函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線.函數(shù)的性質(zhì)是歷年數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題和高考數(shù)學(xué)試題的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，其中函數(shù)的對(duì)稱性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，對(duì)稱關(guān)系滲透于各種自然科學(xué)和數(shù)學(xué)問(wèn)題之中.下面通過(guò)同一函數(shù)的對(duì)稱性和不同函數(shù)之間的對(duì)稱性這兩個(gè)方面來(lái)討論函數(shù)的對(duì)稱性.
　　一、同一函數(shù)的對(duì)稱性
　　性質(zhì)1.若函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（2a-x）=2b，則圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對(duì)稱.
　　證明：（必要性）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是y=f（x）圖像上任一點(diǎn)，∵點(diǎn)P（x，y）關(guān)于點(diǎn)A（a，b）的對(duì)稱點(diǎn)P'（2a-x，2b-y）也在y=f（x）的圖像上，∴2b-y=f（2a-x）即y+f（2a-x）=2b故f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得證.
　?。ǔ浞中裕┰O(shè)點(diǎn)P（x，y）是y=f（x）圖像上任一點(diǎn)，則y=f（x）.
　　∵f（x）+f（2a-x）=2b∴f（x）+f（2a-x）=2b，即2b-y=f（2a-x）.
　　故點(diǎn)P'（2a-x，2b-y）也在y=f（x）圖像上，而點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對(duì)稱，充分性得證.
　　推論：（1）若函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（-x）=0，則圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
　?。?）若函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（2a-x）=0，則圖像關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱；
　?。?）若函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（-x）=2b，則圖像關(guān)于點(diǎn)（0，b）對(duì)稱；
　　性質(zhì)2.若函數(shù)f（x）滿足f（a+x）=-f（b-x），則圖像關(guān)于（，0）對(duì)稱.
　　性質(zhì)3.若函數(shù)f（x）滿足f（a+x）=f（b-x），則圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱.
　　推論：（1）若函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（-x），則圖像關(guān)于y軸對(duì)稱;
　?。?）若函數(shù)f（x）滿足f（a+x）=f（a-x）即f（x）=f（2a-x），則圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱.
　　性質(zhì)4.若函數(shù)f（x）圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A（a，c）和點(diǎn)B（b，c）成中心對(duì)稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且周期為2|a-b|.
　　性質(zhì)5.若函數(shù)f（x）圖像同時(shí)關(guān)于直線x=a和直線x=b成軸對(duì)稱（a≠b）則y=f（x）是周期函數(shù)，且周期為2|a-b|.
　　性質(zhì)6.若函數(shù)f（x）圖像既關(guān)于點(diǎn)A（a，c）成中心對(duì)稱又關(guān)于直線x=b成軸對(duì)稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且周期為4|a-b|.
　　證明：∵函數(shù)y=f（x）圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，c）成中心對(duì)稱，
　　∴f（x）+f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：
　　f（2b-x）+f［2a-（2b-x）］=2c（*）
　　又∵函數(shù)y=f（x）圖像直線x=b成軸對(duì)稱，
　　∴f（2b-x）=f（x），代入（*）得：
　　f（x）=2c-f［2（a-b）+x］（**），用2（a-b）-x代x得
　　f［2（a-b）+x］=2c-f［4（a-b）+x］代入（**）得：
　　f（x）=f［4（a-b）+x］，故y=f（x）是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個(gè)周期.
　　二、不同函數(shù)的對(duì)稱性
　　性質(zhì)1.函數(shù)y=f（x）與y=2b-f（2a-x）的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，b）成中心對(duì)稱.
　　性質(zhì)2.函數(shù)y=f（x）與y=-f（x）的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱.
　　性質(zhì)3.函數(shù)y=f（x）與y=f（2a-x）的圖像關(guān)于直線x=a成軸對(duì)稱.
　　性質(zhì)4.函數(shù)y=f（x）與y=2b-f（x）的圖像關(guān)于直線y=b成軸對(duì)稱.
　　性質(zhì)5.函數(shù)yf（x）與y=f（x）與的圖像關(guān)于直線x-y=0成軸對(duì)稱.
　　性質(zhì)6.函數(shù)y=f（x）與y=-f（x）與的圖像關(guān)于直線x+y=0成軸對(duì)稱.
　　性質(zhì)7函數(shù)y=f（a+x）與y=f（b-x）的圖像關(guān)于直線x=成軸對(duì)稱.
　　三、三角函數(shù)的對(duì)稱性
　　性質(zhì)1.函數(shù)y=sinx的圖像的對(duì)稱中心為（kπ，0），對(duì)稱軸為x=kπ+.
　　性質(zhì)2.函數(shù)y=cosx的圖像的對(duì)稱中心為（kπ+，0），對(duì)稱軸為x=kπ.
　　性質(zhì)3.函數(shù)y=tanx和y=cotx的圖像的對(duì)稱中心為（，0）.
　　性質(zhì)4.函數(shù)y=sin（ωx+φ）的圖像若關(guān)于y軸對(duì)稱，則φ=kπ+，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則φ=kπ.
　　性質(zhì)5.若函數(shù)y=cos（ωx+φ）的圖像若關(guān)于y軸對(duì)稱，則φ=kπ，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則φ=kπ+.
　　四、應(yīng)用舉例
　　例1.若非常值函數(shù)f（x）滿足：f（8+x）為偶函數(shù)，且f（4+x）=f（4-x），則f（x）一定是（）
　?。ˋ）既是偶函數(shù)，又是周期函數(shù)（B）是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)（C）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)（D）是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)
　　解：∵f（8+x）為偶函數(shù)，∴f（8+x）=f（8-x），又f（4+x）=f（4-x）∴f（x）是以8為周期的周期函數(shù)∴f（x）=f（x+8），即f（x）是偶函數(shù).故選（A）.
　　例2設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）、g（x）存在反函數(shù)，并且f（x-1）和g（x-2）函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，若g（8）=2011，那么f（7）=（）
　?。ˋ）2010 （B）2011 （C）2012 （D）2013
　　解：∵y=g（x-2）反函數(shù)是y=f（x-1）又y=g（x-2）的反函數(shù)是：y=g（x）+2，∴f（x-1）=g（x）+2，∴f（8-1）=2+g（8）=2013，故f（7）=2013，應(yīng)選（D）.
　　例3設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（2+x）=f（2-x），當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，f（x）=2x+1，則f（9）=?搖?搖?搖?搖
　　解：∵f（x）是奇函數(shù)，又f（2+x）=f（2-x）∴f（x）關(guān)于直線x=2對(duì)稱.故y=f（x）是以8為周期的周期函數(shù)，∴f（9）=f（8+1）=f（1）=-f（-1）=1.
　　例4.已知函數(shù)f（x）=，函數(shù)y=g（x）的圖像與y=（x+1）的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求g（11）的值.
　　解：∵函數(shù)y=g（x）與y=f（x+1）互為反函數(shù)，又∵函數(shù)y=f（x+1）的反函數(shù)為y=f（x）-1，∴g（x）=f（x）-1=，∴g（11）=.
　　例5.函數(shù)y=sinxcosx+cosx-的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為（）
　?。ˋ）（，-） （B）（，-）
　?。–）（-，） （D）（，-）
　　解：∵y=sin（2x+）-
　　∴2x+=kπ即x=-
　　∴選（B）
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文