摘 要： 三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容之一，而最值問(wèn)題的求解是三角函數(shù)的重要題型，在近幾年的高考題中經(jīng)常出現(xiàn)，極具靈活性。它往往與二次函數(shù)、三角函數(shù)圖像、函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)聯(lián)系在一起，在求解時(shí)，一要注意三角函數(shù)式的變形方向，二要注意正、余弦函數(shù)本身的有界性，還要注意靈活選用方法。本文介紹三角函數(shù)最值問(wèn)題的一些常見(jiàn)類(lèi)型的解題方法。
　　關(guān)鍵詞： 三角函數(shù) 最值問(wèn)題 解法
　　
　　1.引言
　　三角函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)運(yùn)算工具也是高中數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容之一，而最值問(wèn)題的求解是三角函數(shù)的重要題型，在近幾年的高考題中經(jīng)常出現(xiàn)，極具靈活性.這部分內(nèi)容是一個(gè)難點(diǎn)，它對(duì)三角函數(shù)的恒等變形能力及綜合應(yīng)用要求較高.它往往與二次函數(shù)、三角函數(shù)圖像，函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)聯(lián)系在一起，解決這一類(lèi)問(wèn)題的基本途徑，同求解其他函數(shù)最值問(wèn)題一樣，一方面應(yīng)充分利用三角函數(shù)自身的特殊性（如有界性等），另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一些我們所熟知的函數(shù)（二次函數(shù)等）最值問(wèn)題.
　　2.利用配方法
　　我們?cè)趯W(xué)習(xí)一元二次方程解法（ax+bx+c=0其中a≠0）和一元二次函數(shù)（y=ax+bx+c其中a≠0）的時(shí)候就已經(jīng)知道了配方法.其要旨是加減一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.以下我們把它遷移到三角函數(shù)求最值中，注意先把三角函數(shù)化同名，然后利用配方法.
　　例1.求y=sinx+cosx+5的最值.
　　解：y=1-cosx+cosx+5
　　=-cosx+cosx+6
　　=-（cosx-）+
　　當(dāng)cosx=時(shí)，y取最大值，y=；
　　當(dāng)cosx=-1時(shí)，y取最小值，y=.
　　本方法是仿二次函數(shù)的配方法，應(yīng)用面比較廣，也容易領(lǐng)會(huì).只要有一個(gè)三角式或兩個(gè)三角式是二次的就可以使用，該方法使用于以下各種類(lèi)型的三角函數(shù)求最值問(wèn)題：
　　y=asinθ+bcosθ+c?搖y=acosθ+bsinθ+c
　　我們?cè)谧鲞@一類(lèi)問(wèn)題時(shí)一定要考慮對(duì)稱(chēng)軸的位置.
　　3.利用換元法
　　換元法是通過(guò)換元，把復(fù)雜的函數(shù)簡(jiǎn)單化，求出新函數(shù)定義域，運(yùn)用熟悉的求常見(jiàn)代數(shù)函數(shù)的最值方法求解.換元是互相的，可以把三角函數(shù)換作非三角函數(shù)，也可以將非三角函數(shù)換作三角函數(shù)來(lái)求解.因此在考慮問(wèn)題的時(shí)候我們就要多角度思考.
　　例3.求函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.
　　解：設(shè)sinx+cosx=t（由類(lèi)型2知|t|≤）
　　則1+2sinxcosx=t
　　即sinxcosx=
　　∴y=+t=（t+1）-1（-≤t≤）
　　∴當(dāng)t=時(shí)，y=（+1）-1=+.
　　本題是將一個(gè)三角函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題求解，簡(jiǎn)單易用，主要適用于f（sinx±cosx，sinxcosx）函數(shù)類(lèi)的求最值問(wèn)題.該方法的本質(zhì)是將一個(gè)非三角函數(shù)問(wèn)題利用換元的方法化為三角函數(shù)的問(wèn)題，簡(jiǎn)便易用.
　　4.利用有界性
　　在三角函數(shù)中，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)具有一個(gè)最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的有界性是求解三角函數(shù)最值的最基本方法.
　　例4.求函數(shù)y=的最值.
　　解：將原函數(shù)變形為：sinx-ycosx=-2y-1
　　即sin（x-θ）=-（其中θ=arctany）
　　利用|sin（x-θ）|≤1，即||≤1
　　平方整理得-≤y≤0
　　故y=-，y=0.
　　本題是充分利用了函數(shù)有界性的原理，把三角函數(shù)化做非三角函數(shù)問(wèn)題求解，此種方法可以適用于以下類(lèi)型的函數(shù)求解問(wèn)題：
　　y=（或y=），y=，等等.
　　5.利用基本不等式
　　利用基本不等式求函數(shù)的最值，要合理地拆添項(xiàng)、湊常數(shù)，同時(shí)要注意等號(hào)成立的條件，否則會(huì)陷入誤區(qū).
　　例5.求函數(shù)y=msecx+ncscx的最值.
　　解：y=m+n+mtanx+ncotx≥m+n+2|mn|，
　　故y有最小值m+n+2|mn|，無(wú)最大值.
　　本題采用了已有的不等式結(jié)論，大大地簡(jiǎn)化了解題思路.不過(guò)這種方法不是很容易就有的，而是要靠平時(shí)的積累而來(lái).
　　6.利用單調(diào)性
　　函數(shù)在其定義域上都是有其增減性的，我們?cè)诳紤]三角函數(shù)最值時(shí)要好好利用這一知識(shí)點(diǎn)，把三角函數(shù)化作一種常見(jiàn)函數(shù)形式，再利用其單調(diào)性求最值，不失為一種好方法.
　　例6.求函數(shù)y=log+log在-≤x≤上的最值.
　　解：將原函數(shù)化為y=logcosx
　　此函數(shù)在［-，0］上遞增，在［0，］上遞減.
　　所以y=0，y=-.
　　本題要求要熟悉常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性才可以靈活運(yùn)用.
　　7.結(jié)語(yǔ)
　　以上總結(jié)了中學(xué)有關(guān)三角函數(shù)求最值的8種方法，每一種方法都是我們平時(shí)學(xué)習(xí)中常見(jiàn)的方法，可見(jiàn)方法來(lái)源于實(shí)踐，實(shí)踐出真知.方式方法的多樣性體現(xiàn)的是思維模式的多元化，這是學(xué)生數(shù)學(xué)能力得到提高的直接體現(xiàn).
　　
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