摘 要： 本文從波動(dòng)理論入手，得出了一維多球碰撞過程中的速度分配比例，這一比例由彈性球的楊氏模量和密度決定。常見的交換速度現(xiàn)象僅僅是一種特例，選擇合適的材料，可以在實(shí)驗(yàn)中觀察到其他速度分配情況。
　　關(guān)鍵詞： 波動(dòng)理論 一維多球碰撞 速度分配問題
　　
　　兩個(gè)彈性球發(fā)生一維正碰時(shí)，將交換速度。而當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)的直線正碰一排緊挨著的靜止彈性球時(shí)，人們往往想當(dāng)然地認(rèn)為它們將逐次碰撞而交換速度，其情形相當(dāng)于兩個(gè)彈性球相互碰撞的重復(fù)，最終效果為入射球與最后一個(gè)球交換速度，其余彈性球保持靜止。盡管這一結(jié)論已經(jīng)在牛頓擺中得到證實(shí)，但是得出“入射球與最后的被碰球交換速度”的結(jié)論過于勉強(qiáng)。
　　為了便于說明問題，下面我以三個(gè)彈性球的碰撞為例，對一維多球彈性碰撞問題展開討論。
　　1．理論計(jì)算
　　當(dāng)球A與球B碰撞的過程中，球B與球C之間將不可避免地發(fā)生擠壓。如果以球A和球B組成的系統(tǒng)為研究對象，動(dòng)量和能量將不再守恒，那么交換速度的結(jié)論也無法得出；如果把球A、球B和球C組成的系統(tǒng)為研究對象，動(dòng)量和能量顯然守恒，但是兩個(gè)獨(dú)立的方程無法求解三個(gè)小球的末速度。
　　如果變換一下思路，從波動(dòng)的角度來看，一維多球碰撞問題，其實(shí)就是彈力在彈性球之間的傳遞問題；一維多球碰撞過程，其實(shí)就是一列縱波的傳播過程。
　　考慮在一條直線的三個(gè)完全相同的彈性球，球的半徑為r，球A以某一速度v向右運(yùn)動(dòng)，球B和球C靜止（如圖1），在球A撞擊球B的短暫過程中，可以把球A看作波源，把球B和球C看作介質(zhì)，球A對球B的撞擊情形將以一個(gè)恒定的速度向前方傳遞，這個(gè)速度就是縱波在彈性球中傳播的速度。
　　由波動(dòng)理論可知，縱波在彈性介質(zhì)中的波速?zèng)Q定于介質(zhì)的彈性模量及其密度。對于固態(tài)介質(zhì)，縱波的傳播速度與楊氏模量有關(guān)，其值為:v=，式中E為介質(zhì)的楊氏模量，ρ為介質(zhì)的密度。
　　如果把連續(xù)碰撞所對應(yīng)的縱波抽象為振幅為A簡諧波，把球A與球B剛剛接觸的時(shí)刻記作計(jì)時(shí)起點(diǎn)，把球A與球B剛剛接觸時(shí)球A的位置記作坐標(biāo)原點(diǎn)（如圖2），則在開始運(yùn)動(dòng)的很短一段時(shí)間內(nèi)，球A的坐標(biāo)方程為：
　　x=Asin（ωt）（1）
　　球A的速度方程為:
　　v′=vcos（ωt）（2）
　　球B開始振動(dòng)的時(shí)刻為:
　　t=t-.
　　球B的坐標(biāo)方程為：
　　x=2r+asin［ω（t-）］（3）
　　在球A和球B分離的瞬間，球A和球B之間的距離等于2r，即：
　　x-x=2r（4）
　　把（1）、（3）代入（4）式可得：
　　sin（ωt）-sin［ωt-ω）］=0
　　由和差化積公式可得：
　　2cos（ωt-ω）sin（ω）=0.
　　由于sin（ω）是一個(gè)與時(shí)間無關(guān)的常量，可以得到：
　　cos（ωt-ω）=0
　　即：
　　ωt=+ω（5）
　　把（05）式代入（02）式，可得彈性球A分離的速度為：
　　v′=-vsin（ω）（6）
　　以三個(gè)彈性球組成的系統(tǒng)為研究對象，由動(dòng)量守恒定律可得：
　　mv=mv′+mv′+mv′（7）
　　由機(jī)械能守恒定律可得：
　　mv=mv′+mv′+mv′（8）
　　由（7）和（8）聯(lián)立求解可得，球B與球C分離后的速度為：
　　v′=
　　v′=（9）
　　考慮到碰撞結(jié)束以后，球B的速度不大于球C的速度，即v′≥v′，則：
　　v′=
　　v′=（10）
　　為了保證（10）式有實(shí)數(shù)解，必然有：
　　v-3v′+2vv′≥0存在，即：
　　v≥v′≥-v（11）
　　由（6）和（11）可得
　　0≥v′≥-v（12）
　　把（6）代入（10）式可得:
　　v′=-vsin（ω） （0≥v′≥-v）
　　v′=
　　v′=
　　上式可化簡為：
　　v′=-［sin（ω）］v （0≥v′≥-v）
　　v′=v
　　v′=v（13）
　　式中的v=，E為介質(zhì)的楊氏模量，ρ為介質(zhì)的密度.
　　2．討論
　　當(dāng)彈性球的楊氏模量非常大時(shí)，縱波在彈性球中的傳播速度v=就非常大，代數(shù)式sin（ω）→0，上式可以簡化為v′=0、v′=0和v′=v，這就是我們在實(shí)驗(yàn)中常常見到的交換速度的現(xiàn)象.
　　因?yàn)樵诔Ｒ姷呐鲎矊?shí)驗(yàn)中，彈性球多采用鋼球，以一般鋼球?yàn)槔?，E=200×10N/m，ρ=7.85×10kg/m，則作用力的傳播速度可由彈性體中縱波波速公式得出：v==5.04×10m/s.
　　這一速率與彈性球的直徑（通常約為d=3cm）相比實(shí)在是太大了，因此觀測到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果非常接近于v′=v′=0，v′=v的剛體極限情形.
　　當(dāng)彈性球的楊氏模量非常小時(shí)，縱波在彈性球中的傳播速度v=就比較小，彈性球A的反彈速度v′→-v，此時(shí)三個(gè)彈性球碰撞之后的的速度值分別為：
　　v′=-v，v′=-v，v′=-v.
　　當(dāng)彈性介質(zhì)的楊氏模量界于極大和極小之間的一般情形時(shí)，碰撞以后的三個(gè)彈性球的速度值如（13）式所示.此時(shí)球A將發(fā)生反彈現(xiàn)象，球B的速度小于v，球C的速度大于v，它們之間的速度交換關(guān)系將不復(fù)存在.這一結(jié)論已經(jīng)在氣墊導(dǎo)軌上的三個(gè)滑塊的碰撞實(shí)驗(yàn)中得到證實(shí).
　　3．結(jié)論
　　由上面的討論可見，三體以上的一維正碰問題比較復(fù)雜，不能用彈性球之間相繼碰撞的簡單模式來理解，作用力在碰撞體中的傳播速度決定了碰撞后各球的速度分配情況，速度極大時(shí)對應(yīng)了實(shí)驗(yàn)中常常見到的交換速度的現(xiàn)象。如果選取楊氏模量很小的彈性碰撞球，就可以從實(shí)驗(yàn)上觀察到其他速度分配情況。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　　［1］段吉輝，徐從蘭，盂昭敏．物理學(xué)演示實(shí)驗(yàn)手冊.
　?。?］徐目新．中學(xué)物理簡明手冊浙江人民出版社，1980.
　?。?］李增林．力學(xué)．南京工學(xué)院出版社，1988.
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