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(柯橋中學(xué) 浙江紹興 312030)

穩(wěn)中有變亮點(diǎn)紛呈
——2011年數(shù)學(xué)高考解析幾何試題評(píng)析

●張惠民

(柯橋中學(xué) 浙江紹興 312030)

1 教學(xué)要求與考查要求

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容，其核心是用代數(shù)的方法研究解決幾何問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法.這類試題主要考查運(yùn)算求解能力和推理思辨能力.題型一般為一個(gè)選擇題、一個(gè)填空題、一個(gè)解答題，分值在20分左右.

2 命題特點(diǎn)和知識(shí)類型

2011年的數(shù)學(xué)高考試題有3個(gè)比較明顯的特點(diǎn)：一是直線與雙曲線的位置關(guān)系繼續(xù)淡化；二是對(duì)設(shè)參、消參的考查進(jìn)一步強(qiáng)化；三是探究在什么條件下使某個(gè)對(duì)象為定值的雙向探究問(wèn)題有明顯降溫趨勢(shì).選擇題和填空題以考查基本知識(shí)和基本技能為主，但穩(wěn)中有變，例如，浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題是一個(gè)小巧靈活的好題.解答題通常集中在直線和圓、橢圓及拋物線的位置關(guān)系方面命制，第(2)小題大多以軌跡問(wèn)題、最值問(wèn)題、存在性問(wèn)題、定值問(wèn)題、參數(shù)求解的形式出現(xiàn).

3 亮點(diǎn)掃描

亮點(diǎn)1情理之中 意料之外

(2011年江西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解由已知得

整理得

又

2式比較得

從而

因此

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

設(shè)A(x1,y1)，C(x2,y2),則直線AC的方程為

y1=-5y2，

從而

式(1)2÷式(2),得

利用韋達(dá)定理可得

解得

設(shè)點(diǎn)A的極角為θ，則點(diǎn)C的極角為π+θ.因?yàn)棣袮=5ρC，所以

解法3設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),由橢圓定義知

所以

由橢圓第二定義知

從而

(3)

由式(3),式(4)解得x1=0，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,±1).

亮點(diǎn)22個(gè)方程消2個(gè)參數(shù)成為一道風(fēng)景線

(2011年江西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析由已知得

又

(6)

求離心率常規(guī)的方法往往是先得到關(guān)于a,b,c的關(guān)系式，再消去b然后解得e．

整理得

(2011年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖1

式(7)×2-式(8)，得點(diǎn)P的軌跡方程為

2x-y-1=0.

亮點(diǎn)3結(jié)論即證即用,考查思維的靈活性

(2)設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，求|OM|·|PQ|的最大值.

(2011年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

(2+3k2)x2+6kmx+3(m2-2)=0.

設(shè)點(diǎn)O到直線l的距離為d，則

化簡(jiǎn)得

3k2+2=2m2,

因此

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，易驗(yàn)證

也成立.

(2)因?yàn)镸為線段PQ的中點(diǎn)，而

2|OM|·|PQ|,

評(píng)注借用平面幾何中的結(jié)論避免了代數(shù)運(yùn)算的復(fù)雜性，而結(jié)論的即證即用使最值求解的過(guò)程得以優(yōu)化.

(3)假設(shè)橢圓C上存在點(diǎn)D(x1,y2)，E(x2,y2)，G(x3,y3)，使得

由第(1)小題知

從而

同理可得

評(píng)注已證結(jié)論的再一次應(yīng)用無(wú)疑使該題的特色更趨顯明，這也成為2011年眾多解析幾何試題中一道好題.

4 復(fù)習(xí)建議

4.1 有創(chuàng)意地呈現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能

2011年重慶市數(shù)學(xué)高考理科試題第20題第(2)小題中的部分表述為：“是否存在2個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，使得|PF1|+|PF2|為定值.”從表面上看，該小題是一個(gè)雙向探究題，2個(gè)定點(diǎn)和1個(gè)定值都需要探究，但其本質(zhì)實(shí)為求橢圓的方程.高考復(fù)習(xí)不該是基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的簡(jiǎn)單多次重現(xiàn)，有創(chuàng)意地呈現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，無(wú)疑有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高復(fù)習(xí)效率.2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題，其中關(guān)健性的一步是得到k1,k2是方程

的2個(gè)根，若由此適時(shí)提出“同一法”的思想，則能提高學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題的理解層次和記憶深度.

4.2 重視“點(diǎn)參數(shù)”的應(yīng)用

4.3 重視軌跡求解方法的拓展

設(shè)點(diǎn)、列式、代入、化簡(jiǎn)、檢驗(yàn)是軌跡求解的最基本方法.例如,2011年陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題、2011年廣東省數(shù)學(xué)高考理科試題第19題、2011年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題第18題均用到此法.而交軌法、參數(shù)法、定義法等在軌跡求解中的應(yīng)用在現(xiàn)行教材中沒(méi)有系統(tǒng)講述，需要拓展補(bǔ)充.如2011年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題主要考查的就是用參數(shù)法求軌跡,且有相當(dāng)?shù)碾y度.

4.4 提高字母演算的準(zhǔn)確性

解析幾何中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力固然重要，但是繁雜、冗長(zhǎng)的字母演算是學(xué)好解析幾何的基礎(chǔ)和必備功課.