武秀根，鄭百林，賀鵬飛，劉曙光

（1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海200092；2.同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海200092）

工程結(jié)構(gòu)中，為提高軸向受壓柱的極限承載力，常常在失穩(wěn)柱的外圍布置限制其失穩(wěn)波形發(fā)展的限制構(gòu)件［1-2］，失穩(wěn)位移受到限制，因而能繼續(xù)承載.

軸向受壓柱的限制失穩(wěn)問題，屬于后屈曲的范疇，其承載能力和后屈曲形態(tài)有極大的關(guān)系.Chateau等［3］對存在單側(cè)限制的彈性結(jié)構(gòu)的分岔和穩(wěn)定性問題進(jìn)行了一般意義上的研究，采用能量原理建立平衡方程.呂和祥等［4］引入拉格朗日乘子，采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法計算了外部受限制結(jié)構(gòu)的臨界載荷.Domokos等［5］在1997 年研究了壓柱在兩平行、剛性、光滑的約束面之間的后屈曲行為，分析了柱與剛性面之間的不同接觸狀態(tài).Herzl Chai［6］采用聚碳酸酯材料制作細(xì)長的受壓柱，使受壓柱在剛性面之間發(fā)生限制失穩(wěn)，觀察細(xì)柱的失穩(wěn)波形及其演化.申波等［7］研究了雙鋼管構(gòu)件在受軸向壓力時，內(nèi)、外彈性變形構(gòu)件之間由點接觸狀態(tài)到線接觸狀態(tài)之間的連續(xù)過渡過程中，接觸力等變量的連續(xù)變化.

本文根據(jù)點接觸和線接觸的概念，在大變形框架下，引入截面轉(zhuǎn)角作為統(tǒng)一變量，推導(dǎo)了點、線接觸狀態(tài)下的受壓柱失穩(wěn)形態(tài)方程.結(jié)果表明，不同的接觸狀態(tài)下，柱的失穩(wěn)形態(tài)具有相同的方程形式，根據(jù)截面轉(zhuǎn)角變量的不同取值范圍區(qū)分不同的接觸狀態(tài).

1 分析模型

以一平面軸向受壓柱為研究對象.柱受壓發(fā)生歐拉失穩(wěn)后，兩側(cè)的失穩(wěn)變形受到約束，進(jìn)入后屈曲階段，如圖1所示.圖中，為柱所受的軸向力，為柱的原始長度，為柱未受壓時，距離兩側(cè)約束壁面的距離.

為計算及分析方便，做量綱一化處理［7］，各種變量的量綱一化約定如下：

該量綱一化公式里的變量并不代表后續(xù)分析中的具體變量，僅規(guī)定了當(dāng)具體模型的變量類型為力、彎矩和位移時應(yīng)分別采用的量綱一化方法.

由于兩端約束的對稱性，因此柱的各段失穩(wěn)撓曲線也具有對稱性或反對稱性，因此可以選擇具有代表性的部分撓度曲線進(jìn)行分析，然后根據(jù)對稱性或反對稱得到整個柱的后屈曲撓度曲線.

2 撓度曲線方程的求解

2.1 點接觸過程

點接觸過程中，存在兩典型柱段的變形：靠近端部的柱的撓度和中間部分柱的撓度.

分別在兩典型柱段的反彎點建立局部坐標(biāo)系，如圖2～圖4所示.根據(jù)對稱性，取典型柱段的一半分析，C為段的反彎點，也即中點，D為段的反彎點，也即中點.點B，E為柱與約束壁面之間的接觸點，坐標(biāo)系Cx1y1為在C點建立的局部坐標(biāo)系，坐標(biāo)系Dx2y2為在D點建立的局部坐標(biāo)系.分別用，表示，的水平距離.

圖3中，s1為C到B點的弧長，則的長度為2s1，在反彎點處的量綱一剪力記為μ1，在s=0（即C點處）柱截面轉(zhuǎn)角為θa，端點B的坐標(biāo)為（a／2，h／2），λ為量綱一軸向力.圖4中，s2為D點到B點的弧長，則的弧長為2s2，在s=0（即D點處）柱截面轉(zhuǎn)角為θb，端點B在x2Dy2處的坐標(biāo)為（b／2，h）.μ2 為D點處量綱一剪力.

2.1.1 端部撓度曲線

顯然，當(dāng)s=0時,，由式（3）得

其中，K（p1）為第一類完全橢圓積分，F(xiàn)（φ（s），p1）為第一類不完全橢圓積分［8］，

因為x=∫cos（θ（s））ds，y=∫cos（θ（s））ds，又φ=θ-α，故由式（4）可得

其中，E（p1）=

E（p1）為第二類完全橢圓積分，E（φ，p1）為第二類不完全橢圓積分.

2.1.2 中間部分撓度曲線分析

2.2 線接觸過程

柱與約束面之間的線接觸過程，柱的撓度可分為三部分典型的變形（圖5）：靠近固定端的端部柱的撓度，柱與約束面之間的直線接觸段，中間部分柱的撓度.依據(jù)與點接觸相同方法，可以建立線接觸過程各部分的撓度曲線方程.

圖5 線接觸過程，局部分析坐標(biāo)系的建立Fig.5 Establishment of local analysis coordinate under point line contact state

3 點接觸和線接觸過程撓度曲線方程的比較

可以發(fā)現(xiàn)，雖然推導(dǎo)過程不同，但點接觸過程與線接觸過程中的長度以及直角坐標(biāo)的表達(dá)式在形式上存在著統(tǒng)一性.

以端部撓曲線為例，點接觸過程中，長度以直角坐標(biāo)的表達(dá)式分別為式（4）～（6）.線接觸過程，相應(yīng)的計算式分別為式（7）～（9）.

可以發(fā)現(xiàn)，點接觸過程和線接觸過程中，長度以及直角坐標(biāo)的計算式在形式上完全相同，當(dāng)s=0時，都存在.區(qū)別在于點接觸過程中，，其中θα為反彎點處截面轉(zhuǎn)角.而線接觸過程中，時，點接觸過程，而線接觸過程，

反彎點截面轉(zhuǎn)角θa和參數(shù)φ（s1）隨軸向載荷的變化曲線見圖6和圖7.

從點接觸，線接觸的計算公式比較可以看出，線接觸的計算公式可以退化到點接觸.當(dāng)式（7），（8）和（9）中的φ（s1）＞-時，為點接觸計算表達(dá)式，當(dāng)φ（s1）=-時，為線接觸計算表達(dá)式.中間部分典型柱的撓度曲線方程存在著同樣的特點，點接觸和線接觸過程的撓度曲線方程均相同，依靠參數(shù)φ（s1）的不同取值確定不同的接觸狀態(tài).

圖6 反彎點處截面轉(zhuǎn)角θa 的變化示意圖Fig.6 Relationship between axial load andθa

圖7 接觸點處參數(shù)φ（s1）變化示意圖Fig.7 Relationship between axial load andφ（s1）

4 結(jié)論

本文在大變形框架下，通過合理的建立局部分析坐標(biāo)系，引入典型柱反彎點的截面轉(zhuǎn)角作為變量，得到了失穩(wěn)柱的撓度曲線方程.引入反彎點處的截面轉(zhuǎn)角作為變量后，點接觸和線接觸狀態(tài)下的撓度曲線方程可以采用統(tǒng)一的表達(dá)式形式，而截面轉(zhuǎn)角不同的取值即決定了柱的不同接觸狀態(tài).

采用統(tǒng)一的表達(dá)式形式描述柱在不同接觸狀態(tài)下的限制失穩(wěn)波形，不僅可以簡化分析過程，減少分析變量，而且對進(jìn)一步研究柱失穩(wěn)形態(tài)的連續(xù)變化過程和截面轉(zhuǎn)角大于臨界值，導(dǎo)致發(fā)生失效等極限失穩(wěn)狀態(tài)提供了便利.

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