摘 要： 本文首先對變式理論作初步梳理，接著以三個實例：三角形中位線的情境導(dǎo)入變式、直接開平方法的變式、一道幾何題的教學(xué)變式談怎樣用變式理論指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，以達到大面積提高教學(xué)質(zhì)量的預(yù)期。
　　關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué)教學(xué)變式理論 變易空間 變易維度
　　
　　變式理論是我國數(shù)學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)的一項重要內(nèi)容。在數(shù)學(xué)教學(xué)中使用變式教學(xué)是一種非常普遍非常頻繁的現(xiàn)象，數(shù)學(xué)教師幾乎沒有不用變式進行教學(xué)的。然而，變式中“變”的含義是什么？為什么要“變”？為什么變式教學(xué)在數(shù)學(xué)學(xué)科中得以廣泛應(yīng)用？變式通常被用在數(shù)學(xué)教學(xué)的哪些方面？怎樣在變式理論的指導(dǎo)下開辟變式教學(xué)的新渠道？這些方面的問題，可能有些老師不清楚，甚至未曾思考過，只是憑經(jīng)驗在使用變式教學(xué)。
　　我國的變式理論與瑞典著名教育家馬飛龍（F.Marton）創(chuàng)立的變易理論十分相似，一脈相承。兩者相比，只是變易理論的視野更開闊些，為變式理論的解讀提供了依據(jù)，變式理論可視為變易理論的特殊情形。無論是變易理論，還是變式理論無不透露出這樣一個理念，即對事物的認識也好，概念的獲得也好，都涉及一個“變”字。這個“變”字指的是“無關(guān)特征或非本質(zhì)特征的變化”。那么，為什么要“變”呢？因為“當一個現(xiàn)象或一個事件的某一方面發(fā)生改變，而另一方面或其他一些方面保持不變時，發(fā)生變化的方面將被識辨”。（Bowden & Marton語） 因此教學(xué)中給學(xué)生呈現(xiàn)變式對他們的學(xué)習至關(guān)重要，“教師應(yīng)當通過變異維數(shù)的擴展引導(dǎo)學(xué)生更好地去認識對象的各個方面”，甚至提出“教學(xué)即變易空間的構(gòu)建”理念。（F.Marton語）
　　數(shù)學(xué)學(xué)科中使用變式教學(xué)享有得天獨厚的優(yōu)勢，原因是什么呢？那是因為數(shù)學(xué)中充滿了“變”，研究的卻是變化中的不變。變量與常量是數(shù)學(xué)中很重要的兩個概念，變換是數(shù)學(xué)中非常重要的數(shù)學(xué)方法和思想，而不變量與不變性才是變換的本質(zhì)特征。變式教學(xué)最終也是為了通過變化，讓學(xué)生掌握變化中的不變。
　　我國傳統(tǒng)意義上的變式教學(xué)，主要指概念性變式，目的是對概念的多角度理解，其次是習題教學(xué)中的一題多解，目的是解題的多樣性。國內(nèi)較早較系統(tǒng)地研究變式教學(xué)當屬顧泠沅教授領(lǐng)導(dǎo)的青浦數(shù)學(xué)教改實驗小組，他們進行了長達15年卓有成效的研究（1977—1992年）。顧教授依據(jù)數(shù)學(xué)對象的兩重性（結(jié)構(gòu)性與過程性）將變式劃分為概念性變式與過程性變式，是變式理論的一次突破性進展。其中過程性變式，就是對給定的概念或規(guī)則的形成性變式、操作性變式，主要的目的當然不再僅僅是加深對該概念或規(guī)則的理解，而是誘發(fā)或促進新概念或規(guī)則的產(chǎn)生。
　　在新課程改革的背景下，怎樣與時俱進，將變式理論這一傳統(tǒng)發(fā)揚光大，使之煥發(fā)勃勃生機，大面積提高教學(xué)質(zhì)量呢？我結(jié)合具體的數(shù)學(xué)教學(xué)實例，談?wù)勅绾蝿?chuàng)造性開展變式教學(xué)。
　　【案例1】三角形中位線情境導(dǎo)入片斷［蘇教版八（上）教材］
　　新課程改革背景下的數(shù)學(xué)課堂基本模式是“問題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用與拓展”。其中設(shè)置恰當?shù)膯栴}情境則是學(xué)生有效探究的必備條件。許多研究表明，每一個學(xué)生都有自己的情境，而課本中設(shè)置的問題情境僅適合一般水平學(xué)生。
　　變式一：主要提供給平時成績最差的一類學(xué)生，屬于準現(xiàn)實情境。
　　問題1：如圖是按照某種方式堆放的木頭，請在觀察的基礎(chǔ)上先完成下表。
　　問題2：圖（1）中3是2、3、4的中位數(shù)，圖（2）中4是3、4、5的中位數(shù)，圖（3）中5是3、4、5、6、7的中位數(shù)。（注：銅山區(qū)已連續(xù)兩年調(diào)整教學(xué)順序，本章節(jié)內(nèi)容是放在第六章數(shù)據(jù)的集中程度之后教學(xué)的）根據(jù)你對中位數(shù)的理解請在下列圖中畫出梯形中位線EF。
　　根據(jù)上表中的數(shù)量關(guān)系，請你猜測梯形的中位線EF和上底AB、CD的關(guān)系（數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系）。
　　問題3：若上述問題中，點A、D按照圖示的方向運動成三角形（如圖）。
　?。?）根據(jù)你的理解，請畫出三角形的中位線EF。
　　（2）請你猜測中位線EF和BC的關(guān)系（數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系），并驗證。
　　設(shè)置這一情境，從規(guī)則堆放木頭→梯形→三角形，逐步引導(dǎo)學(xué)生形成對情境意圖的覺察。
　　范式：即課本上提供的問題情境，主要提供給成績中等的一類學(xué)生，屬于準數(shù)學(xué)化情境。
　　問題1：下圖是一張三角形紙片。請在三角形上剪一刀，使之分成的兩塊正好拼成一個平行四邊形。（注：這里綜合了兩類不同范疇的元素，一類是生活化的：紙片與剪刀，另一類是數(shù)學(xué)化的：三角形和平行四邊形，故稱之為準數(shù)學(xué)化的問題。）
　　（2）若上圖中剪下的位置，我們稱之為三角形中位線，一個三角形有幾條中位線？
　　（3）你能通過圖形給出三角形中位線的定義嗎？
　　問題2：通過觀察，你能發(fā)現(xiàn)中位線和第三邊的關(guān)系嗎？（包括位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系），請求證你的發(fā)現(xiàn)。
　　設(shè)置這一情境，借助剪拼，學(xué)生經(jīng)歷了三角形→平行四邊形→三角形中位線情境序列，學(xué)生受剪拼的啟發(fā)會作出輔助線求證三角形中位線的性質(zhì)。
　　變式二：設(shè)置的問題情境來自數(shù)學(xué)內(nèi)容中，是抽象了的情境，主要提供給成績優(yōu)秀的一類學(xué)生，屬于數(shù)學(xué)化情境。
　　問題1：依據(jù)例1題目改編，如圖，在任意四邊形ABCD中，分別取AB、BC、CD、DA的中點E、F、