摘 要： 人教社阻尼振動(dòng)的圖像中相鄰兩次同向到平衡位置所需時(shí)間顯著不相等，很多學(xué)生大惑不解，很多解釋牽強(qiáng)附會(huì)，文章通過(guò)科學(xué)探究證明人教社的阻尼振動(dòng)圖像存在明顯的錯(cuò)誤。
　　關(guān)鍵詞： 人教社 阻尼振動(dòng) 圖像 周期
　　
　　下面是人民教育出版社關(guān)于阻尼振動(dòng)圖像的論述：
　　“做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體受到回復(fù)力，是振動(dòng)系統(tǒng)內(nèi)部的相互作用力。如果振動(dòng)系統(tǒng)不受外力的作用，此時(shí)的振動(dòng)叫固有振動(dòng)，其振動(dòng)的頻率成為固有頻率。當(dāng)系統(tǒng)受到阻力作用時(shí)，我們說(shuō)振動(dòng)受到了阻尼。系統(tǒng)克服阻尼的作用要做功，消耗機(jī)械能，因而振幅減小，最后停下來(lái)。這種振幅減小的振動(dòng)，叫阻尼振動(dòng)。圖1是阻尼振動(dòng)的圖像。”
　　從阻尼振動(dòng)的圖像可以看出阻尼振動(dòng)相鄰兩次同向運(yùn)動(dòng)到平衡位置所需時(shí)間是越來(lái)越短，特別是最后相鄰兩次同向運(yùn)動(dòng)到平衡位置所用的時(shí)間比開(kāi)始所用時(shí)間明顯偏短，這不難讓學(xué)生產(chǎn)生疑惑：
　　阻尼振動(dòng)是否具有周期性？阻尼振動(dòng)若有周期，其周期為何會(huì)變??？是不是人教社的阻尼振動(dòng)圖像錯(cuò)了？
　　為了搞清楚學(xué)生心目中的疑問(wèn)，我們首先來(lái)看阻尼振動(dòng)是否有周期的問(wèn)題。
　　物體完成一次全振動(dòng)所需的時(shí)間，叫做振動(dòng)的周期。在周期的定義中存在全振動(dòng)這個(gè)概念，全振動(dòng)是指做機(jī)械振動(dòng)的物體從某個(gè)點(diǎn)出發(fā)，等到下次回到該點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和開(kāi)始振動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全相同，且所用時(shí)間最短。所以能重復(fù)原來(lái)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（位移、速度、加速度等）的機(jī)械振動(dòng)才是全振動(dòng)，非等幅的阻尼振動(dòng)不是全振動(dòng)，所以它是沒(méi)有周期的。例如：大阻尼振動(dòng)和臨界阻尼振動(dòng)，阻尼比大于等于1，振子運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間t按指數(shù)規(guī)律減小，并趨向平衡位置，故不具備振動(dòng)性質(zhì)，也就不具有周期。對(duì)于小阻尼振動(dòng)，阻尼比小于1，振子運(yùn)動(dòng)規(guī)律是按指數(shù)規(guī)律衰減的振幅為時(shí)間t的函數(shù)的振動(dòng)，稱衰減振動(dòng)。不過(guò)cos（ω′t+φ）是周期變化的，它使得質(zhì)點(diǎn)每連續(xù)兩次通過(guò)平衡位置并沿著相同方向運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間是一樣的，于是把cos（ω′t+φ）的周期叫做阻尼振動(dòng)的周期用T′表示，與數(shù)學(xué)上通常理解的周期不同。
　　搞清了阻尼振動(dòng)的周期，我們重點(diǎn)來(lái)看小阻尼振動(dòng)的周期T′。
　　阻尼振動(dòng)是否具有“等時(shí)性”，有兩種不同的說(shuō)法。第一種說(shuō)法認(rèn)為具有“等時(shí)性”，理由是阻尼振動(dòng)的振幅雖然在不斷減小，但可以看成是由很多個(gè)振幅不斷減小的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的疊加，由于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，它的周期與振幅無(wú)關(guān)，所以阻尼振動(dòng)和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位是一致的，節(jié)奏也是相同的，所以具有“等時(shí)性”。第二種說(shuō)法認(rèn)為不具有“等時(shí)性”，理由是物體做阻尼振動(dòng)時(shí)，由于機(jī)械能的損失。振子前后兩次通過(guò)同一點(diǎn)時(shí)，后一次的速度肯定比前一次的小。這樣，從平衡位置到達(dá)最大位移處的平均速度總比返回時(shí)的平均速度大，所以回來(lái)就變慢了，對(duì)應(yīng)的時(shí)間也就長(zhǎng)了。按這種推理，阻尼振動(dòng)的振動(dòng)節(jié)奏會(huì)變得越來(lái)越慢，最后停止下來(lái)，周期變?yōu)闊o(wú)窮大，所以不具有“等時(shí)性”。
　　下面我們來(lái)討論小阻尼振動(dòng)的振幅和周期T′，以便來(lái)探究人民教育出版社關(guān)于阻尼振動(dòng)圖像科學(xué)性。
　　為此，我們先來(lái)求簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)振動(dòng)方程。
　　根據(jù)牛頓第二定律，作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的微分方程寫(xiě)成：
　　m=-kx
　　即：
　　+ωx=0
　　式中ω=，ω是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率。微分方程的解是：x=Acos（ωt+α）。
　　流體力學(xué)告訴我們，振子在流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)所受阻力的大小和速度的大小成正比，由牛頓第二定律，得：
　　m=-kx-y。
　　兩邊除以m，得：
　　=-x-。
　　令ω=，β=，
　　ω為振動(dòng)系統(tǒng)的固有圓頻率，β為阻尼系數(shù)，和振動(dòng)系統(tǒng)的性質(zhì)以及介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)。于是，方程可寫(xiě)為：
　　=2β+ωx=0。
　　為了和高中教材討論的阻尼振動(dòng)一致，我們討論的是阻力很小的阻尼振動(dòng)，即β＜ω，由上式可求出振子的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：
　　x=Aecos（ω′t+α），（ω′=）
　　A和a為待定常數(shù)，由初始條件決定。Ae表示隨時(shí)間衰減的振幅，cos（ω′t＋a）表示振動(dòng)以ω′為圓頻率周期性變化，二因子相乘表示質(zhì)點(diǎn)做運(yùn)動(dòng)范圍不斷縮小的往復(fù)運(yùn)動(dòng)。由于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不可能每經(jīng)過(guò)一定時(shí)間便完全重復(fù)出現(xiàn)，因此阻尼振動(dòng)不是周期運(yùn)動(dòng)。不過(guò)，cos（ω′t＋a）是周期變化的，它保證了質(zhì)點(diǎn)每連續(xù)兩次同向運(yùn)動(dòng)到平衡位置的時(shí)間間隔是相同的，可見(jiàn)“等時(shí)性”具有非常嚴(yán)格的條件。而且由于阻尼振動(dòng)的周期T′=大于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的固有周期T=，可見(jiàn)阻尼振動(dòng)的節(jié)奏想對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)來(lái)說(shuō)變慢了。我們可以在阻尼很小的情況下，用單擺來(lái)驗(yàn)證上述結(jié)論。
　　由以上分析可以知道，阻尼振動(dòng)的周期T′是不變的，但比無(wú)阻尼振動(dòng)的周期長(zhǎng)了。上述第一種說(shuō)法不完全正確，第二種說(shuō)法是錯(cuò)誤的。
　　由此得出結(jié)論：人教社所給的阻尼振動(dòng)的圖像是在阻尼較小的情況下的振動(dòng)圖像，這個(gè)圖像是不科學(xué)的。錯(cuò)在：振子相鄰兩次同向運(yùn)動(dòng)到平衡位置應(yīng)當(dāng)需要相等的時(shí)間。這會(huì)給師生帶來(lái)不必要的誤會(huì)，有失科學(xué)課的初衷。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
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　?。?］唐果南.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材《教師用書(shū)》選修3—4［M］.北京：人民教育出版社，2008：15.
　　注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請(qǐng)以PDF格式閱讀”