王 濤 于艷華

(華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部，北京東燕郊 101601)

高等數(shù)學(xué)中反例教學(xué)研究①

王 濤1②于艷華

(華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部，北京東燕郊 101601)

本文對高等數(shù)學(xué)中的反例進(jìn)行了探討和研究，論述了反例的類型及構(gòu)造，給出了高等數(shù)學(xué)中一些典型的反例，并進(jìn)行了詳細(xì)的分析，說明了反例在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用以及應(yīng)注意的一些問題。

高等數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)研究;反例

高等數(shù)學(xué)是本科工程類各專業(yè)必修的重要的公共基礎(chǔ)理論課之一，通過該課程的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生系統(tǒng)地獲得:一元函數(shù)微積分學(xué);常微分方程;多元函數(shù)微積分學(xué);無窮級數(shù)等方面的基本知識和基本運(yùn)算技能，為學(xué)習(xí)后續(xù)課程奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在學(xué)習(xí)過程中逐步培養(yǎng)學(xué)生抽象與概括問題的能力，邏輯推理能力，空間想象能力以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力。

數(shù)學(xué)中的反例是指符合某個命題的條件，但又與該命題結(jié)論相矛盾的例子，也即指出某命題不成立的例子。在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中，反例在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中有著重要的地位和作用，大到能推動一個學(xué)科的發(fā)展或否定上百年的猜想，例如:畢達(dá)哥拉斯學(xué)派證明了勾股定理的同時，也得到了一些直角三角形的三邊比不能用整數(shù)來表達(dá)，也就是勾長或股長與弦長是不可通約的。這樣一來，就否定了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條:宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。不可通約性的發(fā)現(xiàn)引起第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，直接導(dǎo)致了歐幾里得的《幾何原本》的產(chǎn)生。小至能夠準(zhǔn)確理解一個定義和概念。

教育部于2003年制定的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出:“人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題時，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號標(biāo)示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程。”反思過程是數(shù)學(xué)辯證邏輯思維能力的一種具體體現(xiàn)。而反例是鍛煉反思能力的最好形勢之一。

在傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，往往注重基本概念、定義的講解、定理的證明、公式的推導(dǎo)及典型例題的計算，而忽視高等數(shù)學(xué)中反例的教學(xué)研究與應(yīng)用，造成多數(shù)學(xué)生雖能熟練地計算高等數(shù)學(xué)的習(xí)題，了解一些定理形式上的證明，卻不能清楚弱化定理條件，造成命題錯誤的根本原因。

下面我們對高等數(shù)學(xué)中反例的類型及實(shí)例進(jìn)行探討，給出高等數(shù)學(xué)中一些典型的反例，并進(jìn)行教學(xué)分析。說明反例在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位和作用。

1 高等數(shù)學(xué)中反例的類型及實(shí)例

1.1 由定義產(chǎn)生的反例

概念是數(shù)學(xué)學(xué)科的細(xì)胞，是反映事物本質(zhì)的思維形式。在邏輯學(xué)中，定義是明確概念內(nèi)涵的邏輯方法。在數(shù)學(xué)問題中，若首先給出一個概念的定義，然后判斷一個猜想是否正確，反例的獲得常常需要從定義入手。

容易知道，an是無界變量，但當(dāng)n→∞時，an不是無窮大量。例1說明無界變量和無窮大量有著本質(zhì)區(qū)別。

1.2 由逆命題產(chǎn)生的反例

高等數(shù)學(xué)中的一些命題的條件和結(jié)論有著緊密聯(lián)系，卻是非等價的。其逆命題往往不成立。

命題:數(shù)列收斂必有界，逆命題:有界數(shù)列必收斂。

例2 數(shù)列{an}:-1，1，-1，1，…，(-1)n，…有界，但不收斂。

命題:可導(dǎo)一定連續(xù)，逆命題:連續(xù)一定可導(dǎo)。

1.3 弱化定理條件產(chǎn)生的反例

例4(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)滿足

(1)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo);(3)在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ξ，使得 f'(ξ)=0。

A.函數(shù)f(x)滿足條件(2)(3)，但不滿足條件(1)。

B.函數(shù)f(x)滿足條件(1)(3)，但不滿足條件(2)。

C.函數(shù)f(x)滿足條件(1)(2)，但不滿足條件(3)。

例4.3 設(shè) f(x)=x，0 ≤x≤1，則函數(shù) f(x)在閉區(qū)間［0，1］上連續(xù);在開區(qū)間(0，1)內(nèi)可導(dǎo);在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值不相等，而當(dāng) x∈(0，1)時，f'(x)=1≠0。

例4.1-4.3說明羅爾定理中的三個條件缺一不可。

1.4 有限和無窮相互轉(zhuǎn)變產(chǎn)生的反例

有限個無窮小量之和(積)是無窮小量。但對于無限個無窮小量之和(積)可以不是無窮小量。

2 反例研究在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

2.1 準(zhǔn)確理解定義和概念

定義和概念在高等數(shù)學(xué)中占有重要的地位，它是進(jìn)行邏輯推理的基礎(chǔ).但學(xué)生在初學(xué)高等數(shù)學(xué)時，常常重視定理、公式的應(yīng)用和解題方法的訓(xùn)練，而對定義沒有給予足夠的重視.使用這種學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，將會產(chǎn)生概念不清或死記硬背定義而不能真正掌握概念的內(nèi)涵等情況.使得學(xué)生在做和定義、概念相關(guān)的選擇題和判斷題目時，常常出現(xiàn)錯誤。例如在學(xué)生開始學(xué)數(shù)列極限的定義時，常常對極限的定義不清楚，認(rèn)為極限中ε-N語言是形式的而非本質(zhì)的，錯誤地認(rèn)為極限定義中的“所有”改為“無窮多個”等價，描述性語言中的“無限接近”與“逐漸接近”是等價的。還有些學(xué)生混淆無界變量和無窮大量的定義。在教學(xué)中我們可以通過本文中例1來解決這些問題。

通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)姆蠢?，可以從反面消除一些容易出現(xiàn)的模糊認(rèn)識，有助于學(xué)生嚴(yán)格區(qū)分那些相近易混的概念，認(rèn)清概念的本質(zhì)。

2.2 正確掌握定理和命題

定理在高等數(shù)學(xué)中的有著舉足輕重的作用.由于高等數(shù)學(xué)中的定理眾多，大多數(shù)定理不易找出幾何或物理模型，學(xué)生要正確掌握定理有一定的難度.反例可以幫助學(xué)生明確定理的正確使用范圍。在命題學(xué)習(xí)中，用生動的反例駁斥錯誤的命題是非常簡潔、有效的。更重要的是，反例可用來說明命題的使用范圍。這對初學(xué)者來說是非常有益的，不僅能澄清一些錯誤的認(rèn)識，還能促使學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)密推理、重視條件的習(xí)慣，避免發(fā)生“簡單”卻“致命”的錯誤。

掌握反例可以加強(qiáng)對定理條件的正確理解，例如若掌握了我們給出的例4.1-4.3就可清楚的知道羅爾定理的條件缺一不可。掌握反例還可以加強(qiáng)對定理和命題內(nèi)涵的正確理解。

2.3 正確理解有限與無限的區(qū)別

從哲學(xué)上講，有限和無限是物質(zhì)世界存在的客觀矛盾，是物質(zhì)的運(yùn)動在時間和空間上表現(xiàn)出來的的辯證聯(lián)系，有限和無限的關(guān)系是辯證的，是對立統(tǒng)一的。其具體表現(xiàn)為，無限由有限構(gòu)成，無限不能脫離有限而獨(dú)立存在，有限也包含無限，有限體現(xiàn)著無限。

學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，需要掌握有限與無限的聯(lián)系與區(qū)別.首先要學(xué)會使用運(yùn)動的觀點(diǎn)，通過有限認(rèn)識無限;其次要明確有限與無限本質(zhì)上的區(qū)別和聯(lián)系.對這兩個問題，多數(shù)教材沒有在理論上給出詳細(xì)的論述，加上學(xué)生受中學(xué)思維定勢(有限條件下)的影響，不注意有限與無限的區(qū)別，常常誤認(rèn)為在“有限”的條件下成立的命題在“無限”的條件下也同樣成立.我們可以通過反例幫助學(xué)生糾正這種錯誤觀念.例如我們在自然數(shù)集N={0，1，2，…}和其真子集 M={0，2，4，…}可以建立一一映射f:x?2x，而在有限集上不可能和其真子集建立一一映射。有限個無窮小量之和(積)是無窮小量，而通過反例2，可以讓學(xué)生清楚地看到把命題中的“有限”改成“無限”是錯誤的。

2.4 反例有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)由證明和反駁兩大類組成，數(shù)學(xué)的發(fā)展也是朝著提出證明和構(gòu)造反例這兩個主要目標(biāo)前進(jìn)的。構(gòu)造反例具有一定的技巧性。它不僅與基礎(chǔ)知識的掌握程度有關(guān)，還涉及思維的發(fā)散程度，知識面的寬窄等。反例的構(gòu)造過程是一項積極的、具有創(chuàng)造性的思維活動，是一個探索發(fā)現(xiàn)的過程。重視和體驗(yàn)這樣的過程，不僅能拓寬思路，活躍思維，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，提高自學(xué)能力，也能提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，有助于學(xué)生克服思維定式，提高其思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

3 反例教學(xué)中要注意的問題

在現(xiàn)有的高等數(shù)學(xué)中反例五花八門，層次高低不同。作為高校教師，掌握以下兩個類型的反例是必要的。一類是構(gòu)造起來較困難，課堂上基本不用，但課下少數(shù)有興趣的學(xué)生可能涉及，屬教師應(yīng)用型。另一類是構(gòu)造起來簡單易行，卻能很好說明問題，屬課堂教學(xué)應(yīng)用型，如為了說明連續(xù)不一定可導(dǎo)，我們常用本文列舉的反例3。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用反例來說明問題，首先要注意反例的選取，選擇的反例要簡單易行，若選取較艱澀的反例，會適得其反，造成學(xué)生更多的困惑。其次，在教學(xué)中要通過創(chuàng)設(shè)問題的情境，啟發(fā)學(xué)生興趣，鼓勵學(xué)生自己構(gòu)造反例，從而達(dá)到教學(xué)目的。

［1］ 杜春雨.高等數(shù)學(xué)中反例的研究［J］.高等數(shù)學(xué)研究.2008，11(5):26-27

［2］ 唐敏.反例在高等數(shù)學(xué)中的作用［J］.西南民族學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，1997，11(4):461-464

［3］ 丁秀梅.反例在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用初探［J］.江蘇經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2004，(1)

［4］ 朱勇等.高等數(shù)學(xué)中的反例［M］.武漢:華中工業(yè)出版社，1998

［5］ 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(第六版)［M］.北京:高等教育出版社，2007

Study on contrary cases in higher mathematics

WANG Tao，YU Yanhua

(Department of Basic Course，North China Institute of Science and Technology，Yanjiao Beijing-East101601)

This paper holds an exploration on contrary cases in higher mathematics by focusing on the types and conformation.It also gives some typical contrary cases in higher mathematics studying and makes detailed analysis in them，demonstrating the important functions of contrary cases in higher mathematics and some problems worth paying attention to.

higher mathematics;mathematics research;contrary cases

G40-034

A

1672-7169(2011)03-0095-03

2011-06-03?；痦椖?華北科技學(xué)院教育科學(xué)研究資助項目(Jkzd11-17)。

王濤(1972-)男，河北遷安人，碩士，華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部副教授，研究方向:圖論。