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(杭州市第十四中學(xué) 浙江杭州 310006) (浬浦中學(xué) 浙江諸暨 311824)

二次函數(shù)與高考如影隨形——記“數(shù)學(xué)教師-快樂相約”QQ群中一道函數(shù)題解法的探析與挖掘

●馬茂年●王蘇文

(杭州市第十四中學(xué) 浙江杭州 310006) (浬浦中學(xué) 浙江諸暨 311824)

將導(dǎo)數(shù)知識放到高中教材之后，我們會聯(lián)想到可以用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的較多題目，相對而言與二次函數(shù)有關(guān)的很多問題都被教師與學(xué)生所忽視.在最近幾年各個省份的高考試卷中，與二次函數(shù)有關(guān)的問題在不斷地升溫.如安徽卷、山東卷、天津卷、湖南卷、廣東卷、四川卷都單獨考查了有關(guān)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、零點、恒成立等問題.陜西卷、福建卷、江蘇卷以其他函數(shù)與二次函數(shù)結(jié)合的形式進(jìn)行考查.雖然有些高考題本身不是考查二次函數(shù)，但解決問題時還是需要轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)進(jìn)行思考.由此可以看出有關(guān)二次函數(shù)的問題還是有必要引起數(shù)學(xué)教師和學(xué)生的關(guān)注,尤其是以二次函數(shù)為載體的考查.本文以二次函數(shù)一例進(jìn)行解法探析與挖掘,供參考.

1 題目與解法

分析本題以二次函數(shù)為載體，考查最值問題.我們知道最值的常見處理方法有：數(shù)形結(jié)合、線性規(guī)劃、基本不等式、單調(diào)性等.對于本題這類變量較多的最值形式,一般可先將變量減少后進(jìn)行思考與解答.該如何替換變量呢？不妨先考慮從條件出發(fā)直接替換變量.

解法1根據(jù)條件可得a>0,Δ≤0，則

評注此解法巧妙地將變量b進(jìn)行替換，通過換元，結(jié)合基本不等式進(jìn)行最值計算，但需注意等號是否能夠取到.

解法2由已知得a>0，Δ≤0,則

因此

令b=a+t(t>0),得

評注此法有效地將變量c進(jìn)行替換，達(dá)到消元的目的，進(jìn)而可以使用基本不等式求解最值.解法2也可不引進(jìn)變量t進(jìn)行求解:

當(dāng)且僅當(dāng)b=c=4a時,取到等號.

上述2種解法從條件出發(fā)進(jìn)行變量替換，筆者總感覺從不等式去替換有點不放心，能否考慮從等式出發(fā)進(jìn)行替換呢？譬如從所求式子出發(fā)進(jìn)行變量替換行得通嗎？由此得出解法3.

c=t(b-a)-(b+a).

由Δ=b2-4ac≥0，可將c=t(b-a)-(b+a)代入得

余下同解法2.

評注此法通過對所求式子賦予變量，利用等式將變量c進(jìn)行替換，從而參與題目的解答.與解法1、解法2相比，差別在于解法1、解法2通過條件用不等式進(jìn)行變量替換，而解法3是通過所求等式進(jìn)行變量替換.

巧解由已知所有的函數(shù)值均非負(fù)，可得f(-2)≥0，即

4a-2b+c≥0,a+b+c≥3(b-a).

因為b>a，所以

反思對學(xué)生而言，存在幾種困惑與錯誤：(1)變量如此之多該如何處理；(2)替換之后該如何轉(zhuǎn)化到運用基本不等式進(jìn)行求解；(3)誤把“Δ=b2-4ac≤0”變成“Δ=b2-4ac=0”進(jìn)行求解；(4)沒有計算等式成立的條件.

2 題目再挖掘

本題求解的關(guān)鍵是正確理解題意，細(xì)致剖析，運用轉(zhuǎn)化方法，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解.有了上述解答，我們可編制下列一些題目.

注本題只需將上述解法中的“Δ≤0”改成“Δ=0”即可.

注本題是對例題的逆向思考，探索結(jié)論是否成立，具有較強(qiáng)的綜合性.

平時只要我們能用心去思考問題，總能發(fā)現(xiàn)一些可挖掘的元素，進(jìn)而提高對知識的正確掌握與理解.作為重要的初等函數(shù)之一的二次函數(shù)，許多問題可化歸為二次函數(shù)來處理，尤其是對3個二次(二次函數(shù)、二次方程、二次不等式)的正確掌握顯得格外重要.像2009年、2010年浙江卷的高考壓軸題均為函數(shù)類試題，而且均可轉(zhuǎn)化為二次方程進(jìn)行解答，值得深思.