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(楊浦區(qū)彰武路同濟新村224號甲 上海 200092)

認識橢圓上的4個特殊點

●姜坤崇

(楊浦區(qū)彰武路同濟新村224號甲 上海 200092)

圖1

(1)S△PAB=S△PCD;

(2)|PA|·|PB|=|PC|·|PD|;

(3)∠APB=∠CPD.

(2)由題意可得

|PA|2·|PB|2=

同理可得

于是

|PA|2·|PB|2=|PC|2·|PD|2,

得

|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

(3)由第(1)，(2)小題的結論知

S△PAB=S△PCD,|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

又

得

sin∠APB=sin∠CPD,

從而

∠APB=∠CPD.

S△PEF=S△ACE+S△BDF.

又

得

S=S△PCD.

兩邊同減去梯形EFDC的面積即得

S△PEF=S△ACE+S△BDF.

圖2

圖3

又

于是

|PF1|·|PF2|=|PO|2,

即|PF1|,|PO|,|PF2|成等比數(shù)列.

性質4如圖4，A是橢圓E在第一象限的一段弧上的動點，A在x軸、y軸上的射影分別為P,Q,則當點A運動到點P的位置時，矩形OPAQ(O為中心)的面積最大.

證明設A(x0,y0)(x0>0,y0>0)，矩形OPAQ的面積為S,則

由基本不等式得

圖4

圖5

性質5如圖5，點A是橢圓E在第一象限的一段弧上的一點，B(a,0),C(0,b)是E的2個頂點，則當A在點P的位置時，四邊形OBAC(O為中心)的面積最大.

證明設A(x0,y0)(x0>0,y0>0)，四邊形OBAC的面積為S,則

連結AO，則

性質6如圖6，設A(a,0),B(0,b)是橢圓E的2個頂點，E在P處的切線l與x軸、y軸的交點分別為C,D,則AB∥CD,|PC|=|PD|.

AB∥CD.

圖6

圖7

性質7如圖7，A是橢圓E在第一象限的一段弧上的一點，橢圓E在點A處的切線l和x軸、y軸的交點分別為B,C,則當點A在點P的位置時，△BOC(O為中心)的面積最小.

證明設A(x0,y0)(x0>0,y0>0)，△BOC的面積為S,則

切線l的方程為

當且僅當bx0=ay0時等號成立,從而

于是