我們的生活離不開“影子”，當(dāng)陽光或燈光不是垂直照射時，任何不透明的物體都會有影子.“影子”從來都是某種物體的附屬品，或者是“虛無陰暗”的代表.但科學(xué)家和數(shù)學(xué)家們卻發(fā)現(xiàn)了影子在測量等方面的價值：揭示了日食的秘密，光學(xué)中發(fā)現(xiàn)了成像原理等.
　　不僅如此，影子還有更普遍的意義.在數(shù)學(xué)中，學(xué)習(xí)相似圖形和解直角三角形時，就經(jīng)常會遇到有關(guān)“影子”的問題，由于產(chǎn)生“影子”的光源不同，也就有了解決問題的不同方法.
　　數(shù)學(xué)上影子可以分為平行投影和中心投影兩種.平行投影是平行光線下的投影；中心投影是從一點發(fā)出的光線下的投影.太陽光線可以看成平行光線，探照燈、手電筒、路燈和臺燈的光線可以看成是從一點發(fā)出的光線.有關(guān)這兩種影子的例題在初中數(shù)學(xué)中大致有以下幾種.
　　一、平行光線形成的影子
　　例1.在同一時刻，身高1.6米的小強在陽光下的影長為0.8米，一棵大樹的影長為4.8米，則樹的高度為（ ）
　　A.4.8米 B.6.4米 C.9.6米 D.10米
　　分析：依據(jù)“同一時刻的物高與影長成比例”，即可解決.故選C.
　　例2.張明同學(xué)想利用樹影測量校園內(nèi)的樹高.他在某一時刻測得一棵小樹高為1.5米，其影長為1.2米.當(dāng)他測量教學(xué)樓旁的一棵大樹影長時，因大樹靠近教學(xué)樓，有一部分影子在墻上，經(jīng)測量，地面部分影長為6.4米，墻上影長為1.4米，那么這棵大樹的高約多少米？
　　分析：此問題的影子不完全落在地面上，遇到障礙，一部分落在地面上，另一部分落在墻上.此時，需要根據(jù)題意正確畫出圖形（如圖1），解除障礙的方法可以用抬高地面（如圖2）或光線穿透墻面（如圖3）的方法.
　　解：設(shè)DE=x，若用抬高地面的方法（如圖2），則=，解得x=9.4；
　　若用光線穿透墻面的方法（如圖3），則==，解得x=9.4.
　　答：這棵大樹的高約9.4米.
　　例3.如圖4，在斜坡的頂部有一鐵塔AB，B是CD的中點，CD是水平的，在陽光的照射下，塔影DE留在坡面上.已知鐵塔底座寬CD=12m，塔影長DE=18m，小明和小華的身高都是1.6m，同一時刻，小明站在點E處，影子在坡面上，小華站在平地上，影子也在平地上，兩人的影長分別為2m和1m，那么塔高AB為?搖?搖?搖?搖?搖.
　　分析：雖然光線是平行光線，但鐵塔的影子卻不是落在平地上而是坡面上的，小明和小華的影子是同一時刻分別落在坡面和平地上的影子，這三者之間如何找到解決問題的方法呢？此時，需要根據(jù)題意正確畫出圖形（如圖5），可以發(fā)現(xiàn)△APE∽△FEG，但△APE中缺乏條件，由DE=18m可以想到添加輔助線（如圖6）構(gòu)造相似三角形△ODE∽△FEG，由=得出線段DO的長為14.4m，再過點O作OQ⊥AB于點Q，可知BQ和QO的長，又構(gòu)造了△AQO∽△HMK，由=得出AQ的長為9.6m，最后得出鐵塔的高AB為24m.
　　上述例解說明，因為物體在太陽光線（即平行光線）照射下的影子具有“同一時刻的物高與影長成比例”典型特征，所以根據(jù)題意正確畫出圖形結(jié)合這一特征仔細分析就能找到解決問題的方法.當(dāng)然根據(jù)這一典型特征更簡明地可設(shè)塔高（x+y）米，其中y米高在斜坡上影長18米，x米高在平地上影長6米.滿足=，=，由方程解出：x=9.6，y=14.4，所以x+y=9.6+14.4=24（m）.
　　二、從一點發(fā)出的光線形成的影子
　　例4.如圖7，晚上小亮在路燈下散步，他由A處走到B處這一過程中，他在地上的影子（ ）
　　A.逐漸變短 B.逐漸變長
　　C.先變短后變長 D.先變長后變短
　　分析：這是一個很實際的問題，仔細觀察生活的同學(xué)一般都會有這樣的常識:越走近路燈的影子越短，越遠離路燈的影子越長，因此應(yīng)選C.
　　例5.晚上，阿麗和小亮在廣場的一盞燈下玩，如圖8，AB的長表示王麗的身高，BM表示她的影子，CD的長表示趙亮的身高，DN表示他的影子，請畫出這盞燈的位置.
　　分析：由中心投影的定義可知：這盞燈應(yīng)在兩人之間的上方，連接MA，NC并分別延長，交于點P，則點P即為燈的位置.
　　解：如圖9所示：
　　例6.圓桌正上方的燈泡（看作一個點）發(fā)出的光線照射桌面后，在地面上形成陰影（如圖10）.已知桌面的直徑1.2米，桌面距離地面1米.若燈泡距離地面3米，則地面上陰影部分的面積為?搖?搖?搖?搖.
　　
　　分析：這個生活實際問題，首先抽象成幾何圖形（如圖11），擬求地面上陰影部分的面積，即需求出⊙G的直徑DE的長，由題意可知△ABC∽△ADE，由“相似三角形對應(yīng)高之比等于相似比”可得=，從而計算出DE=1.8米，地面上陰影部分的面積為0.81π平方米.
　　例7.如圖12，晚上，王華由路燈A下的B處走到C處時，測得影子CD的長為1米，繼續(xù)往前走3米到達E處時，測得影子EF的長為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈A的高度AB等于?搖?搖?搖?搖米.
　　分析：我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，從一點發(fā)出的光線在不同的位置形成不同的影子，觀察圖形13可以發(fā)現(xiàn)兩對相似三角形：△GCD∽△ABD，△HEF∽△ABF，得=；=，解之，可得AB的長為6米.
　　注：在解答相似三角形的有關(guān)問題時，遇到有公共邊的兩對相似三角形，往往會用到中介比，它是解題的橋梁，如該題中“”.
　　三、從二點發(fā)出的光線形成的影子
　　例8.晚上，身高為1.80米的小亮走在大街上.當(dāng)他站在大街兩邊的兩盞一樣高的路燈之間，并且自己被兩邊的路燈照在地上的兩個影子成一直線時，自己右邊的影子長為3米，左邊的影子長為1.5米.又知兩盞路燈之間的距離為12米，求路燈的高.
　　分析：
　　方法一：建立如圖14所示的幾何圖形，可以發(fā)現(xiàn)例7中運用的方法在這個問題中仍然適用，利用兩次相似的比例線段，可以求出路燈的高.
　　方法二：如圖15，由于路燈是一樣高的，且都與地面垂直，因此連接GH則可以構(gòu)造出一個矩形，同時又構(gòu)造一對相似三角形△CDE∽△HGE，再延長FE交GH于點Q，由題意知，EQ⊥GH，可由“相似三角形的對應(yīng)高之比等于相似比”得=，即=，由此可求出路燈的高.
　　四、平行投影和中心投影的“結(jié)合”
　　例9.在同一時刻的陽光下，小明的影子比小強的影子長，那么在同一路燈下（ ）
　　A.小明的影子比小強的影子長
　　B.小明的影子比小強的影子短
　　C.小明和小強的影子一樣長
　　D.無法判斷誰的影子長
　　分析：根據(jù)“在同一時刻的陽光下，小明的影子比小強的影子長”可知小明的身高比小強高，但在同一路燈下，站立的位置不同，形成的影長也不同，所以應(yīng)選D.
　　人看物體時的情形與中心投影在本質(zhì)上是一致的，將人的眼睛與點光源類比，視線與點光源發(fā)出的光線相似、影子與盲區(qū)相似.
　　“影子”在日常生活中的應(yīng)用很多，如皮影、手影等給我們帶來無窮樂趣，但有時也會給我們的生活帶來錯覺和不便.在醫(yī)學(xué)上，為了避免影子影響光線的強度而有所失誤，科學(xué)家設(shè)計了一種沒有影子的燈——無影燈.
　　同一時刻物高與影長成比例，這一規(guī)律古人早有所知. 相似原理和比例線段的性質(zhì)，也有著廣泛的應(yīng)用.早在2000多年前，古希臘著名數(shù)學(xué)家、演繹推理學(xué)之父泰勒斯就運用相似原理測量并準確地計算出了金字塔的高度.
　　隨這科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，關(guān)于影子的問題也一定會有新的發(fā)現(xiàn)，我借助對“影子”的問題的研究，將數(shù)學(xué)知識注入了濃厚的生活氣息，從而激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望，為學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)造了生動有趣的情境.知識的探求是無止境的，不斷會有新的奇跡等待著人們?nèi)?chuàng)造.