運(yùn)動(dòng)形式的函數(shù)關(guān)系和幾何血中的曲線問(wèn)題相結(jié)合，來(lái)表現(xiàn)兩個(gè)物理量之間的依存關(guān)系，從而直觀、形象、動(dòng)態(tài)地表達(dá)各種現(xiàn)象的物理過(guò)程和規(guī)律。

前邊所舉的例子告訴我們，物理函數(shù)圖像，不僅是一種純粹的數(shù)學(xué)表達(dá)，它還包含著豐富的內(nèi)容。還是解決物理問(wèn)題的一種重要手段，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)理結(jié)合、數(shù)像結(jié)合能力的一個(gè)行之有效的科學(xué)方法，它能反映清晰的物理過(guò)程，開(kāi)辟新的解題途徑，提供簡(jiǎn)潔的解題思路。我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，只要善于培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖、建圖、用圖的能力，并經(jīng)常訓(xùn)練，達(dá)到熟能生巧，一定能有效地提高學(xué)生的抽象思維能力和分析解決問(wèn)題的能力，提高學(xué)生的基本素質(zhì)。

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王秀波（1984-），女，吉林白城人，和田師范專(zhuān)科學(xué)校物理系助教，主要從事物理教學(xué)與研究。

2011-03-2