婁玉冰，王東署

(鄭州大學(xué) 電氣工程學(xué)院 河南 鄭州 450001)

基于最優(yōu)激勵(lì)軌跡的RRR機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識

婁玉冰，王東署

(鄭州大學(xué) 電氣工程學(xué)院 河南 鄭州 450001)

機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)的精確辨識是對機(jī)器人進(jìn)行精確控制的前提，參數(shù)辨識的精度與所采用的標(biāo)定軌跡直接相關(guān).以RRR機(jī)械臂為研究對象，建立該機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型.在動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識時(shí)，選擇有窮傅里葉級數(shù)做為最優(yōu)激勵(lì)軌跡的表達(dá)式，通過最小化退化矩陣的條件數(shù)來獲得最優(yōu)激勵(lì)軌跡中的參數(shù)，同時(shí)把各關(guān)節(jié)位置、速度和加速度的物理約束與激勵(lì)軌跡結(jié)合起來，使獲得的最優(yōu)激勵(lì)軌跡在物理意義上是可行的.通過在激勵(lì)軌跡中指定頻率范圍來避免激勵(lì)機(jī)器人的柔性特性，利用最小二乘法來辨識動(dòng)力學(xué)參數(shù).最后仿真驗(yàn)證了該辨識方法的有效性.

最優(yōu)激勵(lì)軌跡； 參數(shù)辨識； RRR機(jī)械臂； 條件數(shù)

0 引言

由于機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識的精度與目標(biāo)軌跡直接相關(guān)，所以標(biāo)定時(shí)必須首先確定標(biāo)定軌跡.文[1]首先提出了最優(yōu)激勵(lì)軌跡(optimal exciting trajectory)的概念，即存在外界擾動(dòng)的情況下，能對動(dòng)力學(xué)參數(shù)進(jìn)行可靠、充分、快速和精確辨識的軌跡，并通過最小化“信息矩陣”的條件數(shù)來獲得最優(yōu)激勵(lì)軌跡.該方法的缺點(diǎn)在于：優(yōu)化過程中軌跡約束難以確定且計(jì)算量較大，獲得的激勵(lì)軌跡是點(diǎn)陣而非連續(xù)曲線；不能通過指定激勵(lì)軌跡的頻率來避免激勵(lì)機(jī)器人的柔性特性；沒有對要搜索的軌跡空間進(jìn)行約束，可能產(chǎn)生不充分的優(yōu)化過程，即獲得的解可能是局部最優(yōu)解.此后，在動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識中，許多學(xué)者開始研究最優(yōu)激勵(lì)軌跡[2-5]，但都是在文[1]的基礎(chǔ)上進(jìn)行了一些改進(jìn).

文[6-9]基于多維腕力傳感器、基座力傳感器的輸出信號等方法對機(jī)器人連桿動(dòng)力學(xué)參數(shù)進(jìn)行了辨識.文[10]用一種改進(jìn)的遺傳算法對體操機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)參數(shù)進(jìn)行辨識, 這種方法只需將機(jī)器人自由運(yùn)動(dòng)和仿真的響應(yīng)曲線進(jìn)行比較,就能精確辨識其動(dòng)力學(xué)參數(shù).文[11]用D-H方法對機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，為建立機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型奠定了基礎(chǔ).文[12]運(yùn)用實(shí)驗(yàn)識別方法得到機(jī)器人模型，并用最大似然估計(jì)法得到參數(shù)的估計(jì)值.文[13]提出一種基于六維力/力矩傳感器的模塊化機(jī)器人慣性參數(shù)辨識的方法.文獻(xiàn)[6-13]對機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識進(jìn)行了卓有成效的探索，但都沒有將動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識與最優(yōu)激勵(lì)軌跡結(jié)合起來，參數(shù)辨識結(jié)果不夠精確.

本文以三自由度RRR機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識為例，采用有窮傅里葉級數(shù)作為機(jī)械臂各關(guān)節(jié)最優(yōu)激勵(lì)軌跡的表達(dá)式，通過最小化退化矩陣的條件數(shù)獲得各激勵(lì)軌跡中的參數(shù)，并把激勵(lì)軌跡與各關(guān)節(jié)的位置、速度和加速度結(jié)合起來，確保所獲得的最優(yōu)激勵(lì)軌跡在物理意義上可行，通過最小二乘法來辨識各關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)參數(shù).

1 RRR機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型

圖1為一個(gè)典型的三自由度RRR機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，表1中數(shù)據(jù)為該機(jī)械臂的D-H參數(shù)值：扭轉(zhuǎn)角αi，連桿長度ai，角位移qi，連桿偏移量di.

圖1 RRR機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型Fig.1 Kinematic modle of an RRR robotic arm

表1 RRR機(jī)械臂的DH參數(shù)

(1)

其中q為關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)矢量,

q=[q1q2q3]T.

(2)

(3)

機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型可由拉格朗日-歐拉方法得到，模型的標(biāo)準(zhǔn)形式為

(4)

(5)

ijr=[xjyjzj1]T.

(6)

動(dòng)力學(xué)模型(4)可以用基本參數(shù)集(base parameter set, BPS)的元素[14]來線性表示，這些元素可由慣性參數(shù)非線性組合得到，動(dòng)力學(xué)模型可以轉(zhuǎn)化為線性形式,

(7)

R∈R3×15是退化矩陣，p∈R15×1是基本參數(shù)集組成的矢量.

Φ·p=τ，

(8)

其中,

(9)

2 最優(yōu)激勵(lì)軌跡的設(shè)計(jì)

確定各關(guān)節(jié)最優(yōu)激勵(lì)軌跡時(shí)，考慮到標(biāo)定過程中存在測量噪聲、外界擾動(dòng)和隨機(jī)誤差，希望每個(gè)關(guān)節(jié)的激勵(lì)軌跡最好滿足下列指標(biāo)：采用周期函數(shù)，可以連續(xù)重復(fù)辨識試驗(yàn)，通過對測量的時(shí)域數(shù)據(jù)進(jìn)行平均化處理提高試驗(yàn)數(shù)據(jù)的信噪比；可以通過設(shè)置頻率范圍來避免機(jī)器人的柔性效應(yīng)；計(jì)算量小，能實(shí)現(xiàn)快速的參數(shù)辨識.有窮的傅里葉級數(shù)可以很好地滿足以上條件，所以采用式(10)來表示各關(guān)節(jié)的最優(yōu)激勵(lì)軌跡.

(10)

3 激勵(lì)軌跡參數(shù)的優(yōu)化指標(biāo)

由于矩陣條件數(shù)的大小是衡量矩陣“好”或“壞”的標(biāo)志，條件數(shù)大到一定程度時(shí)，方程組的性態(tài)就會(huì)發(fā)生變化，變成病態(tài)方程，小的誤差就可能會(huì)引起解的失真；條件數(shù)最小(接近1)時(shí)，方程組的狀態(tài)最好[16].因此各關(guān)節(jié)激勵(lì)軌跡中的參數(shù)ai,j和bi,j可通過最小化退化矩陣(9)的條件數(shù)獲得.

優(yōu)化后所獲得的各關(guān)節(jié)的最優(yōu)激勵(lì)軌跡如圖2所示，此時(shí)Φ的條件數(shù)最小達(dá)到1.572 0.與該最優(yōu)激勵(lì)軌跡對應(yīng)的τi如圖3所示(i=1,2,3).

圖2 最優(yōu)激勵(lì)軌跡Fig.2 The exciting trajectories for each joint

圖3 最優(yōu)激勵(lì)軌跡對應(yīng)的各關(guān)節(jié)的輸入力矩Fig.3 The torques for each joint

4 參數(shù)的線性最小二乘辨識及驗(yàn)證

由于待辨識參數(shù)是非時(shí)變的，可以用最小二乘法進(jìn)行估計(jì).在式(8)中通過退化矩陣Φ的廣義逆矩陣Φ*即可得到待辨識的參數(shù)矢量，

Pls=Φ*τ=(ΦTΦ)-1ΦTτ.

(11)

從關(guān)于激勵(lì)軌跡參數(shù)的優(yōu)化指標(biāo)的論述中可以看到，Φ的條件數(shù)的大小直接衡量了Φ與τ的擾動(dòng)對最小二乘辨識結(jié)果Pls的影響的大小.辨識結(jié)果如表2所示.

為驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識結(jié)果的精度，在機(jī)器人工作空間內(nèi)選取一組檢驗(yàn)軌跡如圖4所示，其中，q1(t)=2sint+cos 10t，q2(t)=3cost，q3(t)=sin 2t.在對應(yīng)軌跡上運(yùn)動(dòng)時(shí)，各關(guān)節(jié)對應(yīng)的實(shí)際力矩與理論力矩對比如圖5所示.從圖5中可以看到,關(guān)節(jié)1力矩誤差不超過1.5%，關(guān)節(jié)2不超過2.1%，關(guān)節(jié)3不超過2.3%，表明動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識結(jié)果的精度較高.

表2 參數(shù)辨識結(jié)果

圖4 驗(yàn)證軌跡Fig.4 The test trajectories for each joint

圖5 各關(guān)節(jié)實(shí)際力矩與理論力矩的對比Fig.5 Compares of the torques for each joint

5 結(jié)論

本文以RRR機(jī)械臂為研究對象，建立了其動(dòng)力學(xué)模型.參數(shù)辨識時(shí)，以有窮傅里葉級數(shù)作為各關(guān)節(jié)最優(yōu)激勵(lì)軌跡的表達(dá)式，通過最小化退化矩陣的條件數(shù)作為確定各關(guān)節(jié)最優(yōu)激勵(lì)軌跡參數(shù)的性能指標(biāo)，并把各關(guān)節(jié)位置、速度及加速度的物理約束與激勵(lì)軌跡結(jié)合起來，使獲得的激勵(lì)軌跡在物理意義上是可行的.通過指定激勵(lì)頻率來避免機(jī)器人高頻時(shí)出現(xiàn)的柔性效應(yīng).最后通過仿真驗(yàn)證了該辨識方法的有效性.

[1] Armstrong B.On finding exciting trajectories for identification experiments involving systems with non-linear dynamics [J].The International Journal of Robotics Research, 1989, 6(8):28-48.

[2] Gautier M, Khalil W.Exciting trajectories for the identification of base initial parameters of robots [J].The International Journal or Robotic Research, 1992, 11(4):362-375.

[3] Swevers J, Ganseman C, Tukel D B, et al.Optimal robot excitation and identification [J].IEEE Transactions on Robotics and Automation,1997, 13(5):730-740.

[4] Galafiore G, Indri M, Bona B.Robot dynamic calibration:Optimal excitation trajectories and experimental parameter estimation [J].Journal of Robotic Systems, 2001,18(2):55-68.

[5] Dragan K, Bram D J.Modeling and identification for high-performance robot control:An RRR-robotic arm case study [J].IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2004, 12(6):904-918.

[6] 陳恩偉.機(jī)器人動(dòng)態(tài)特性及動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識研究[D].合肥：合肥工業(yè)大學(xué)，2005.

[7] 劉正士，陳恩偉，干方建.機(jī)器人慣性參數(shù)辨識的若干方法及進(jìn)展[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，28(9)：998-1007.

[8] 于興永，孫蕾，陳衛(wèi)東，等.基于基座力傳感器機(jī)器人連桿慣性參數(shù)識別[J].機(jī)械傳動(dòng)，2006，30(6)：17-22.

[9] 于興永，干方建，孫蕾.利用牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)識別機(jī)器人連桿慣性參數(shù)[J].工具技術(shù)，2006，40(8)：15-18.

[10] 李祖樞,張華,古建功,等.3關(guān)節(jié)單杠體操機(jī)器人的的動(dòng)動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識[J].控制理論與應(yīng)用，2008,25(2)：242-246.

[11] 張常喜，劉廣瑞.RV-M1機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2005，37(2)：73-76.

[12] 侯揚(yáng)毅，房海蓉.區(qū)間分析理論在機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)識別中的應(yīng)用[J].機(jī)械，2008,35(4)：64-66.

[13] 黃用華，余躍慶，蘇麗穎，等.模塊化機(jī)器人的慣性參數(shù)辨識研究[J].微計(jì)算機(jī)信息，2007,23(1/2)：266-268.

[14] Mayeda H, Yoshida K, Osuka K.Base parameters of manipulator dynamic models[J].IEEE Trans Robot Autom, 1990, 6(2):312-321.

[15] Hensen R H A, Angelis G Z,Molengraft M J G,et al.Grey-box modeling of friction:An experimental case study[J].Eur J Control, 2000,6(3):258-267.

[16] 吳勃英.數(shù)值分析原理[M].北京：科學(xué)出版社，2003：68-73.

DynamicParameterIdentificationofRRR-RoboticArmBasedonOptimalExcitingTrajectory

LOU Yu-bing, WANG Dong-shu

(SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity,Zhengzhou450001,China)

Dynamic parameter identification of robot was a precondition for the accurate control of robot,and its precision was directly related to the trajectory chosen.The model of RRR robot dynamics was established.A finite Fourier series was chosen to be the exciting trajectory for each joint.Minimizing condition number of the regression matrix was chosen to be performance index of the exciting trajectory.The exciting trajectory was combined with the limits for positions, speeds and accelerations of each joint.The frequency can be restricted within a permissible bandwidth to avoid the flexibilities.The dynamic parameters were identified on the trajectories with LSM.Finally, the validity of the identification method was proved by the simulation results.

optimal exciting trajectory； parameters identification； RRR-robotic arm； condition number

TP 241

A

1671-6841(2011)03-0108-05

2010-04-21

河南省教育廳自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目，編號2008A510015，2010B510019.

婁玉冰(1983-)，女，碩士研究生，主要從事機(jī)器人控制技術(shù)研究，E-mail:louyub@163.com；通訊作者：王東署(1973-)，男，講師，博士，主要從事機(jī)器人標(biāo)定與智能控制研究，E-mail:wangdongshu@zzu.edu.cn.