劉 琳

(華北科技學(xué)院圖書館，北京東燕郊 101601)

圖書借閱預(yù)測(cè)的ARIMA乘積季節(jié)模型構(gòu)建及實(shí)證分析①

劉 琳②

(華北科技學(xué)院圖書館，北京東燕郊 101601)

本文研究乘積季節(jié)模型在我校圖書借閱預(yù)測(cè)中的應(yīng)用，通過(guò)對(duì)我校2007年1月到2009年12月的月度圖書借閱數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行實(shí)證分析，采用差分方法對(duì)序列資料進(jìn)行平穩(wěn)化，然后進(jìn)行模型定階并估計(jì)其參數(shù)，建立了我校圖書借閱的乘積季節(jié)預(yù)測(cè)模型ARIMA(4，1，1)(1，1，1)12。對(duì)模型進(jìn)行診斷檢驗(yàn)，結(jié)果表明，用該乘積季節(jié)模型對(duì)我校的圖書借閱擬合效果較好。最后，利用此模型對(duì)我校2010年1至6月進(jìn)行了預(yù)測(cè)，與實(shí)踐有較好的擬合。

乘積季節(jié)模型;時(shí)間序列分析;圖書借閱量;預(yù)測(cè)

0 引言

圖書館作為高校的第二課堂，主要滿足在校教師和學(xué)生的學(xué)習(xí)研究的資料查詢及借閱需求。圖書借閱預(yù)測(cè)和分析對(duì)圖書資料的管理和用戶行為的調(diào)節(jié)等都具有十分積極的意義。

目前國(guó)內(nèi)對(duì)圖書借閱預(yù)測(cè)比較活躍，但建模研究基本上是季節(jié)性AR模型。本文探討了采用乘積季節(jié)型模型，對(duì)我校圖書借閱的預(yù)測(cè)結(jié)果表明，該模型具有較好的擬合效果。

1 乘積季節(jié)模型

1.1 乘積季節(jié)模型簡(jiǎn)介

時(shí)間序列分析是一種根據(jù)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)揭示系統(tǒng)動(dòng)態(tài)規(guī)律的統(tǒng)計(jì)方法，其基本思想是根據(jù)系統(tǒng)的有限長(zhǎng)度的運(yùn)行記錄，建立能夠比較精確地反映時(shí)間序列中所包含的動(dòng)態(tài)依存關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，并借此模型對(duì)未來(lái)行為進(jìn)行預(yù)測(cè)。

ARIMA模型屬于隨機(jī)時(shí)間序列分析方法。隨機(jī)序列分為平穩(wěn)序列(統(tǒng)計(jì)特征不隨時(shí)間變化)和非平穩(wěn)序列(不具有平穩(wěn)性)，對(duì)于平穩(wěn)時(shí)間序列可以建立自回歸模型(AR(p))、移動(dòng)平均模型(MA(q))和自回歸移動(dòng)平均模型(ARMA(p，q))。非平穩(wěn)的時(shí)間序列可以先進(jìn)行d階差分運(yùn)算，然后建立 ARMA模型，即 ARIMA(p，d，q)模型。乘積季節(jié)模型是隨機(jī)季節(jié)模型與ARIMA模型的結(jié)合。

包含季節(jié)性的時(shí)間序列也不能直接建立ARMA模型，須進(jìn)行季節(jié)差分消除序列的季節(jié)性，差分步長(zhǎng)與季節(jié)周期一致，一般地，如果序列經(jīng)過(guò)D

式中，p是季節(jié)自回歸階數(shù)，q是季節(jié)移動(dòng)平均階數(shù)，并且分別Φp(Bs)和ΘQ(Bs)季節(jié)P階自回歸算子和Q階移動(dòng)平均算子。

1.2 乘積季節(jié)模型的建模步驟

建立乘積季節(jié)模型可歸納為3個(gè)具體步驟:數(shù)據(jù)的平穩(wěn)化;模型的識(shí)別、定階與模型參數(shù)估計(jì);模型的診斷檢驗(yàn)。

1.2.1 數(shù)據(jù)的平穩(wěn)化

一般對(duì)非平穩(wěn)數(shù)據(jù)通過(guò)差分或取對(duì)數(shù)等方式可以將其平穩(wěn)化。

1.2.2 模型的識(shí)別與定階

對(duì)乘積季節(jié)模型的階數(shù)識(shí)別及參數(shù)估計(jì)，基本上采用Box-Jenkins方法，也就是立足于考察數(shù)據(jù)的自相關(guān)和偏自相關(guān)分析圖，季節(jié)長(zhǎng)度s可以由實(shí)際應(yīng)用背景分析得到。

1.2.3 診斷檢驗(yàn)

模型是否合適，需要對(duì)其進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，典型的方法是對(duì)殘差序列進(jìn)行分析，如果殘差序列不是白噪聲序列，則說(shuō)明還有信息包含在相關(guān)的殘差序列中未提取出來(lái)，必須修改模型，直到殘差序列是白噪聲序列為止。階周期長(zhǎng)度為s的差分，季節(jié)性基本消除，如果在季節(jié)差分之前還進(jìn)行了d階逐期差分才平穩(wěn)，則可以對(duì)原序列建立乘積季節(jié)模型ARIMA(p，d，q)(P，D，Q)s，記為

2 實(shí)證分析

2.1 樣本選取

本文選取的數(shù)據(jù)為華北科技學(xué)院圖書館2007年1月到2010年6月的圖書借閱數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)來(lái)源于圖書館管理信息系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)的結(jié)果)，我們處理的數(shù)據(jù)為2007年1月到2009年12月，2010年的數(shù)據(jù)作為預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)。

將借閱量的原始數(shù)據(jù)繪成折線圖，如圖1所示，序列是具有明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì)的非平穩(wěn)序列，并包含周期為12個(gè)月的季節(jié)波動(dòng)。

圖1 圖書借閱量折線圖

2.2 數(shù)據(jù)處理

為消除趨勢(shì)同時(shí)減少序列的波動(dòng)，對(duì)原序列做一階自然對(duì)數(shù)逐期差分，得新序列，記為sjyl，即sjyl=log(jyl)-log(jy(-1))。

根據(jù)序列sjyl的自相關(guān)和偏相關(guān)分析圖可以看出序列趨勢(shì)基本消除了，但k=12時(shí)，樣本的自相關(guān)和偏相關(guān)系數(shù)顯著不為0，表明季節(jié)性存在。對(duì)序列sjyl做季節(jié)差分，記為ssjyl，即

ssjyl的自相關(guān)和偏相關(guān)分析圖如圖2所示。

從序列ssjyl的自相關(guān)與偏相關(guān)分析圖可見，序列趨勢(shì)和季節(jié)性已基本消除，進(jìn)一步檢驗(yàn)序列均值為0的假設(shè)可接受。

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)序列是否平穩(wěn)，對(duì)進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，單位根檢驗(yàn)是平穩(wěn)性檢驗(yàn)的正式方法。

從表1可看出，p檢驗(yàn)值小于給定的顯著性水平，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。表明對(duì)序列ssjyl可以直接建立ARMIA模型了。

圖2 序列ssjyl的自相關(guān)與偏相關(guān)分析圖

表1 ssjyl序列的單位根檢驗(yàn)

2.3 模型識(shí)別

因?yàn)榻?jīng)過(guò)一階逐期差分，序列趨勢(shì)已基本消除，故d=1;經(jīng)過(guò)一階季節(jié)差分，季節(jié)性基本消除，故 D=1。所以選用 ARMIA(p，d，q)(P，D，Q)s模型。觀察序列ssjyl的自相關(guān)與偏相關(guān)分析圖，q=1，p=2或p=3比較合適，考慮到AR模型是線性方程估計(jì)，相對(duì)于MA和ARMA模型的非線性估計(jì)容易，且參數(shù)意義便于解釋，故在實(shí)際建模中一般希望用高階的AR模型替代相應(yīng)的MA或ARMA。綜合考慮，可以選擇的(p，q)組合可以有:(3，1)，(4，0)，(4，1)。由于 k=12 時(shí)，樣本的自相關(guān)與偏相關(guān)系數(shù)都顯著不為0，所以，P=Q=1。

2.4 模型的建立

利用計(jì)量經(jīng)濟(jì)軟件Eviews6.0，可以直接建立模型，求解參數(shù)系數(shù)，如建立 ARIMA(4，1，1)(1，1，1)12模型。在主菜單選擇Quick/Estimate Equa-tion，打開方程定義對(duì)話框，輸入

其中，sar(s)和sma(s)分別表示季節(jié)自回歸部分和季節(jié)移動(dòng)平均部分的變量。

點(diǎn)擊確定后，得到圖3所示的結(jié)果。

2.5 模型選擇與檢驗(yàn)

將三個(gè)模型的參數(shù)估計(jì)和相關(guān)檢驗(yàn)結(jié)果匯總列入表1。

圖3 模型參數(shù)估計(jì)與相關(guān)檢驗(yàn)結(jié)果

表2 各模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果及檢驗(yàn)結(jié)果

經(jīng)計(jì)算，各模型都滿足ARMA過(guò)程的平穩(wěn)條件及可逆條件，模型設(shè)定都合理，擬合效果較好，其中第3個(gè)模型的AIC值最小，因此最終選擇第三個(gè)即 ARIMA(4，1，1)(1，1，1)12模型比較合適。

模型診斷通過(guò)殘差序列檢驗(yàn)來(lái)實(shí)現(xiàn)，如果殘差序列是白噪聲序列，則說(shuō)明模型是適應(yīng)的，否則模型需要改進(jìn)。對(duì)以上乘積季節(jié)模型進(jìn)行殘差分析，殘差序列單位根檢驗(yàn)結(jié)果如表2，殘差序列自相關(guān)和偏相關(guān)分析圖結(jié)果如圖4。

表3 殘差序列的單位根檢驗(yàn)

圖4 殘差序列的的自相關(guān)與偏相關(guān)分析圖

殘差分析表明，殘差序列是平穩(wěn)的白噪聲，所建立的模型較好地?cái)M合了時(shí)間序列的數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)。

2.6 預(yù)測(cè)

利用 ARIMA(4，1，1)(1，1，1)12模型，對(duì)我校2009年1月到2010年6月份的借閱量進(jìn)行了預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果表3所示。

表4 實(shí)際值與預(yù)測(cè)值對(duì)比表

從預(yù)測(cè)結(jié)果可以看出，對(duì)2009的年數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)效果非常精確，對(duì)2010年的數(shù)據(jù)除1月份2月份外，也比較精確，這2個(gè)月的數(shù)據(jù)出現(xiàn)大的偏差是因?yàn)?010年學(xué)校放寒假比往年提前了許多，開學(xué)又較晚，2月份學(xué)生基本上不在學(xué)校，從而導(dǎo)致了1月份的數(shù)據(jù)突然變大，2月份的數(shù)據(jù)突然很小，這是往年從來(lái)沒(méi)有的現(xiàn)象，從而可以看做異常數(shù)據(jù)，不予理睬。除了這2個(gè)月異常外，其他4個(gè)月預(yù)測(cè)結(jié)果都非常的滿意，精度很高，我們建立的乘積季節(jié)模型是比較理想的。從這里我們可以發(fā)現(xiàn)，利用此模型還可以發(fā)現(xiàn)異常數(shù)據(jù)，結(jié)合實(shí)際情況對(duì)異常情況作出合理解釋。

3 結(jié)論

與一般時(shí)間序列模型相比，乘積季節(jié)模型需要更多的歷史數(shù)據(jù)，相對(duì)于其他時(shí)序模型，乘積季節(jié)模型具有更廣泛的適用范圍，在現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)生活中具有明顯的趨勢(shì)和季節(jié)性特點(diǎn)的數(shù)據(jù)非常普遍，因此乘積季節(jié)模型較好地解決了這類問(wèn)題的預(yù)測(cè)問(wèn)題，精度較高。本文所建立ARIMA(4，1，1)(1，1，1)12模型較好地?cái)M合了我校圖書借閱規(guī)律，而且歷史數(shù)據(jù)越豐富，模型預(yù)測(cè)的結(jié)果越精確，本文所介紹的乘積季節(jié)模型方法具有較好的實(shí)用性。

［1］ 易丹輝.數(shù)據(jù)分析與Eviews應(yīng)用［M］.北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社，2009

［2］ 彭志行等.ARIMA乘積模型及其在傳染病發(fā)病預(yù)測(cè)中的應(yīng)用［J］.數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2008，(3):75～79

［3］ 張歡.中國(guó)煤炭?jī)r(jià)格的ARIMA模型的建立及其預(yù)測(cè)分析［J］.廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2006，(2):9 ～13

Application of ARIMA multiplicative Seasonal Model to the Forecast for Books Borrowing

LIU Lin

(The library of North China Institute of Science and Technology，Yanjiao Beijing-East 101601)

This article mainly researched the application of multiplicative seasonal model to the forecast forHuake’s books borrowing.It empirically analyzed the number of books borrowing to our university from January 2007 to June 2010.applied difference method to stabilize the sequence data，then made order determination and parameter estimation for the model，established the multiplicative seasonal model ARIMA(4，1，1)(1，1，1)12.The diagnostic test showed that this model had good fitting results of forecasting the number of books borrowing，F(xiàn)inally，this model was applied to predict the books borrowing form January to June of 2010，and the result preferably fit the actual situation.

multiplicative seasonal model;time series;books borrowing;forecast

G250.7

A

1672-7169(2011)03-0105-04

2011-02-01

劉琳(1968-)，女，華北科技學(xué)院圖書館教師。