學(xué)生在初中階段已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的知識，但是初中時期學(xué)生接受知識的能力有限，學(xué)習(xí)二次函數(shù)知識的方法很機(jī)械，不能從本質(zhì)上加以理解和吸收.而進(jìn)入高中階段后，特別是總復(fù)習(xí)的時候，學(xué)生對基本概念和性質(zhì)不能靈活地加以運(yùn)用，所以，對于二次函數(shù)的知識需要進(jìn)一步地深入研究.
　　一、引導(dǎo)學(xué)生深入的理解二次函數(shù)的概念
　　在初中的時候?qū)W生就已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義，但是在高中數(shù)學(xué)的集合基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，這樣就豐富了函數(shù)的概念，利用映射的知識進(jìn)行函數(shù)概念的闡明，這時學(xué)生就可以用已有的知識來了解函數(shù)，尤其是可以用二次函數(shù)來加深對函數(shù)概念的認(rèn)識.二次函數(shù)就是從一個集合A（定義域）到另一個集合B（值域）上的映射f：A→B，使集合B中的元素y=ax+bx+c（a≠0）與集合A中的元素x對應(yīng)，記作f（x）=ax+bx+c（a≠0）.這里的ax+bx+c既表示對應(yīng)的法則，又表示定義域中元素x在值域中的象.這就使學(xué)生對函數(shù)的概念有了一個明確的認(rèn)識。當(dāng)學(xué)生掌握了函數(shù)值的記號之后，就可以讓學(xué)生進(jìn)一步地解決以下問題：1.已知f（x）=2x+x+2，求f（x+1）.這里應(yīng)把f（x+1）理解成自變量為x+1的函數(shù)值，不能把它理解成x=x+1時的函數(shù)值.2.設(shè)f（x+1）=x-4x+1，求f（x）.這個問題應(yīng)該這樣理解：在對應(yīng)法則f下，對于定義域中的元素x+1的象是x-4x+1，求出定義域中的元素x的象，它的本質(zhì)應(yīng)該是求出對應(yīng)的法則.一般有兩種方法：（1）把所給表達(dá)式表示成x+1的多項(xiàng)式.f（x+1）=x-4x+1=（x+1）-6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x-6x+6.（2）應(yīng)用變量進(jìn)行代換：這種方法適應(yīng)性很強(qiáng)，可以適用于一般的函數(shù).令a=x+1，則x=a-1，∴f（a）=（a-1）-4（a-1）+1=a-6a+6，所以f（x）=x-6x+6.
　　二、進(jìn)一步研究二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)
　　在學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性的時候，我們要把二次函數(shù)y=ax+bx+c在（-∞，-］及［-，+∞）兩個區(qū)間上的單調(diào)性的結(jié)論，教會學(xué)生用定義的方式進(jìn)行嚴(yán)格的論證，使它能在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上建立，再充分利用函數(shù)圖像的直觀性，進(jìn)一步給學(xué)生增加適當(dāng)?shù)木毩?xí)訓(xùn)練，讓學(xué)生能逐步利用圖像來學(xué)習(xí)有關(guān)二次函數(shù)單調(diào)性的知識.如：請畫出下列函數(shù)的圖像，并要通過圖像研究它們的單調(diào)性。（1）y=x+2|x|-1；（2）y=x+2|x-1|-1；（3）y=|x-1|.在這里要讓學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的聯(lián)系和差異.要學(xué)會能把含絕對值符號的函數(shù)用分段函數(shù)的方法表示出來，再畫出它的圖像.設(shè)函數(shù)f（x）=x-2x-1在區(qū)間［t，t+1］上的最小值是g（t）.求出g（t）并且畫出y=g（t）的有關(guān)圖像.
　　解：f（x）=x-2x-1=（x-1）-2，在x=1時取最小值-2.
　　當(dāng)1∈［t，t+1］即0≤t≤1時，g（t）=-2.
　　當(dāng)t＞1時，g（t）=f（t）=t-2t-1；
　　當(dāng)t＜0時，g（t）=f（t+1）=t-2.
　　∴g（t）=t-2（t<0）-2（0≤t≤1）t-2t-1（t>1）.
　　一般情況下，一個二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集合R內(nèi)，可能只有最小值，也可能只有最大值，不過如果定義域發(fā)生了變化，則取最大值還是最小值就不能確定了.為了使這方面的知識得到熟悉和鞏固，我們可以再做一些補(bǔ)充練習(xí)進(jìn)行訓(xùn)練，如：求函數(shù)y=3x-5x+6（-3≤x≤-1）的值域范圍.
　　三、利用二次函數(shù)的知識培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力
　　例如：設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax+bx+c（a>0）方程f（x）-x=0的兩個根x，x滿足0　　解題思路：本題要證明的是x　?。?）先證明x　　而f（x）=ax+bx+c，因此有f（x）=a（x-x）（x-x）.
　　又因?yàn)?0.
　　又有a＞0，因此f（x）＞0，即f（x）-x＞0.即證得x　　根據(jù)韋達(dá)定理，有xx=.∵0＜x＜x<，c=axx　　又c=f（0），∴f（0）f（0），因此，當(dāng)x∈（0，x）時，f（x）　?。?）∵f（x）=ax+bx+c=a（x-）+（c-），（a>0），函數(shù)f（x）的圖像對稱軸為直線x=-，并且這是唯一的一條對稱軸.因此，根據(jù)題意得x=-，因?yàn)閤，x是二次方程ax+（b-1）x+c=0的根，根據(jù)韋達(dá)定理得，x+x=-，∵x-<0，∴x=-=（x+x-）<，即x=.
　　總之，二次函數(shù)的外延和內(nèi)涵非常豐富.二次函數(shù)作為最基本的冪函數(shù)，我們可以用它來研究函數(shù)的性質(zhì)變化，從而能建立起函數(shù)方程與不等式間的聯(lián)系，可以演變出靈活多變的數(shù)學(xué)問題，以考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，培養(yǎng)學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，尤其是能從解題的深入程度中區(qū)分出學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力.