陳光龍 徐紅霞 汪麗莉 季 濤

（上海工程技術(shù)大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院，上海 201620）

幾種不同分子速率分布中速率分布寬度與溫度的關(guān)系

陳光龍 徐紅霞 汪麗莉 季 濤

（上海工程技術(shù)大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院，上海 201620）

分析了幾種速率分布函數(shù)中速率分布寬度與溫度的關(guān)系，并指出溫度反映氣體分子速率分布寬度這一物理含義具有更普遍的意義.

速率分布；射流分子束；超聲分子束

1 引言

大學(xué)物理關(guān)于氣體動(dòng)理論的教學(xué)中，麥克斯韋速率分布既是教學(xué)重點(diǎn)，也是教學(xué)難點(diǎn)［1，2］.這部分的教學(xué)，通常先是探討理想氣體溫度與氣體分子平均平動(dòng)動(dòng)能的關(guān)系，而后直接給出平衡態(tài)理想氣體中分子速率分布所遵循的麥克斯韋速率分布函數(shù)，進(jìn)而討論氣體分子的三種速率，也就是最概然速率、平均速率和方均根速率.顯然，通過最概然速率與平衡態(tài)理想氣體溫度之間的關(guān)系很容易得到速率分布曲線的峰值（也就是最概然速率）與氣體溫度的定性關(guān)系.這也是此部分教學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn).然而，教學(xué)中往往忽略了速率分布曲線的寬度隨溫度的變化情況，而這一變化規(guī)律卻反映了溫度更廣義上的物理含義.本文將分別以平衡態(tài)理想氣體速率分布函數(shù)、射流分子束分子速率分布函數(shù)和超聲分子束縱向速率分布函數(shù)為例，詳細(xì)研究這些速率分布曲線對(duì)應(yīng)的速率分布寬度與溫度的關(guān)系，指出溫度對(duì)應(yīng)的更普遍的物理含義.

2 麥克斯韋速率分布曲線隨溫度的變化

當(dāng)一定量的氣體處于平衡態(tài)時(shí)，氣體分子的速率分布滿足麥克斯韋速率分布規(guī)律.氣體分子的速率分布函數(shù)可表示為［3］

式中，v為氣體分子的熱運(yùn)動(dòng)速率；T為氣體的溫度；m為氣體分子的質(zhì)量；k為玻耳茲曼常數(shù).這種分布情況下的最概然速率vp可表示為vp＝（2kT/m）1/2.因此麥克斯韋速率分布函數(shù)又可表示為

圖1（a）分別給出了一定量處于平衡態(tài)的氬氣在兩種不同溫度時(shí)所對(duì)應(yīng)的速率分布曲線，其中實(shí)線代表T＝300K，虛線代表T＝1000K.由圖1和最概然速率表達(dá)式vp＝（2kT/m）1/2都可以看出，氣體溫度越高，分子的最概然速率越大，同時(shí)速率分布曲線越平坦；例如平衡態(tài)氬氣在溫度為300K和1000K時(shí)對(duì)應(yīng)的vp分別為371m·s－1和677m·s－1；反之氣體溫度越低，分子的最概然速率越小，速率分布曲線越陡峭.簡(jiǎn)而言之，就是溫度高低反映了氣體分子的最概然速率大小.同樣，我們也可以看出，隨著氣體溫度的升高，速率分布曲線的寬度也在增加，這可定性地理解為：隨著溫度的升高，氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的平均速率變大，因而速率分布寬度變大.顯然，理想氣體分子速率分布寬度與氣體的溫度緊密相關(guān).

圖1

為了更好地比較速率分布寬度與溫度的定量關(guān)系，我們定義速率分布曲線的半高全寬為速率分布寬度Δv.我們計(jì)算了平衡態(tài)氬氣在不同溫度下對(duì)應(yīng)的速率分布寬度Δv1，其結(jié)果如圖1（b）所示.從圖中可以明顯看出，隨著氣體溫度的升高，速率分布寬度越來越寬.通過對(duì)這些數(shù)值點(diǎn)的非線性擬合，可以給出平衡態(tài)氬氣速率分布寬度Δv1隨溫度變化的關(guān)系式，結(jié)果可表示為Δv1～aT0.5（a為一與氣體種類有關(guān)的比例系數(shù)）.也就是說，平衡態(tài)理想氣體的速率分布寬度約與溫度的平方根成正比，隨著溫度的升高而加寬.平衡態(tài)理想氣體的溫度高低反映了該氣體分子的速率分布寬度大小.因此我們可以這樣理解，溫度在微觀機(jī)制上反映了氣體分子無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)的劇烈程度，也反映了氣體分子速率分布情況.為了更好地理解溫度的這一微觀物理意義，我們來看看另外兩種重要的速率分布（射流分子束以及超聲分子束）中，氣體分子速率分布與溫度的變化關(guān)系.

3 射流分子束中氣體分子速率分布曲線隨溫度的變化

當(dāng)較低背壓氣體經(jīng)小孔（噴嘴）向真空擴(kuò)散時(shí)（此時(shí)的氣體分子的平均自由程遠(yuǎn)大于小孔的尺寸）會(huì)形成射流分子束，也就是分子射線.在射流分子束形成過程中分子間的碰撞幾率很小，經(jīng)過小孔后分子的溫度和速度分布基本不變，也即分子的能量基本不變.但由于射流分子束具有一定的定向運(yùn)動(dòng)速度，氣體分子朝各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的機(jī)會(huì)不是均等的，因而此種分子束中分子速率分布會(huì)不同于平衡態(tài)時(shí)分子運(yùn)動(dòng)遵循的麥克斯韋速率分布規(guī)律，但它與麥克斯韋速率分布律又有一定的聯(lián)系.如果在實(shí)驗(yàn)上測(cè)量出分子射線中分子速率分布規(guī)律，就可根據(jù)這一速率分布規(guī)律來確定容器中處于平衡態(tài)的金屬蒸氣中分子的速率分布規(guī)律，也就是麥克斯韋速率分布規(guī)律.這也是大學(xué)物理課程教學(xué)中講解速率分布測(cè)量實(shí)驗(yàn)時(shí)值得注意的知識(shí)點(diǎn).射流分子束中氣體分子速率分布可表示為［4］

圖2（a）同時(shí)給出了氬氣在T＝300K時(shí)平衡態(tài)氣體分子速率分布曲線f1（v）和射流分子束中氣體分子速率分布曲線f2（v）.從圖中可以看出射流分子束對(duì)應(yīng)了較大的最概然速率，這是由于較大速率的分子具有較大的幾率通過小孔向真空逃出形成射流分子束.如圖2（b）所示，我們也分別給出了氬氣射流分子束在兩種不同溫度時(shí)所對(duì)應(yīng)的速率分布曲線，其中實(shí)線代表T＝300K，虛線代表T＝1000K.與平衡態(tài)速率分布相似，氣體分子的最概然速率隨氣體溫度的升高而增加，速率分布曲線的寬度也隨著氣體溫度的升高而增加.例如在溫度為300K和1000K時(shí)對(duì)應(yīng)的Δv2分別為431m·s－1和788m·s－1；顯然，射流分子束中速率分布寬度也與溫度緊密相關(guān).

圖2

下面我們進(jìn)一步探討一下射流分子束速率分布寬度與溫度的關(guān)系.圖3（a）給出了一定量的氬氣射流分子束的速率分布寬度與溫度的數(shù)值關(guān)系圖.從圖中可以明顯看出，隨著氣體溫度的升高，速率分布寬度越來越高.通過對(duì)這些數(shù)值點(diǎn)的擬合，得到的氬氣分子速率分布寬度隨溫度變化的關(guān)系式也可以表示為Δv2～a T0.5.圖3（b）綜合了圖1（b）和圖3（a），同時(shí)給出了麥克斯韋速率分布和射流分子束中的速率分布寬度與溫度的關(guān)系曲線.從圖3（b）可以看出，這兩種速率分布寬度與溫度的變化關(guān)系是相同的.也就是說射流分子束速率分布中溫度同樣反映了速率分布寬度，溫度越低，速率分布寬度越小.

圖3

4 超聲分子束流中氣體分子速率分布曲線隨溫度的變化

超聲分子束技術(shù)是研究分子結(jié)構(gòu)的一種重要的物理和化學(xué)實(shí)驗(yàn)手段，在工業(yè)上也有著廣泛的應(yīng)用.當(dāng)較高背壓氣體經(jīng)噴嘴向真空絕熱膨脹形成超聲分子束的過程中（此時(shí)的氣體分子的平均自由程遠(yuǎn)小于小孔的尺寸），大量分子間碰撞使得與氣體分子熱運(yùn)動(dòng)相關(guān)的部分內(nèi)能轉(zhuǎn)化為氣體分子定向運(yùn)動(dòng)動(dòng)能.根據(jù)氣體動(dòng)力學(xué)基本方程可求得超聲分子束的溫度會(huì)降低（氣體的絕熱膨脹冷卻）.在超聲分子束研究中，常用平動(dòng)溫度的減少來表示這一冷卻過程.但要注意，平動(dòng)溫度降低，并不是說氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能減少，而是氣體分子的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的平均平動(dòng)動(dòng)能的減少.在超聲分子束及相關(guān)的實(shí)驗(yàn)中，通常根據(jù)分子束中縱向分子速率（沿分子束前進(jìn)的方向）分布寬度來確定超聲分子束中氣體的平動(dòng)溫度.這里我們只討論超聲分子束中分子的縱向速率分布與平動(dòng)溫度的關(guān)系.

超聲分子束中分子的縱向速率分布函數(shù)可表示為［5］

式中，Na為歸一化常數(shù)；vs是分子束的縱向上的定向速率；2kT/m 可用vk2表示.則式（4）又可表示為

圖4（a）給出了兩種情況下的氬氣氣體速率分布曲線，虛線表示常溫下（T＝300K）平衡態(tài)氬氣分子速率分布曲線f1（v），實(shí)線為超聲分子束（平動(dòng)溫度為T＝30K，分子束的縱向上的定向速率vs＝1000m·s－1）中氣體分子的速率分布曲線f3（v）.從圖中可以看出，超聲分子束雖然具有較低的平動(dòng)溫度T，卻對(duì)應(yīng)著較大的最概然速率（1013m·s－1），也就是說此種情況下溫度T已經(jīng)不能反映最概然速率的大小.但圖中同時(shí)還可以看出較低的平動(dòng)溫度T，仍然對(duì)應(yīng)著較窄的速率分布寬度（Δv3＝194m·s－1）.需要注意的是，超聲分子束縱向速率分布中的vk2雖然也等于2kT/m，但已經(jīng)不能用來表示最概然速率的大小.例如可以算出在圖4（a）的超聲分子束（T＝30K）中，vk＝117m·s－1，已遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其對(duì)應(yīng)的最概然速率（1013m·s－1）.計(jì)算表明，超聲分子束中最概然速率和縱向上定向速率vs是緊密相關(guān)的，最概然速率隨著vs的增加而增加.例如：當(dāng)T＝30K，vs＝500、1000、1500和2000m·s－1時(shí)，其對(duì)應(yīng)的最概然速率分別為526、1013、1509、2007m·s－1.因此，對(duì)超聲分子束的縱向速率分布而言，溫度T不是反映最概然速率或縱向定向速率的大小，而只是反映縱向速率分布寬度.

我們可進(jìn)一步探討超聲分子束速率分布寬度與溫度T的關(guān)系.圖4（b）給出了一定量的氬氣超聲分子束在分子束縱向上的定向速率vs分別為500、1000、1500和2000m·s－1時(shí)縱向速率分布寬度與溫度的數(shù)值關(guān)系圖.從圖4（b）中可以明顯看出，對(duì)不同vs，隨著氣體溫度的升高，速率分布寬度都是越來越寬的.這與前兩種速率分布中速率分布寬度與溫度的關(guān)系是定性一致的.但要注意的是，分子束的定向速率vs對(duì)超聲分子束速率分布寬度與溫度的關(guān)系曲線略有影響.具體來說，當(dāng)vs＝500、1000、1500和2000m·s－1時(shí)，通過對(duì)圖4（b）中數(shù)值點(diǎn)的擬合，得到的速率分布寬度隨溫度變化的關(guān)系式略有差別，可以分別表示為Δv3～a T0.46；～a T0.48；～a T0.49和～a T0.50.這表明超聲分子束中縱向速率分布寬度與溫度T的關(guān)系式不是單一的，而與分子縱向定向速率vs有關(guān).這與前兩種速率分布中速率分布寬度與溫度的關(guān)系有所不同.但這并不是意味著溫度能反映縱向定向速率的大小.正如前文所述，溫度T不能反映縱向定向速率的大小，而只是反映縱向速率分布寬度，只不過在由縱向速率分布寬度得到溫度時(shí)需要考慮縱向速率的大小而選擇恰當(dāng)?shù)年P(guān)系式.

圖4

總之，在超聲分子束中，由于形成的趨于單一的氣體宏觀運(yùn)動(dòng)，氣體分子縱向運(yùn)動(dòng)的平均平動(dòng)動(dòng)能增大，縱向速率分布寬度卻減少，但這并不意味著平動(dòng)溫度的增加，而是平動(dòng)溫度的減少.或者說，平動(dòng)溫度反映了縱向速率分布寬度大小，而不是縱向定向速率的大小.

5 結(jié)論

本文分析了三種氣體分子速率分布，指出氣體溫度與速率分布曲線的寬度緊密相關(guān).溫度反映了氣體分子無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)的劇烈程度，反映了分子所具有的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的平均平動(dòng)動(dòng)能的大小，同時(shí)也反映了氣體分子速率分布情況.在速率分布曲線上，溫度的高低反映了速率分布曲線的寬度.溫度的這一物理含義具有更為普遍的意義.

［1］ 竇志國(guó).關(guān)于分子分布律的教學(xué)［J］.物理與工程，2001，11（4）：15

［2］ 關(guān)榮華.關(guān)于氣體中有無速率為無窮大分子的再討論［J］.物理與工程，2003，13（1）：52

［3］ 馬文蔚等.物理學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2006

［4］ 吳瑞賢，吳劍鋒.用計(jì)算機(jī)繪圖研究分子射線及蒸氣源中分子的速率分布［J］.大學(xué)物理，1998，17（7）

［5］ H Haberland，U Buck and M Tolle.Velocity distribution of supersonic nozzle beams.Rev.Sci.Instrum.1985，56（9）：1712

DEPENDENCES OF VELOCITY DISTRIBUTION WIDTH ON TEMPERATURE FOR SOME DIFFERENT KINDS OF VELOCITY DISTRIBUTIONS

Chen Guanglong Xu Hongxia Wang Lili Ji Tao
（School of Fundamental Studies，Shanghai University of Engineering Science，Shanghai 201620）

The dependences of velocity distribution width on temperature were investigated for some different kinds of velocity distributions.It is found that the temperature corresponds to the velocity distribution width for these velocity distributions in a more general sense.

velocity distribution；effusive molecular beam；supersonic molecular beam

2011－01－04；

2011－09－18）

上海市重點(diǎn)課程建設(shè)項(xiàng)目《大學(xué)物理》（基金號(hào)：S200921001）和上海市優(yōu)秀青年教師基金（gjd－10018）資助.