導(dǎo)數(shù)是微積分的一部分，是微積分中的一個(gè)重要概念，是以極限為基礎(chǔ)的.在初等數(shù)學(xué)中給出了極限、導(dǎo)數(shù)的概念和一些相關(guān)的結(jié)論，但并沒(méi)有用系統(tǒng)的理論知識(shí)推導(dǎo)及證明.但導(dǎo)數(shù)在初等數(shù)學(xué)中確實(shí)處于特殊的地位，也可以說(shuō)是一種解決某些問(wèn)題的重要工具.本文就是利用導(dǎo)數(shù)的基本知識(shí)來(lái)解決初等數(shù)學(xué)中的幾個(gè)問(wèn)題.在教學(xué)中，有機(jī)結(jié)合教材，適當(dāng)講授一些用導(dǎo)數(shù)解決一些數(shù)學(xué)題，不僅能夠鞏固和加深學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生開(kāi)闊思路，提高解題能力也是有益的.
　　一、判斷函數(shù)的單調(diào)性
　　函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)最基本的性質(zhì)之一，是我們研究函數(shù)所要掌握的最基本的知識(shí).它在中學(xué)數(shù)學(xué)中的用處是非常廣泛的，用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性既快捷又容易掌握.
　　例1：討論y=f（x）=x-3x-9x+41的單調(diào)性（x∈R）.
　　解：（1）y′=3x-6x-9=3（x-2x-3）=3（x-3）（x+1）
　?。?）令f′（x）=3（x-3）（x+1）>0?圯x>3或x<-1
　　∴當(dāng)x>3或x<-1時(shí)，f（x）單調(diào)遞增
　?。?）令f′（x）=3（x-3）（x+1）<0?圯-1　　∴當(dāng)-1　　例2：求證：當(dāng)x<0時(shí)，arctanx>x.
　　證明：令f（x）=arctanx-x
　　∵f′（x）=-1=<0
　　∴當(dāng)x<0時(shí)，f（x）單調(diào)遞減
　　∴當(dāng)x<0時(shí)，f（x）>f（0）=0
　　∴當(dāng)x<0時(shí)，arctanx-x>0?圯arctanx>x
　　二、證明不等式
　　例3：求證：e＞1+x（x>0）
　　分析：本題通過(guò)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，自然地將導(dǎo)數(shù)與不等式結(jié)合在一起，靈活考查了學(xué)生全面分析解決問(wèn)題的能力.先構(gòu)造函數(shù)f（x）=e-1-x，再對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，得到f'（x）.然后觀察得到當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，即f（x）在x＞0時(shí)是增函數(shù).最后可得當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞f（0）=0，即e＞1+x.
　　解：令f（x）=e-1-x，則
　　f′（x）=e-1＞0
　　∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù).
　　∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞f（0）=0，
　　即e＞1+x（x>0）.
　　三、函數(shù)的極值（極大值、極小值）
　　1.定義：y=f（x）在x處取極值，且可導(dǎo)，則f′（x）=0，x叫做極值點(diǎn).
　　2.求極值（利用一階導(dǎo)數(shù)列表求極值）
　?。?）求f′（x），使f′（x）＝0，得解x，x（駐點(diǎn)）
　?。?）找出f′（x）不存在的點(diǎn)x
　?。?）列表：
　　如果f′（x）的符號(hào)如上表所示：
　　所以當(dāng)x=x時(shí)，y=f（x）
　　當(dāng)x=x時(shí)，y=f（x）
　　當(dāng)x=x時(shí)，y=f（x）
　　3.求極值（利用二階導(dǎo)數(shù)求極值）
　?。?）求f′（x），使f′（x）＝0，得解x
　?。?）求f″（x）
　?。?）將x代入f″（x）中，求f″（x）的值，若f″（x）>0，則在x取極小值;若f″（x）<0，則在x取極大值;若f″（x）＝0，無(wú)法確定.
　　注：函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)值不存在的點(diǎn)時(shí)，利用二階導(dǎo)數(shù)求極值，否則只能用列表法求極值；如利用二階導(dǎo)數(shù)求極值時(shí)出現(xiàn)無(wú)法確定的情況時(shí)，也只能用列表法來(lái)求極值.
　　例4:求y=f（x）=x-3x-9x+11的極值.
　　解：（1）y′=f′（x）=3x-6x-9=3（x-3）（x+1）
　　令3（x-3）（x+1）＝0，得解x＝3，x＝-1
　　（2）y″=6x-6=6（x-1）
　?。?）當(dāng)x=3時(shí)，f″（3）=12>0，所以當(dāng)x=3時(shí)，y極小=-16;
　　當(dāng)x=-1時(shí)，f″（-1）=-12<0，所以當(dāng)x=-1時(shí)，y極大=16.
　　四、求函數(shù)的最值
　　最值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn).它涉及到高中數(shù)學(xué)知識(shí)的各個(gè)方面，要解決這類(lèi)問(wèn)題往往需要各種技能，并且需要選擇合理的解題途徑.用導(dǎo)數(shù)解決這類(lèi)問(wèn)題可以使解題過(guò)程簡(jiǎn)化，步驟清晰，學(xué)生也好掌握.
　　例5：設(shè)某商品每周生產(chǎn)x單位時(shí)總成本C（x）=100+2x，該產(chǎn)品的需求函數(shù)為x=800-100P，求能使利潤(rùn)最大的P值.
　　解：（1）∵L=R-C，R=xP，∴R=-100P+800P
　　∵C（x）=100+2x，x=800-100P，∴C=-200P+1700
　　∴L=-100P+800P+200P-1700=-100P+1000P-1700
　?。?）L′=-200P+1000，令L′=0?圯P=5
　?。?）L″=-200<0，∴P=5時(shí)，L=L
　　∴能使利潤(rùn)最大的P值為5.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請(qǐng)以PDF格式閱讀”