孫偉玲，陳建兵，李 杰

（1.同濟大學 土木工程學院，上海200092；2.同濟大學 土木工程防災(zāi)國家重點實驗室，上海200092）

過去50年來，隨機動力學研究取得了重要的成就，并在科學與工程的諸多領(lǐng)域中獲得了日益廣泛的重視與應(yīng)用［1－2］.如何根據(jù)隨機過程的概率信息（如有限維聯(lián)合分布、時域統(tǒng)計矩或功率譜密度函數(shù)等）生成隨機過程的樣本，是隨機動力學研究中的重要問題.國內(nèi)外眾多學者對此進行了卓有成效的研究，發(fā)展了諸如譜表示方法［3］、Karhunen－Loève分解［4－5］、雙重正交分解方法［6］和取樣定理方法［7］等不同途徑，其中譜表示方法獲得了較為廣泛的應(yīng)用.然而，由于在某種意義上采用了無窮級數(shù)，當截取有限項近似時，所有這些方法獲得隨機過程的概率信息只是目標概率信息的近似表達.在應(yīng)用較廣的譜表示方法中，通常需要引入數(shù)百個隨機變量，這大大增加了隨機動力學問題求解的難度.

事實上，早在1969 年，Goto和Toki就提出了一類頻率和相位同時具有隨機性的譜表示方法，由此獲得的隨機過程的功率譜密度函數(shù)精確地等于目標功率譜密度函數(shù)［8］.1971年，Shinozuka對這一方法進行了更為詳細的研究［9］.然而，由于他們關(guān)心的重點是隨機取樣即隨機過程的樣本模擬，因此，對于樣本集合的精確概率信息并不關(guān)心.有鑒于此，從取樣頻率的優(yōu)化選擇出發(fā)［10］，陳建兵和李杰獨立地提出了一類隨機諧和函數(shù)［11］，其中的諧和分量頻率分別在經(jīng)過剖分的子區(qū)間內(nèi)隨機分布.研究表明：利用這類函數(shù)，通過有限項數(shù)（通常不超過10 項）的分解，即可反映目標隨機過程的概率分布特性，從而極大地降低了隨機函數(shù)中隨機變量的數(shù)目.受此啟發(fā)，本文提出了一類新的隨機諧和函數(shù)模型（其分量幅值、頻率與相位均為隨機變量），證明了當隨機頻率與相位服從獨立均勻分布而幅值由頻率與目標功率譜密度決定時，無論隨機諧和函數(shù)分量的個數(shù)是多少，該隨機過程的功率譜密度函數(shù)均精確地等于目標功率譜密度函數(shù).文中研究了此類隨機函數(shù)的漸進正態(tài)性，并詳細研究了相應(yīng)隨機過程分布的性質(zhì).最后，以數(shù)值實例進行了驗證.為明確計，本文將文獻［11］中的模型稱為第一類隨機諧和函數(shù)，而將本文研究的模型稱為隨機過程的第二類隨機諧和函數(shù)表達.與第一類隨機諧和函數(shù)相比，由于第二類隨機諧和函數(shù)頻率為均勻分布，應(yīng)用更為方便.

1 第二類隨機諧和函數(shù)

考察隨機諧和函數(shù)YN（t）

式中：A（ωi），ωi和φi分別為第i個諧和分量的幅

當ωi和φi均為隨機變量時，YN（t）是一個隨機過程.易知，若φi服從（0，2π］的獨立均勻分布，則YN（t）的自相關(guān)函數(shù)為

這里E［·］表示取數(shù)學期望.而RYN（τ）的Fourier變換則給出YN（t）的功率譜密度函數(shù)為

設(shè)Y（t），－∞＜t＜∞是一個平穩(wěn)隨機過程，其相關(guān)函數(shù)為RY（τ），－∞＜τ＜∞，功率譜密度函數(shù)為SY（ω），－ωu≤ω＜ωu，它們構(gòu)成一個Fourier變換對，滿足維納－辛欽關(guān)系.記Y（t）的單邊功率譜為GY（ω），有GY（ω）＝2SY（ω），0 ≤ω≤ωu.

對式（1）所示隨機諧和函數(shù)，可以證明存在以下定理.

定理1 若式（1）隨機諧和函數(shù)過程YN（t）中的A（ωi），ωi和φi分別滿足：

（Ⅰ）φi，i＝1，2，…，N為相互獨立的隨機變量，服從（0，2π］的均勻分布；

（Ⅱ）ωi，i＝1，2，…，N為相互獨立的隨機變量，服從區(qū)間的均勻分布，概率密度函數(shù)為

（Ⅲ）A（ωi），i＝1，2，…，N為隨機變量ωi的函數(shù)，且

則由式（1）表達的隨機過程YN（t）的功率譜密度函數(shù)為SY（ω）.

證明YN（t）的相關(guān)函數(shù)由式（2）給出，將式（4），（5）代入，有

因而功率譜密度函數(shù)為

證畢.

定理1表明：采用形如式（1）具有隨機相位和隨機頻率的諧和分量合成的隨機過程，當相位角為（0，2π］之間均勻分布的獨立隨機變量，諧和分量頻率服從相應(yīng)頻率區(qū)間的均勻分布，幅值為關(guān)于隨機頻率的函數(shù)時，則該隨機過程的功率譜密度函數(shù)與目標功率譜密度函數(shù)完全相同.換而言之，式（1）中的隨機過程是精確的譜表達形式，為與文獻［11］中模型相區(qū)別，這里稱之為第二類隨機諧和函數(shù)表達.同時，由于A（ωi）是ωi的函數(shù)，因此，在式（1）中，基本的隨機變量是ωi與φi，而A（ωi）則可稱之為關(guān)聯(lián)隨機變量.

2 第二類隨機諧和過程的基本性質(zhì)

2.1 平穩(wěn)性和漸進正態(tài)性

易知，YN（t）的平均值μYN＝E［YN（t）］＝0，而相關(guān)函數(shù)由式（2）給出，僅依賴于時間差τ而與時間t無關(guān)，因此YN（t）是一個零均值2階平穩(wěn)隨機過程.

利用Laning－Battin于1956年提出的雙變量中心極限定理［12］，證明若滿足定理1的條件，則當N→∞時，式（1）中的隨機過程YN（t）任意n個時間點的截口隨機變量組成的隨機向量（YN（t1），YN（t2），…，YN（tn））趨向于多維聯(lián)合正態(tài)分布.

對于式（1）定義的隨機過程YN（t），定義

令Z1，Z2，…，ZN是N個獨立雙變量隨機向量Zi＝（Xi，Yi），i＝1，2，…，N，其1階矩與2階矩存在且已知.定義向量和為

Laning－Battin 定 理 指 出［12］：當N→∞時，Z＝（X，Y）趨向于雙變量正態(tài)分布的充分必要條件是

事實上由于E（Xi）＝0，E（Yi）＝0，有

將式（4），（5）代入式（11），有

類似地可以證明式（10）中第2式.根據(jù)Laning－Battin定理，可知Z＝（YN（tX），YN（tY））是漸進正態(tài)的.根據(jù)多維正態(tài)隨機變量的性質(zhì)，從上述結(jié)論立即可以推廣到，當N→∞時任意n個時刻隨機向量（YN（t1），YN（t2），…，YN（tn））均為漸進正態(tài)的.

2.2 截口概率密度函數(shù)

2.2.1 偏度與峰度系數(shù)

為了進一步了解第二類隨機諧和函數(shù)YN（t）的性質(zhì)，以下考察YN（t）的截口隨機變量的概率密度函數(shù)pYN（y，t）.為此，首先計算YN（t）的前4階中心矩.顯然均值μYN＝E［YN（t）］＝0，標準差σ2YN＝階中心矩是

而4階中心矩為

為了方便，這里記A（ωi）為Ai.由此可知，偏度系數(shù)為

而峰度系數(shù)為

對于第二類隨機諧和函數(shù)，將式（4），（5）代入式（17），有

當取Δω1＝Δω2＝…＝ΔωN＝Δω＝ωu／N時，則有

則

這里λ是一個不依賴于N的常數(shù)，僅與功率譜密度函數(shù)的形狀有關(guān).由Cauchy不等式，有

將式（22）代入式（20），可知λ≥1.當GY（ω）＝G0是一個常數(shù)時，λ＝1.

對于常用的地震動功率譜模型，一般1 ≤λ≤2.以Kanai－Tajimi 譜 為 例，此 時，功 率 譜 密 度 函數(shù)為［13］

式中：ζ為場地阻尼比；ω0為場地卓越頻率；S0為高斯白噪聲譜密度.根據(jù)文獻［14］，選取硬土場地的參數(shù)為ω0＝16.9rad·s－1，β＝0.94，截止頻率ωu＝100rad·s－1，代入式（20）可知λ＝1.63.

而對Clough－Penzien譜［15］

根據(jù)文獻［16］，取中硬場地土參數(shù)ω1＝17.95 rad·s－1，ζ1＝ζ2＝0.72，ω2＝0.1ω1.分析中取截止頻率ωu＝100rad·s－1，則λ＝1.95.

2.2.2 Pearson分布函數(shù)

采用Pearson分布函數(shù)族［17］，可獲得pYN（y，t）的表達式

為考察pYN（y，t）趨于正態(tài)分布的速率，不妨分析σ2＝1的情況.這時根據(jù)式（26），將各階矩代入，可知

其中C為滿足概率相容條件的常數(shù)

將（4N－5λ）／λ取整，則利用三角函數(shù)的積分公式可得

根據(jù)Wallis公式［18］

可知

采用相對熵［19］來比較2個概率密度函數(shù)相近似的程度.記標準正態(tài)分布概率密度函數(shù)為φ（y）＝，則pYN（y），φ（y）的相對熵為

為避免奇異問題，當pYN（y）＝0時，可以pYN（y）＝ε替代，ε可取一小量，例如10－8.

當2個概率密度函數(shù)完全相同時，相對熵為零.當2個概率密度函數(shù)相差越大時，相對熵絕對值越大.將式（27）代入式（32），并將ln（1－λy2／（4N－2λ））的Taylor展開式代入，可得

顯 然，隨 著N→∞，有H（pYN，φ）＝

圖1給出式（27）參數(shù)λ取值為1.6和1.9時隨機頻率諧波分量不同個數(shù)時的截口概率密度函數(shù)與標準正態(tài)分布概率密度函數(shù)的對比，圖2為上述分布的相對熵.從圖1可以直觀地看到，隨著N的增大，YN（t）的1維概率密度函數(shù)pYN（y，t）很快趨向于標準正態(tài)分布，而其相對熵則很快地趨近于零.比較圖1a，b可以發(fā)現(xiàn)，隨機頻率諧波分量N相同時，參數(shù)λ越接近1則分布越接近于正態(tài)分布.對于常用地震動功率譜模型，一般1≤λ≤2，所以隨機頻率諧波分量N相同時，由不同的功率譜密度函數(shù)生成的第二類隨機諧和函數(shù)過程YN（t），其截口概率密度函數(shù)相差不大.

圖1 1維概率密度函數(shù)與標準正態(tài)分布Fig.1 One－dimensional probability density function and standard normal distribution

2.3 隨機諧和函數(shù)的項數(shù)

當N＝1時，YN（t）退化為單一隨機頻率諧和過程Y1（t）＝A（ω）cos（ωt＋φ）.根據(jù)定理1，當φ為（0，2π］之間均勻分布的隨機變量，ω服從［0，ωu］均勻分布的功率譜密度函數(shù)精確地等于目標功率譜密度函數(shù).在此情況下，僅用1個隨機諧和分量，即可完全把握SY（ω）所含有的概率信息.

圖2 1維分布與標準正態(tài)分布的相對熵Fig.2 Relative entropy between one－dimensional probability density function and standard normal distribution

雖然僅有1項可完全表征功率譜密度函數(shù)，但從1維概率密度函數(shù)來看，若需要逼近正態(tài)分布，則需項數(shù)N＞1.按照式（32）定義的相對熵，可以衡量目標概率密度與標準正態(tài)分布之間的接近程度.由圖2可知，若取相對熵，則當λ＝1.6時，N＞7即可；當λ＝1.9時，N＞8即可.

3 數(shù)值算例

考慮功率譜密度函數(shù)為式（24）所示Clough－Penzien譜的隨機過程，參數(shù)取值依照2.2.1節(jié).根據(jù)上述原理，圖3是10個隨機頻率與1 000個確定性頻率諧和分量的典型地震動時程，圖4是10個隨機頻率與1 000個確定性頻率諧和分量生成地震動的功率譜密度函數(shù)同目標譜的比較.從直觀上看，二者的地震動時程沒有明顯的定性差別，2種方法生成地震動的功率譜密度函數(shù)同目標功率譜密度函數(shù)都十分相近，且10個隨機頻率生成的地震動與目標功率譜更為一致.圖5是10個隨機諧和分量與經(jīng)典譜表達中取1 000個確定性頻率諧和分量時合成隨機過程的自相關(guān)函數(shù)，可見二者吻合良好.

圖6給出一個9層結(jié)構(gòu)在隨機地震動作用下的線性與非線性層間位移和內(nèi)力響應(yīng)的標準差過程.圖7是典型樣本的線性與非線性恢復(fù)力曲線過程，表明結(jié)構(gòu)進入了嚴重的非線性階段.從圖6可見，無論是線性還是非線性情況，10個隨機諧和分量合成的隨機地震動作用下，結(jié)構(gòu)內(nèi)力和位移響應(yīng)標準差均具有很高的精度.結(jié)合概率密度演化方法，可進一步深入進行非線性結(jié)構(gòu)響應(yīng)及抗震可靠度的概率密度演化分析［2］.限于本文主題和篇幅，在此不再贅述.

圖6 結(jié)構(gòu)響應(yīng)標準差Fig.6 Standard deviation of structure response

圖7 典型線性與非線性恢復(fù)力曲線Fig.7 Typical hysteresis curves for linear and nonliear structures

4 結(jié)論

本文提出的隨機諧和函數(shù)具有漸進正態(tài)性，可以以較少的隨機諧和分量合成具有較豐富概率信息的隨機過程.研究表明：當隨機頻率與相位服從獨立均勻分布而幅值由頻率與目標功率譜密度決定時，無論隨機諧和函數(shù)的分量數(shù)目是多少，相應(yīng)隨機過程的功率譜密度函數(shù)均精確地等于目標功率譜密度函數(shù).同時，由于這類隨機諧和函數(shù)中頻率為均勻分布，因此更為方便應(yīng)用.文中以多自由度體系在平穩(wěn)隨機過程激勵下的響應(yīng)分析為例，驗證了所建議隨機諧和函數(shù)用于隨機過程表達的有效性.

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