孔 勐， 王馳駿， 胡金花， 時(shí)晶晶， 李雯雯

（1．合肥師范學(xué)院 物理與電子工程系，安徽 合肥 230601；2．電子科學(xué)技術(shù)大學(xué) 微電子與固體電子學(xué)院，四川 成都 611731）

拋物線方程算法在不規(guī)則地形電波傳播中的應(yīng)用

孔 勐1， 王馳駿2， 胡金花1， 時(shí)晶晶1， 李雯雯1

（1．合肥師范學(xué)院 物理與電子工程系，安徽 合肥 230601；2．電子科學(xué)技術(shù)大學(xué) 微電子與固體電子學(xué)院，四川 成都 611731）

文章對(duì)標(biāo)準(zhǔn)拋物線方程（SPE）的分裂步傅里葉變換（SSFT）方法進(jìn)行了詳細(xì)的分析，引入一種適合SPE的不規(guī)則地形建模方式，利用SSFT算法計(jì)算自由空間與不規(guī)則地形的電波傳播問題，與經(jīng)典理論計(jì)算所得的結(jié)果相當(dāng)吻合。

拋物線方程；分裂歩傅里葉變換；不規(guī)則地形；電波傳播

拋物線方程（Parabolic Equation）首先是由Lenontovich［1］和 Fock［2］在20世紀(jì)40年代提出，PE方法初期主要用來處理比較復(fù)雜的聲波的傳播和光學(xué)等方面的問題。PE方法廣泛用于計(jì)算各種波的傳播問題，對(duì)長(zhǎng)距離聲波在海洋中的傳播和地震波傳播的計(jì)算和研究提供了一種有效、準(zhǔn)確的方法［3，4］。近年來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開始將拋物線方程方法應(yīng)用于處理電波傳播與電磁散射問題［5，6］。文章針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)拋物線方程（SPE）采用分裂步傅里葉變換（SSFT）算法求解。該方法首先對(duì)SPE進(jìn)行傅里葉變換，使原來空間域的SPE變成更為簡(jiǎn)單的頻域SPE，解較為簡(jiǎn)單的頻域SPE，然后對(duì)解得的結(jié)果進(jìn)行傅里葉逆變換，使頻域解還原為空間域解。在步進(jìn)求解SPE時(shí)，SSFT的步長(zhǎng)幾乎不受波長(zhǎng)的限制，可以取很大。因此，對(duì)于大尺度電波傳播的問題，SSFT算法求解速度快，穩(wěn)定性好。

1 拋物線方程的SSFT算法分析

1．1 數(shù)值解法

設(shè)與水平面成α角方向傳播的平面波波函數(shù)為：

對(duì)u（x，z）進(jìn)行傅里葉變換，得到頻域波函數(shù)U（x，f）為：

其中n為折射系數(shù)。

SPE解的形式為：

對(duì)（5）式兩邊進(jìn)行傅里葉變換及逆變換得到一般解的形式為：

由（6）式可以看出：任何一個(gè)面的場(chǎng)值都可以通過上一個(gè)面的場(chǎng)值遞推計(jì)算得到，其中Δx為遞進(jìn)步長(zhǎng)。

1．2 初始場(chǎng)的設(shè)置

通過對(duì)發(fā)射天線的方向圖函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換來求得PE的初始場(chǎng)，得到PE在二維均勻無界空間中的初始場(chǎng)分布，再利用幾何光學(xué)（GO）中的雙射線模型將無界空間中的初始場(chǎng)分布轉(zhuǎn)換成地表以上半空間中的場(chǎng)分布，從而最終得到所需的PE初始場(chǎng)。

假設(shè)反射天線方向圖函數(shù)為A（z），SPE上半空間的初始場(chǎng)分布為：

式中p＝2πf

通常采用的高斯方向圖為：

圖1所示頻率為300MHz，Ht＝12．5不同極化方式下初始場(chǎng)的歸一化幅度值。

圖1 初始場(chǎng)的歸一化幅度值

1．3 邊界條件

SPE模型只考慮電波的前向傳播，構(gòu)成這個(gè)區(qū)域的邊界主要為上方的吸收邊界和下方的地表邊界以及左邊的起始邊界（初始場(chǎng)分布），在傳播方向上計(jì)算域的邊界是開放的。SPE模型的計(jì)算域及其邊界如圖2所示。

圖2 SPE模型的計(jì)算域及其邊界

SPE模型的上邊界是個(gè)吸收邊界，主要用來截?cái)郤SFT的計(jì)算域。從初始距離處開始，z方向上的每一步進(jìn)場(chǎng)量都乘以Cosine-taper（Tukey）窗函數(shù)（9）式，以滿足Sommerfeld輻射條件。

其中，zmax為計(jì)算域的最大高度。

假設(shè)地表近似為理想導(dǎo)體平面，將邊界條件應(yīng)用到傅里葉變換式中，可得水平極化條件下正弦變換S形式為：

SSFT算法在結(jié)合地表面邊界條件后解的形式為：

其中S－1＝4S［7］。

2 不規(guī)則地形的建模

文章采用由Beilis和Tappert提出的連續(xù)移位變換模型［8］，結(jié)合SSFT算法應(yīng)用到不規(guī)則地形的電波傳播中。其主要思想是在整個(gè)計(jì)算域的地形剖面上新建一個(gè)坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)變換將不規(guī)則地形上的PE轉(zhuǎn)換成平面地表上的形式，坐標(biāo)（x，z）為如圖3所示的原坐標(biāo)系。

圖3 原坐標(biāo)系（x，z）和新坐標(biāo)系（x′，z′）的關(guān)系圖

在原坐標(biāo)系中，假設(shè)地形的高度由下面的函數(shù)確定：

要使地形變得“平坦”就需引入相應(yīng)的坐標(biāo)變換，方法如下：

坐標(biāo)變化后，可得到在新坐標(biāo)下SPE形式：

在新的坐標(biāo)中，令v（x′，z′）＝eiθ（x′，z′）u（x，z），其中θ為待變量［9］，其中修正折射指數(shù)：

連續(xù)移位變換地形模型具有很好的通用性，只要地形起伏特征可以用一個(gè)存在x二階的連續(xù)函數(shù)來描述，在這種地形模型上，SPE本身的形式不變，只是將原先的折射指數(shù)項(xiàng)n2用m2代替，因此結(jié)合式（11），即可求解不規(guī)則地形的電波傳播問題。

3 計(jì)算實(shí)例

真空中（折射系數(shù)n＝1），頻率為0．3GHz的平面波ψ＝exp（ik（x cos（α）＋z sin（α））），入射角α＝10°，計(jì)算尺度為5000m。利用SSFT方法計(jì)算該問題，步長(zhǎng)取200m，計(jì)算時(shí)間為0．34s，將場(chǎng)值u（x，z）（x＝5000m）的實(shí)部和虛部的計(jì)算值與解析解進(jìn)行比較，其結(jié)果如圖4、圖5所示。圖中可以看出，SSFT方法與解析解的結(jié)果吻合較好。由于計(jì)算量大，PE的有限差分（FD）方法［10］在保證精度的基礎(chǔ)上根本無法完成計(jì)算。

圖4 SSFT方法計(jì)算真空中電波傳播的場(chǎng)值實(shí)部

圖5 SSFT方法計(jì)算真空中電波傳播的場(chǎng)值虛部

下面通過仿真來驗(yàn)證該方法對(duì)不規(guī)則地形電波傳播問題的有效性。考慮電磁波在一個(gè)類似正弦包絡(luò)形狀的不規(guī)則地形上傳播，其中，地形函數(shù)為：

式中，h為頂點(diǎn)高度，x1為包絡(luò)半高程所在的距離，w為包絡(luò)的半寬度。設(shè)h＝229m，x1＝15km，w＝10km。發(fā)射天線高度為Ht＝30m，頻率為f＝3．0GHz，高斯方向圖3d B寬度為θbw＝3°，電波水平極化。假設(shè)大氣為真空，折射系數(shù)n＝1，大地為良導(dǎo)體。在水平方向上使用迭代的步長(zhǎng)Δx＝100m，計(jì)算至50km處。圖6顯示了本文的計(jì)算結(jié)果。

從計(jì)算結(jié)果可以看出，面向輻射源的一面有很強(qiáng)的反射，而在背面有很深的陰影區(qū)，在陰影區(qū)的場(chǎng)強(qiáng)顯著下降至－70dB。這與文獻(xiàn)［11］中的圖2基本一致，證明了該方法的有效性。

圖6 SSFT計(jì)算不規(guī)則地形的電波傳播幅度值

4 結(jié)束語

文章推導(dǎo)出SPE的SSFT算法一般解的公式，結(jié)合SSFT方法的初始場(chǎng)和邊界條件設(shè)置，引入一種適合SPE的不規(guī)則地形建模方式，利用SSFT算法計(jì)算自由空間和不規(guī)則地形的電波傳播問題，得到良好的效果，證明了SSFT算法在計(jì)算大尺度不規(guī)則地形的電波傳播問題的有效性。

［1］ Leontovich M A，F(xiàn)ock V A．Solution of propagation of electromagnetic waves along the Earth’s surface by the method of parabolic equation［J］．J Phys USSR，1946，10（1）：13-23．

［2］ Fock V A．Electromagnetic Diffraction and propagation Problems［M］．London：Pergamon Press，1965：213-234．

［3］ Dalrymple R A，Martin P A．Perfect boundary condition for parabolic water－wave models［J］．proc．R．Soc．London A，1992，437（1899）：41-54．

［4］ Collino F，Joly P．Splitting of operators，alternate directions and paraxial approximations for the three－dimensional wave equation［J］．SIAM J．Sci．Comput，1995，16（5）：1019-1048．

［5］ Zaporozhets A A，Levy M F．Bistatic RCS calculations with the vector parabolic equation method［J］．IEEE Trans on AP，1999，47（11）：1688-1696．

［6］ 胡繪斌，毛鈞杰，柴舜連．電波傳播中求解寬角拋物線方程的誤差分析［J］．電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2006，21（2）：199-－202．

［7］ Levy M F．Parabolic Equation methods for electromagnetic wave propagation［M］．London：The Institution of Electrical Engineers，2000：23-46．

［8］ Beilis A，Tappert F D．Coupled mode analysis of multiple rough surface scattering［J］．Acoust Soc Amer，1979，66（3）：811-826．

［9］ Barrios A E．A terrain parabolic equation model for propagation in the troposphere［J］．IEEE Trans on AP，1994，42（1）：90-98．

［10］ 孔勐，吳先良，黃志祥．基于SSP拋物線方程方法計(jì)算電磁散射問題［J］．合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009，32（11）：1773-1775．

［11］ Donohue D J，Kuttler J R．Propagation modeling over terrain using the parabolic wave equation［J］．IEEE Trans on AP，2000，48（2）：260-277．

Application of Parabolic Equation Method to Radio Propagation over Irregular Terrain

KONG Meng1， WANG Chi-jun2， HU Jin-hua1， SHI Jing－jing1， LI Wen-wen1（1．Dept．of physics and Electronic Engineering，Hefei Normal University，Hefei 230601，China；2．School of Microelectronics and Soild-state Electronics，University of Electronic Science and Technology of China，Chendu 611731，China）

Standard parabolic equation （SPE）with Slip-step Fourier Transform （SSFT）method and SPE modelling of radio propagation over irregular terrain are elaborated．To work out radio propagation in vacuum and radio propagation over irregular terrain with SSFT method is identical to the results available by the classical method．

parabolic equation；Slip-step Fourier Transform；irregular terrain；radio propagation

O451

B

1674-2273（2011）06-0031-04

2011－01－20

1．安徽省教育廳自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目 （KJ2010A283）；2．合肥師范學(xué)院院級(jí)自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 （2010kj09）．3．合肥師范學(xué)院重點(diǎn)科研基地研究專項(xiàng)資助項(xiàng)目（2011jd06）

孔勐（1983－），男，安徽亳州人，合肥師范學(xué)院物理與電子工程系教師，碩士，主要研究方向：無線通信與電磁兼容、電磁場(chǎng)數(shù)值方法。