鄭秋亞，左大海，劉三陽

（1西安電子科技大學(xué)理學(xué)院，西安 710071；2長安大學(xué)理學(xué)院，西安 710064）

0 引言

在雷諾平均 Navier－Stokes（RANS）方程計(jì)算中，計(jì)算結(jié)果的精度不僅與所用格式的精度有關(guān)，而且與湍流模型對(duì)流動(dòng)的模擬精度有很大的關(guān)系。目前工程中應(yīng)用最為廣泛的湍流模型主要包括：Spalart－Allmaras（SA）一 方 程 模 型[1]，Wilcox’s k－ω[2]（Wilcox）兩方程模型和 Menter’s SST[3]（SST）兩方程模型。長期以來，人們?cè)诠こ虘?yīng)用中發(fā)現(xiàn)不同湍流模型表現(xiàn)出了不同的特性，因此研究湍流模型對(duì)流動(dòng)的模擬精度，對(duì)CFD模型的選取和CFD計(jì)算精度的提高有著重要的意義。

文中以O(shè)NERA M6機(jī)翼和DLR－F6翼身組合體[4]為例，采用具有高精度和穩(wěn)定性良好的Roe格式[5]，通過求解RANS方程分析SA、Wilcox和SST湍流模型對(duì)跨聲速流動(dòng)的模擬精度，為更高準(zhǔn)確度湍流模型方程的建立和CFD模型的選取提供參考。

1 控制方程

控制方程為時(shí)間相關(guān)的三維守恒型RANS方程，在一般曲線坐標(biāo)系下其形式為：

式中：t為時(shí)間，Q為守恒變量，E、F、G為無粘通量，Ev、Fv、Gv為粘性通量。

計(jì)算方法為格心式有限體積方法，無粘項(xiàng)使用Roe格式＋MUSCL插值方法[6]，粘性項(xiàng)使用中心差分格式，時(shí)間采用隱式LU－SGS推進(jìn)方法[7]。湍流模型選用SA、Wilcox和SST三種模型。

2 湍流模型

SA模型是從經(jīng)驗(yàn)和量綱分析出發(fā)，針對(duì)簡(jiǎn)單流動(dòng)而逐漸補(bǔ)充發(fā)展成為適用于帶有層流流動(dòng)的固壁湍流流動(dòng)的一方程模型。由于計(jì)算量小，魯棒性好而成為當(dāng)今應(yīng)用最為廣泛的一方程模型。Wilcox模型是積分到壁面的兩方程渦粘性模型，在粘性子層具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性。SST模型綜合了Wilcox模型和k－ε模型的優(yōu)點(diǎn)，在靠近壁面的附面層內(nèi)采用Wilcox模型，以利用湍流模型對(duì)逆壓梯度比較敏感的特點(diǎn)，在遠(yuǎn)離附面層的流場(chǎng)中，采用k－ε模型，以克服 Wilcox模型對(duì)自由流條件比較敏感的缺陷。文中將這三種模型用于跨聲速流動(dòng)的RANS方程數(shù)值模擬，旨在研究它們?cè)诳缏曀倭鲃?dòng)中的特性和計(jì)算精度。

3 計(jì)算結(jié)果與分析

3.1 ONERA－M6機(jī)翼

M6機(jī)翼是人們歷來用于考察求解RANS方程

、跨聲速流動(dòng)條件下模型方程和湍流模型方程性能的理想算例模型。計(jì)算網(wǎng)格為C－O型網(wǎng)格，沿周向、徑向和展向網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)分別為249×65×49，計(jì)算狀態(tài)為M∞＝0.84，α＝3.06°，Re＝1.172×107。

圖1給出三種模型沿機(jī)翼表面2個(gè)典型站位（20%，80%）處計(jì)算壓力系數(shù)分布與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較。從圖1可以看出，三種模型預(yù)測(cè)到的機(jī)翼表面壓力系數(shù)分布和激波位置一致，與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合良好。就此簡(jiǎn)單外形的算例和計(jì)算狀態(tài)來說，三種湍流模型預(yù)測(cè)的壓力系數(shù)分布沒有明顯區(qū)別。

圖1 不同湍流模型壓力系數(shù)分布的比較

圖2是SA、Wilcox和SST三種模型的收斂歷程。計(jì)算中，SA模型的CFL數(shù)最大可取到10，SST模型的CFL數(shù)可取5.5，而 Wilcox 模 型 的CFL數(shù)可取到5.3，SA模型表現(xiàn)出高的收斂速度和計(jì)算效率。

表1是三種模型預(yù)測(cè)到的氣動(dòng)力結(jié)果。從表1可以看出，三種模型的升力系數(shù)最大相差0.009；阻力系數(shù)最大相差0.0008。為定量分析湍流模型對(duì)各氣動(dòng)力的影響程度，文中特引入變異系數(shù)指標(biāo)[8]，以SA、Wilcox和SST三種模型的計(jì)算結(jié)果構(gòu)成5個(gè)具有不同平均數(shù)的氣動(dòng)力樣本數(shù)據(jù)集，求得各參數(shù)項(xiàng)的變異系數(shù)。各參數(shù)項(xiàng)的變異系數(shù)指標(biāo)表明，湍流模型對(duì)升力影響較小，對(duì)阻力特別是摩擦阻力影響較大。

圖2 殘值收斂歷程

表1 不同湍流模型的氣動(dòng)力計(jì)算結(jié)果

3.2 DLR－F6翼身組合體

使用美國AIAA阻力測(cè)試小組第二屆專題討論會(huì)（DPW Ⅱ）公布的多塊結(jié)構(gòu)對(duì)接網(wǎng)格[4]，對(duì)來流馬赫數(shù)M∞＝0.75，攻角a＝－0.34°，0.49°，1.23°工況的DLR－F6翼身組合體外形進(jìn)行RANS方程耦合SA、Wilcox和SST三種湍流模型的全湍流計(jì)算。計(jì)算中雷諾數(shù)Re＝3.0×106（基于平均氣動(dòng)弦長），圖3是DLR－F6翼身組合體表面網(wǎng)格。

圖3 DLR－F6翼身組合體的表面網(wǎng)格

圖4是三種湍流模型在不同攻角條件下，2個(gè)典型站位（37.7%，84.7%）處的機(jī)翼表面計(jì)算壓力系數(shù)分布與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較。從圖4可以看出，三種湍流模型均能給出與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好的壓力系數(shù)分布。SA模型的壓力系數(shù)分布和激波位置與SST模型的保持一致，Wilcox模型預(yù)測(cè)到的激波位置較SST模型的激波位置偏后。這種偏后程度，在相同計(jì)算條件下，隨著機(jī)翼展向位置向翼梢處的推移逐漸變大；在機(jī)翼同一站位處，隨著自由來流攻角的增大而增大。說明，Wilcox模型的結(jié)果受自由來流條件的影響較大。

用Cij表示表2中第i列與第j列對(duì)應(yīng)數(shù)值之差的絕對(duì)值。

圖4 機(jī)翼表面壓力分布與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較

表2給出了SA、Wilcox和SST三種湍流模型預(yù)測(cè)到的力和力矩系數(shù)、實(shí)驗(yàn)值和三種模型的氣動(dòng)力參數(shù)之差的絕對(duì)值。從表2可以看出，SST模型的力和力矩系數(shù)最接近實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，SA模型的結(jié)果處于SST和Wilcox兩模型的結(jié)果之間。其中，SA模型的升力和壓差阻力與SST模型的接近，而摩擦阻力與Wilcox模型的接近。不同湍流模型升力系數(shù)數(shù)據(jù)集的離散度較小，而阻力系數(shù)特別是摩擦阻力系數(shù)數(shù)據(jù)集的離散度較大。這一現(xiàn)象與表1中的一致，進(jìn)一步表明，湍流模型對(duì)升力影響較小，而對(duì)阻力尤其是摩擦阻力影響較大。

4 結(jié)論

采用Roe格式耦合隱式LU－SGS時(shí)間推進(jìn)方法，通過求解RANS方程，詳細(xì)分析了SA、Wilcox和SST湍流模型在跨聲速繞流中的特性和計(jì)算精度，有以下結(jié)論：

1）在跨聲速流動(dòng)中，SA模型的壓力系數(shù)分布和激波位置與SST模型的一致，Wilcox模型的激波位置較前者偏后。這種偏后程度，在相同攻角條件下，隨著機(jī)翼表面展向位置的增大而增大；在相站位處，隨著攻角的增大而增大。

表2 湍流模型對(duì)氣動(dòng)力的影響（DLR－F6WBα＝0.49°）

2）在跨聲速繞流中，SA模型表現(xiàn)出與SST模型相當(dāng)?shù)哪M能力。SST模型的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)最接近，Wilcox預(yù)測(cè)的升力和摩擦阻力較大。

[1]Spalart P R，Allmaras S R.A one－equation turbulence model for aerodynamic flows，AIAA 92－0439[R].1992.

[2]Wilcox D.Reassessment of the scale－determining equation for advanced turbulence models[J].AIAA Journal，1998，26（11）：1299－1310.

[3]Menter R.Zonal two equation k－ωturbulence models for aerodynamics flows，AIAA 93－2906[R].1993.

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[7]Yoon S，Jameson A.Lower－upper symmetric－Gauss－Seidel method for the Euler and Navier－Stokes equations，AIAA 87－0600[R].1987.

[8]鄭秋亞，劉三陽，周天孝.DLR－F6翼身組合體跨聲速阻力計(jì)算[J].西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，44（9）：115－121.