摘 要： 本文以微分方程為理論基礎(chǔ)，綜合運(yùn)用機(jī)理分析的一般原理，將人群分為三類(lèi)：正常人（易受感染者）、確診患者和治愈免疫者，建立了轉(zhuǎn)化關(guān)系，研究了甲型H1N1流感傳播模型及其傳播規(guī)律，并對(duì)疫情的傳播時(shí)間和程度做出預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)疫情將于2009年11月和12月達(dá)到高峰期，2010年8月將會(huì)基本消除。但加強(qiáng)控制措施和早日研發(fā)出防疫藥品的舉措將會(huì)對(duì)疫情起到控制作用，可提早消除疫情。
　　關(guān)鍵詞： 甲型H1N1流感 傳播模型 日感染率 日治愈率
　　
　　甲型H1N1流感（原稱(chēng)人感染豬流感）是一種由A型豬流感病毒引起的豬呼吸系統(tǒng)疾病，該病毒可在豬群中造成流感暴發(fā)。人可能通過(guò)接觸受感染的生豬或接觸被豬流感病毒感染的環(huán)境，或通過(guò)與感染豬流感病毒的人發(fā)生接觸而受到感染。人感染豬流感后的癥狀與普通人流感相似，包括發(fā)熱、咳嗽、喉嚨痛、身體疼痛、頭痛、發(fā)冷和疲勞等，有些還會(huì)出現(xiàn)腹瀉和嘔吐，重者會(huì)繼發(fā)肺炎和呼吸衰竭，甚至死亡。［１］
　　2009年4月23日，墨西哥發(fā)現(xiàn)第一例甲型H1N1流感病例，隨后迅速傳遍世界各大洲。2009年5月11日，我國(guó)出現(xiàn)首例甲型H1N1流感確診病例，隨后甲型H1N1流感確診病例急劇增加，形勢(shì)嚴(yán)峻。2010年8月10日，世界衛(wèi)生組織宣布，甲型H1N1流感大流行已經(jīng)結(jié)束，甲型H1N1病毒的傳播基本上接近尾聲。雖然世界衛(wèi)生組織宣布甲型H1N1流感大流行結(jié)束，但這并不意味著甲型流感病毒已徹底消失。經(jīng)驗(yàn)表明，這種病毒今后表現(xiàn)將與季節(jié)性流感病毒類(lèi)似，未來(lái)幾年內(nèi)會(huì)繼續(xù)存在。世界衛(wèi)生組織預(yù)計(jì)，甲型流感病例和地區(qū)性暴發(fā)仍可能繼續(xù)出現(xiàn)。至少在今后一段時(shí)間內(nèi)，甲型H1N1病毒可能會(huì)繼續(xù)對(duì)較年輕人群造成比較嚴(yán)重的影響，在流感大流行時(shí)期被確認(rèn)為高風(fēng)險(xiǎn)的群體（如孕婦、兒童、慢性病患者等）仍將面臨很高的感染風(fēng)險(xiǎn)。因此，研究甲型H1N1流感的傳播過(guò)程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，探索制止甲型H1N1蔓延的手段有著重要的醫(yī)學(xué)意義和社會(huì)價(jià)值，也可以為將來(lái)可能發(fā)生的新病毒性傳染病的預(yù)防與控制提供參考。
　　1.問(wèn)題的分析
　　甲型H1N1流感在我國(guó)蔓延，嚴(yán)重威脅著人民的身體健康與生命安全，給我國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來(lái)了很大影響。因此，定量地研究甲型H1N1流感的傳播規(guī)律，為預(yù)測(cè)和控制甲型H1N1流感蔓延創(chuàng)造條件是非常重要的。建立甲型H1N1流感傳播的數(shù)學(xué)模型，恰恰可以預(yù)測(cè)一定地區(qū)、一定時(shí)期內(nèi)的發(fā)病趨勢(shì)及程度wqXz42PH971L+QJx/JSGuT4YeV107OPJ3otogbReHWo=。因此，我們以我國(guó)為探討對(duì)象，通過(guò)從網(wǎng)站上獲得的大量數(shù)據(jù)，考查我國(guó)內(nèi)地疫情變化。
　　考查中國(guó)內(nèi)地疫情變化，在疾病傳播期間不考慮人口的出生率和死亡率，人口總數(shù)不變，即為常量。中國(guó)內(nèi)地甲型H1N1流感疫情最初由國(guó)外歸來(lái)者攜帶而來(lái)，病例報(bào)告省市集中在航空、陸路口岸較多或?qū)ν饨煌l繁、旅游資源豐富的省份，病例多為青壯年（30歲以下占70%以上）。參考2003年SARS（嚴(yán)重急性呼吸道綜合癥，俗稱(chēng)非典型肺炎）傳播的情況，從中可知2003年SARS主要在廣州和北京蔓延，結(jié)合甲型H1N1流感的疫情情況進(jìn)行考慮，這里不妨假設(shè)甲型H1N1流感也主要是在廣州和北京蔓延。由研究發(fā)現(xiàn)甲型H1N1流感的易感染人群大多為青壯年，而廣州和北京的總?cè)丝诖蠹s為2000萬(wàn)，假設(shè)廣州和北京的青壯年占這兩個(gè)地區(qū)總?cè)丝诘?，即約為400萬(wàn)人。據(jù)世界衛(wèi)生組織統(tǒng)計(jì)，每年季節(jié)性流感流行會(huì)導(dǎo)致全球5%—15%的人口發(fā)生呼吸道感染，而內(nèi)地自從2009年5月11日發(fā)現(xiàn)第一例病例以來(lái)就在全社會(huì)范圍內(nèi)加強(qiáng)醫(yī)療衛(wèi)生手段和控制預(yù)防措施，因此不妨假設(shè)甲型H1N1流感會(huì)導(dǎo)致廣州和北京這兩個(gè)地區(qū)5%的青壯年受到感染，所以保守估計(jì)在此傳染病系統(tǒng)的人數(shù)大約為N=20萬(wàn)?？紤]到我國(guó)甲型H1N1流感傳播的自身特點(diǎn)，把人群分為易感類(lèi)（S類(lèi)）、傳染類(lèi)（I類(lèi)）和移出類(lèi)（R類(lèi)）。
　　2.模型的假設(shè)
　?。?）健康者為尚未接觸到病毒不具免疫力的人，即易感者；
　?。?）甲型H1N1流感的傳播途徑都視為與病源的直接接觸，每個(gè)病人與健康者接觸時(shí)，都使健康者受感染變成病人；
　?。?）被H1N1感染后經(jīng)治療康復(fù)的人群在甲型H1N1流感流行期不會(huì)被再次感染；
　?。?）病人被嚴(yán)格隔離、治愈或者死亡后，不再有感染作用；
　?。?）從各大網(wǎng)站獲得的資料及相關(guān)數(shù)據(jù)真實(shí)可靠；
　?。?）不考慮人口的流動(dòng)，僅僅在一個(gè)國(guó)家范圍內(nèi)研究甲型H1N1流感疫情的發(fā)展過(guò)程；
　?。?）忽略在甲型H1N1流感疫情持續(xù)期內(nèi)人口的自然出生率和自然死亡率，假定在這段時(shí)間內(nèi)，總?cè)藬?shù)保持不變。
　　3.符號(hào)說(shuō)明
　　S（t）：易感類(lèi)人群占總?cè)藬?shù)的比例。
　　I（t）：傳染類(lèi)人群占總?cè)藬?shù)的比例。
　　R（t）：移出類(lèi)人群占總?cè)藬?shù)的比例。
　　λ：日感染率。
　　設(shè)每個(gè)患者每日感染健康者的平均人數(shù)為日感染率，記為λ，則：
　　λ=
　　μ：日治愈率。
　　每日被治愈的患者人數(shù)占其總數(shù)的比例為日治愈率，記為μ，則：
　　μ=
　　λ：平均日感染率。
　　μ：平均日治愈率。
　　σ：定義整個(gè)傳染期內(nèi)每個(gè)患者有效接觸的平均人數(shù)為接觸數(shù)σ，σ=。
　　t：時(shí)間，以天為單位。
　　4.模型的建立
　　4.1傳播機(jī)理分析
　　把人群分為三類(lèi)：第一類(lèi)S類(lèi)，稱(chēng)為易感類(lèi)，該類(lèi)成員沒(méi)有染上傳染病，但缺乏免疫能力，可能被染上傳染病；第二類(lèi)I類(lèi)，稱(chēng)為傳染類(lèi)，該類(lèi)成員已經(jīng)染上傳染病，而且可以傳染給S類(lèi)成員。第三類(lèi)R類(lèi)，稱(chēng)為移出類(lèi)，R類(lèi)成員或者是I類(lèi)成員被嚴(yán)格隔離、治愈或者死亡等。I類(lèi)成員轉(zhuǎn)化為R類(lèi)后，不具有傳染能力。在甲型H1N1流感蔓延期間，我國(guó)到10月份才出現(xiàn)死亡病例，因病死亡的情況極少，故此處不考慮死亡者。S（t）、I（t）、R（t）分別表示時(shí)刻上述3類(lèi)成員占系統(tǒng)內(nèi)人口總數(shù)的比例，且
　　S（t）+I（t）+R（t）=1（4.1-1）
　　4.2建立模型
　　由上述疾病傳播法則，我們來(lái)考慮單位時(shí)間內(nèi)各類(lèi)人群的變化情況。
　　Step1：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)易感人群S的變化
　　易感者和發(fā)病者有效接觸后成為感染者，設(shè)每個(gè)發(fā)病者平均每天有效感染的易感者數(shù)為λS，NI個(gè)發(fā)病者平均每天能使λSNI個(gè)易感者成為傳染病確診患者。因此易感類(lèi)人數(shù)的變化情況如下。
　　易感類(lèi)人數(shù)的變化=-新感染病毒的人數(shù)
　　于是有：
　　=-λSI（4.2-1）
　　Step2：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)確診患者人數(shù)的變化
　　每天有一部分人轉(zhuǎn)化為確診患者，同時(shí)還會(huì)有一部分原來(lái)的確診患者治愈出院或未治愈而死亡。因此確診患者數(shù)的變化情況如下。
　　確診患者數(shù)的變化=新增確診患者數(shù)－治愈者數(shù)
　　于是有：
　　=λSI-μI（4.2-2）
　　Step3：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)治愈免疫者人數(shù)的變化
　　由于治愈后的患者會(huì)對(duì)該病毒具有免疫性，因此不會(huì)再次感染，也不會(huì)感染其他易感人群；另外由于部分未治愈而死亡者不會(huì)影響病毒的傳播，因此治愈者人數(shù)的變化情況如下。
　　治愈免疫者數(shù)的變化=新增治愈免疫者數(shù)
　　=μI（4.2-3）
　　因此考慮SIR傳染模型［２－３］，該模型的方程為
　　=λSI-μI=-λSII（0）=I，S（0）=S（4.2-4）
　　5.參數(shù)λ和μ的確定
　　5.1參數(shù)λ和μ的分析
　　甲型Ｈ１Ｎ１流感對(duì)我國(guó)而言是一種輸入性疾病。在我國(guó)還沒(méi)有出現(xiàn)甲型H1N1流感病例之前，黨中央、國(guó)務(wù)院就已經(jīng)高度重視在墨西哥等國(guó)發(fā)生的人感染豬流感疫情的發(fā)展情況和我國(guó)的防范工作。在整個(gè)H1N1流感蔓延時(shí)期，我國(guó)始終全力做好醫(yī)療救治工作和采取強(qiáng)而有力的防控措施。因此，在H1N1流感持續(xù)期間，每天的日感染率和每天的日治愈率相差不會(huì)特別大。
　　
　　5.2求解參數(shù)λ和μ
　　衛(wèi)生部門(mén)公布的疫情信息中，2009年6月16日到2009年7月7日這一段時(shí)間的數(shù)據(jù)是比較完整的。我們就用2009年6月16日到2009年7月7日這一段時(shí)間的數(shù)據(jù)來(lái)求和的值。
　　由公式λ=可以算出2009年6月16日到2009年7月7日這一段時(shí)間中每一天的日感染率，平均日感染率λ可由每天相應(yīng)數(shù)據(jù)平均求得。由公式μ=可以算出2009年6月16日到2009年7月7日這一段時(shí)間中每一天的日治愈率，平均日治愈率μ可由每天相應(yīng)數(shù)據(jù)平均求得。根據(jù)衛(wèi)生部門(mén)公布的數(shù)據(jù)可求得λ=0.1734，μ=0.1373，則接觸數(shù)σ==1.2629。
　　6.模型的求解
　　6.1數(shù)值運(yùn)算
　　由于在方程（4.2-4）中無(wú)法求出S（t）和I（t）的解析解，故用Matlab求其數(shù)值解。據(jù)中國(guó)衛(wèi)生部公布的信息，2009年5月11日的確診病例累計(jì)為1，治愈出院累計(jì)為0，故：
　　S==0.999995（6.1-1）
　　I==0.000005（6.1-2）
　　而λ和μ的值也已經(jīng)求出來(lái)了。運(yùn)用上述計(jì)算得到的λ，μ，S，I，用Matlab軟件畫(huà)出I（t）、S（t）、I~S的圖形分別見(jiàn)圖5-1~圖5-3。
　　6.2相軌線(xiàn)分析［５］
　　由于方程（4.2-4）無(wú)法求出S（t）和I（t）的解析解，我們?cè)趫D形觀察的基礎(chǔ)上，利用相軌線(xiàn)討論解S（t），I（t）的性質(zhì)：
　　I~S平面稱(chēng)為相平面，相軌線(xiàn)在相平面的定義域（S，I）∈D為D={（S，I）|S≥0，I≥0，S+I≤1}，在方程（4.2-4）中消去dt并注意到接觸數(shù)σ的定義，可得：
　　=-1I|=I（6.2-1）
　　容易求出方程（6.2-1）的解為：
　　I=（S+I）-S+1n（6.2-2）
　　在定義域內(nèi)，（6.2-2）式表示的曲線(xiàn)即為相軌線(xiàn)，如圖5-3所示。
　　由以上分析可知：
　?。?）不論初始條件S、I如何，患者人數(shù)終將消失，即I=0。從相軌線(xiàn)圖形上看，無(wú)論從哪一點(diǎn)出發(fā)，I（t）終將與S軸相交（t充分大）。
　?。?）最終未感染者的比例是S，在式（6.2-2）中令I(lǐng)=0，得到S是方程（S+I）-S+1n=0（6.2-3）
　　在（0，）內(nèi)的根，在圖形上S是相軌線(xiàn)與S軸在（0，）內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，此例中的S約為0.62。
　?。?）若S＞，則I（t）先增加，當(dāng)S=時(shí)，I（t）達(dá)到最大值I=S+I-（1+1nσS）（6.2-4）
　　然后I（t）減小且趨于0，S（t）則單調(diào)減小至S；若S≤，則I（t）單調(diào)減小至0，S（t）單調(diào)減小至S。
　　可以看出，如果僅當(dāng)患者比例I（t）有一段增長(zhǎng)的時(shí)期才認(rèn)為傳染病在蔓延，那么是一個(gè)閾值，當(dāng)S＞（即σ）時(shí)傳染病就會(huì)蔓延。而減小傳染期接觸數(shù)σ，即提高閾值，使得S≤（即σ≤），傳染病就不會(huì)蔓延。
　　即使S＞，從式子（6.2-3）、式子（6.2-4）可以看出，σ減小時(shí)，S增加，I降低，也控制了蔓延的程度。
　　從另一方面看，σS=λS·是傳染期內(nèi)的一個(gè)病人傳染的健康者的平均數(shù)，稱(chēng)為交換數(shù)，其含義是一個(gè)病人被σS個(gè)健康者交換。所以當(dāng)S≤，即σS≤1時(shí)，必有σS≤1。既然交換數(shù)不超過(guò)1，病人比例I（t）也絕不會(huì)增加，傳染病不會(huì)蔓延。
　　7.模型的結(jié)果分析
　　由以上所建立的模型分析甲型H1N1流感疫情的結(jié)果可知，預(yù)計(jì)疫情在2009年5月11日后的180天至230天達(dá)到峰值，即11、12月份疫情將達(dá)到最高峰，這和我國(guó)疫情的實(shí)際情況非常吻合；在450天后即約2010年8月基本消除，這與世界衛(wèi)生組織宣布甲型H1N1流感大流行已經(jīng)結(jié)束的時(shí)間相符，但事實(shí)上我國(guó)到2010年6月疫情就基本消除了?？梢?jiàn)，我國(guó)衛(wèi)生部針對(duì)甲型H1N1流感疫情的防控策略，特別是自2009年9月21號(hào)開(kāi)始全國(guó)范圍內(nèi)接種甲型H1N1流感疫苗，這些措施對(duì)疫情的控制起到了積極的作用。
　　由以上分析可知，要想控制傳染病的蔓延，有兩條途徑。
　?。?）提高，即要對(duì)病人進(jìn)行隔離，減少病人與健康者的接觸，加強(qiáng)健康教育，正確引導(dǎo)輿論，廣泛開(kāi)展愛(ài)國(guó)衛(wèi)生運(yùn)動(dòng)，大力普及流感防控知識(shí)，提高全社會(huì)的防控意識(shí)，人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率越低；提高醫(yī)療水平，對(duì)患者進(jìn)行有效的治療，盡早研發(fā)出有效治療甲型H1N1流感的藥品，提高日治愈率。所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病的蔓延。
　　（2）降低S，可以通過(guò)預(yù)防接種使群體免疫的方法控制傳染病的傳播。忽略患者比例的初始值I，有S=1-R，于是傳染病不會(huì)蔓延的條件S≤可以表示為R≥1-，只要群體免疫使初始時(shí)刻的移出者比例（即免疫者比例）R滿(mǎn)足上式，就可以有效制止傳染病的蔓延。
　　8.模型的評(píng)價(jià)和改進(jìn)
　　該模型是以微分方程為基礎(chǔ)，根據(jù)甲型H1N1流感傳播的特點(diǎn)而建立的。模型簡(jiǎn)單易懂，對(duì)甲型H1N1流感疫情的傳播時(shí)間和程度做出了預(yù)測(cè)。本文通過(guò)對(duì)收集到的數(shù)據(jù)的處理，得到了甲型H1N1流感傳播的平均日感染率λ和平均日治愈率μ，它們是2009年6月16日到2009年7月7日這一段時(shí)間的日感染率和日治愈率的平均值。但事實(shí)上λ和μ是隨時(shí)間變化的，可以通過(guò)對(duì)不同時(shí)刻日感染率和日治愈率進(jìn)行曲線(xiàn)擬合，得到它們關(guān)于時(shí)間的函數(shù)λ（t）和μ（t），這樣就可以隨時(shí)間適當(dāng)?shù)恼{(diào)整λ和μ的值。此外雖然我們國(guó)家因甲型H1N1流感而死亡的人數(shù)不多，但如果在建立模型時(shí)能夠把因病死亡率也考慮進(jìn)去，則我們可以根據(jù)模型的結(jié)論更好地預(yù)測(cè)甲型H1N1流感傳播高峰期的到來(lái)和甲型H1N1流感疫情的傳播時(shí)間。
　　
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　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請(qǐng)以PDF格式閱讀”