王國秋，楊夢云

(湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,中國 長沙 410081)

正交小波變換是一能量守恒變換．無論是連續(xù)形式還是離散形式的小波變換，誤差都是可控的．然而，作為小波理論的一個重要組成部分，雙正交小波變換已不是一個能量守恒變換，雖然它是嚴格可逆的變換，但它的誤差就不完全可控．因此，雙正交小波變換的誤差分析和控制就格外重要．

有關(guān)雙正交小波變換的誤差分析，涉及到框架上界的估計或小波變換算子的譜估計，到現(xiàn)在為止，并未見有關(guān)研究報道．小波函數(shù)大多是隱函數(shù)，所以直接對小波框架的界估計或連續(xù)小波變換算子的譜估計都有較大的困難．

雙正交小波理論較優(yōu)美，性能卓越．自從Cohen和Daubechies等的大作[1]問世后，雙正交小波就逐漸為人們所認知，并在應(yīng)用領(lǐng)域廣泛使用[2-4]．當(dāng)雙正交小波由一個MRA生成時，我們采用了一種誤差分析方法．本文的第一作者曾引進了2-循環(huán)矩陣的概念[5]，這個概念的意義在于能將Mallat算法[6]用嚴格的有限維矩陣來表示，從而可以借助代數(shù)學(xué)的成熟理論來研究小波中的一些問題．

1 雙正交小波的譜半徑

假定V=[v1,v2,…,vn-1,vn]是一個n維向量,這里n是正偶數(shù)．

定義一個算子σ:σ(V)=[vn-1,vn,v1,…,vn-3,vn-2]，則σn/2(V)=V．稱σ是一個2-循環(huán)線性算子．

(1)

(2)

在Cohen和Daubechies等的理論指導(dǎo)下，產(chǎn)生了著名的9-7型雙正交小波(簡記為CDF97小波)[1]．然而，利用Cohen等的理論去構(gòu)造偶數(shù)濾波器長度的雙正交小波時，得到的小波可能既沒有好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，也沒有好的變換性能．例如，濾波器結(jié)構(gòu)為8-8型(即高低通濾波器的長度均為8)的具有最高消失矩的雙正交小波為：

低通濾波器(一半系數(shù),對稱)：{hi}={0.053 497 5,-0.087 225 8,-0.069 220 8,0.602 949}，

高通濾波器(一半系數(shù),反對稱)：{gi}={-0.022 817 9,0.037 203 8,0.133 432,-0.426 59}．

它們的構(gòu)造思想是讓一對高通濾波器分別具有5階和3階消失矩．這個小波簡記為CDF88，可以驗證這個小波的理論性質(zhì)和應(yīng)用表現(xiàn)都不理想．這一現(xiàn)象說明現(xiàn)有的雙正交小波理論本身有待完善之處．

設(shè)λ是矩陣AAT的任意特征值，max(|λ|)就稱為A的譜半徑．

由引理可知，雙正交小波不可能無限接近于一個正交系統(tǒng)．

證由引理1的1)和3)，ηn為正且有上界，所以η的存在性顯然．由引理3，ηn一定落在區(qū)間(λ0,1/λ0)之外，所以ηn>1/λ0，從而η≥1/λ0>1．

這個推論說明了當(dāng)一個雙正交小波給定后，有一個唯一的η與之對應(yīng)．

注若雙正交小波由多分辨分析生成，則其濾波器和小波函數(shù)是等價的，所以上述定義適用于小波函數(shù)．稱η為雙正交小波的譜半徑是因為ηn是Mn的譜半徑，它的上極限與矩陣沒有關(guān)系，而僅與這個雙正交小波有關(guān)系．

譜半徑的大小可以衡量一個雙正交小波的正交程度，譜半徑越小，反映雙正交小波的正交程度更好．由于η是一個大于1的數(shù)，它離1越近，表示正交程度越好．但不能簡單地說，譜半徑越小越好，因為影響小波性能的因素很多，而譜半徑大小只是其中關(guān)鍵的因素之一．

CDF88的譜半徑的近似值和CDF97的譜半徑的近似值見表1．CDF97的譜半徑更接近1，所以它的正交程度更好一些．

表1 不同小波的譜半徑

2 基于最小譜半徑的雙正交小波類

通過上面的討論，希望得到min(η)，以便雙正交小波系統(tǒng)是穩(wěn)定的．因此，提出如下的一個小波類：

1)選取合適的小波結(jié)構(gòu)，如奇數(shù)長或偶數(shù)長的，確定應(yīng)用所需要的分解端的濾波器的長度．

2)根據(jù)分解端高通濾波器的長度L決定消失矩的階數(shù)，一般偶數(shù)長L的最高消失矩為L/2+1階，奇數(shù)長L的最高消失矩為(L+1)/2階．同時，重構(gòu)端高通濾波器也給予一定的消失矩條件．

3)選取滿足min(η)的雙正交小波．

我們稱這個小波類為基于最小譜半徑的雙正交小波類．

具有偶數(shù)長濾波器的雙正交小波中性能優(yōu)異者并不多見．下面給出8-8型、12-8型和16-8型最優(yōu)小波各一個，它們的分解端高通濾波器的長度都為8，消失矩都為5階，重構(gòu)端高通濾波器的消失矩的階數(shù)不作限制可設(shè)為1階矩．注意，10-8型、14-8型小波不存在．之所以給出3組小波，是因為在8-8型和12-8型里的最優(yōu)解的譜半徑過高，要想進一步最小化譜半徑，就必須增加參數(shù)，故需加長濾波器的長度．

8-8型(Op88):

低通濾波器(一半系數(shù),對稱)：{hi}={0.099 856 2,-0.197 88,0.110 494,0.487 53}，

高通濾波器(一半系數(shù),反對稱){gi}={-0.030 686 9,0.060 810 8,0.125 563,-0.465 935}．

12-8型(Op128)：

低通濾波器(一半系數(shù)，對稱)：{hi}={0.0169 69,-0.036 622,0.103 044,-0.112 219,0.049 022 9,0.479 804}，

高通濾波器(一半系數(shù),反對稱)：{gi}={-0.037 121 7,0.080 115 2,0.119 128,-0.498 109}．

16-8型(Op168)：

低通濾波器(一半系數(shù),對稱)：{hi}={0.007 204 13,-0.015 614 2,-0.005 060 77,0.057 583 1,0.009 750 06,-0.091 724 8,0.068 464 5,0.469 398}，

高通濾波器(一半系數(shù),反對稱)：{gi}={-0.037 533,0.081 348 9,0.118 717,-0.500 165}．

它們的譜半徑見表1．Op88和Op128的圖像較CDF88雖有改善，但分解端的尺度函數(shù)和小波函數(shù)的圖像效果仍不理想，均類似于CDF88，說明5階的高消失矩要求有些勉強，因此在給定的結(jié)構(gòu)里達不到希望的譜半徑．而Op168的圖像已非常光滑(見圖1)，可見譜半徑的大小與圖像的光滑性有某種必然的內(nèi)在關(guān)系．

圖1 Op168小波，其中，(a)和(c)是尺度函數(shù)對；(b)和(d)是小波函數(shù)對

3 實驗分析

SPIHT算法[4]是一個優(yōu)秀的圖像壓縮編碼算法，它最大限度地利用了小波變換的特性，所以SPIHT算法也是全世界公認的測試小波性能的有效手段之一．我們采用SPIHT算法來測試所得到小波基的性能．在SPIHT算法里，我們采用Huffman熵編碼算法，小波分解次數(shù)都是6次，一律采用周期延拓處理邊界．重建信號與原始信號的誤差采用峰值信噪比(PSNR)來衡量．實驗圖像為常用的具有兩種典型分布的512×512的Barbara和Lena測試圖．試驗結(jié)果在表2和表3中．在表2和表3中，第一列為圖像的壓縮比(如“1∶4”表示壓縮圖像與原始圖像的存儲空間比為1∶4，其他類似)，表中的數(shù)據(jù)為PSNR(dB)．

實驗數(shù)據(jù)表明，Op88與CDF88的結(jié)構(gòu)相同，但Op88性能有很大的改善，說明最小化譜半徑是有效的．就4組小波(CDF88，Op88，Op128，Op168)而言，它們的譜半徑是逐漸降低的，但它們的性能大體上是增加的．對于Op168，就兩幅測試圖，它的壓縮編碼能力幾乎在各個碼率上都超過了CDF97的，尤其對復(fù)雜紋理圖像，在中等碼率下，具有超過0.4 dB的PSNR的優(yōu)勢，這一優(yōu)勢在圖像壓縮編碼里是不可忽略的，尤其對于復(fù)雜圖像，解碼圖像的質(zhì)量提高是非常困難的．所以，本文的結(jié)果無疑給研究者構(gòu)造更好的小波帶來了希望．

表2 Barbara測試結(jié)果

表3 Lena測試結(jié)果

4 結(jié)束語

本文提出的雙正交小波的譜半徑是一個重要概念.用這個概念能定量地衡量一個雙正交小波的正交程度的高低．在高消失矩條件下，最小化譜半徑才能凸顯雙正交小波的優(yōu)勢．

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