摘要：?jiǎn)栴}表征是解題過(guò)程的起點(diǎn)，能否把數(shù)學(xué)問(wèn)題的表征完善，決定著學(xué)生的解題能力. 本文從學(xué)生知識(shí)的存貯、認(rèn)知的心理機(jī)制、思維能力等因素入手，討論在解題的過(guò)程中如何進(jìn)行思維模式的拓展、知識(shí)的遷移和重組、數(shù)學(xué)表征系統(tǒng)重新構(gòu)建，從而完善學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題表征系統(tǒng)，提高解題能力.
　　關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}；表征；解題；起點(diǎn)
　　
　　在任何解題活動(dòng)中，問(wèn)題在人們頭腦中的呈現(xiàn)形式是解題的開(kāi)端，美國(guó)著名的認(rèn)知心理學(xué)家和人工智能的創(chuàng)始人Herert A.Simon曾說(shuō)：“表征是問(wèn)題解決的一個(gè)中心環(huán)節(jié)，它說(shuō)明問(wèn)題在頭腦里是如何呈現(xiàn)的，如何表現(xiàn)出來(lái)的.” 問(wèn)題表征是指解題者通過(guò)審題，認(rèn)識(shí)和了解課題的結(jié)構(gòu)；通過(guò)聯(lián)想，激活頭腦中與之相關(guān)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，從而形成對(duì)所要解決的問(wèn)題的一種完整的印象. 按照波利亞的《怎樣解題表》中解題的思維過(guò)程，首先是弄清問(wèn)題，即了解未知數(shù)是什么；已知數(shù)據(jù)是什么；條件是什么；滿足條件是否可能；要確定未知數(shù)，條件是否充分；或者它是否不充分；或者是多余的；或者是矛盾的；它實(shí)際上是引導(dǎo)解題者如何形成問(wèn)題的表征. 所以，問(wèn)題表征是解題過(guò)程的起點(diǎn)，發(fā)揮著至關(guān)重要的作用. 我們有必要研究解題者在解題的起點(diǎn)時(shí)的問(wèn)題表征，才能更好地指導(dǎo)學(xué)生的解題思維，為進(jìn)一步解題提供明確的方向.
　　下面是高三復(fù)習(xí)考試中的一題，我們從學(xué)生的解法中理解其在解題活動(dòng)中的心理機(jī)制.
　　例1 已知點(diǎn)B是直線l：x=-8（y≠0）上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F（-2，0），A是BF上一點(diǎn)，且■＝■，過(guò)B與y軸垂直的直線交過(guò)點(diǎn)A的直線于點(diǎn)M，且直線MA是∠BMF的角平分線，求點(diǎn)M的軌跡方程.
　　分析一設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（-8，b）（b≠0），M（x0，y0），由■＝■，得A-4，■，獲得直線BM與MF的方程，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，A點(diǎn)到直線BM與直線MF的距離相等，建立等式，化簡(jiǎn)即可.
　　簡(jiǎn)評(píng)一解題主體在理解題意后運(yùn)用了思維的內(nèi)部材料，即已有的解題知識(shí)和習(xí)慣對(duì)問(wèn)題形成了引入?yún)?shù)和利用直線的方程的思路，在內(nèi)部環(huán)境與外部環(huán)境結(jié)合后，初步做出評(píng)價(jià)，利用角平分線的性質(zhì)得到各種關(guān)聯(lián)的表征，從而獲得了解題思路.
　　分析二在上述解法中，學(xué)生會(huì)感到運(yùn)算過(guò)程煩瑣，于是進(jìn)一步分析角平分線的另一個(gè)性質(zhì)，即■=■=■，聯(lián)想到圓錐曲線的第二定義，得出M的軌跡方程為橢圓，進(jìn)一步設(shè)橢圓方程為■+■=1（a>b>0），F(xiàn)為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線，從而求出軌跡方程為■+■=1（y≠0）.
　　簡(jiǎn)評(píng)二解題主體思維再次發(fā)展，根據(jù)自己的解題經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其比例關(guān)系與圓錐曲線的第二定義有著相似性，從而對(duì)思維方向進(jìn)行了反饋與調(diào)整，獲得了M的軌跡符合第二定義表述的結(jié)論，從而確定M的軌跡方程為橢圓的新的問(wèn)題表征，為進(jìn)一步打開(kāi)思路、尋求更簡(jiǎn)捷的方法提供了方向.
　　分析三從分析二中獲得■=■=■，設(shè)M（x，y），所以■=■，化簡(jiǎn)即得.
　　簡(jiǎn)評(píng)三解題主體在分析二的問(wèn)題表征基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)獲得方程存在一定難度，聯(lián)想到第二定義的探求過(guò)程，從而獲得更為簡(jiǎn)潔與通用的解法.
　　由上述問(wèn)題的分析可知，解題主體通過(guò)聯(lián)想，回憶頭腦中已有的數(shù)學(xué)知識(shí)以及題目給出的數(shù)學(xué)關(guān)系信息，尋求解決問(wèn)題的方向，其中主體在頭腦中形成的對(duì)問(wèn)題的印象決定了問(wèn)題解決的方向與層次，所以問(wèn)題的表征在解決問(wèn)題中發(fā)揮指導(dǎo)性的作用.
　　下面我們分析影響問(wèn)題表征的各種因素，理解學(xué)生的解題過(guò)程中最初心理機(jī)制，從而指導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中提高解題的能力.
　　
　　■知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的儲(chǔ)存
　　從上述例題的探討中可以看到，解題者需要理解當(dāng)前的問(wèn)題情境，充分激活原有的與此相關(guān)的背景知識(shí)，引發(fā)當(dāng)前問(wèn)題的要素與原有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)之間充分地相互作用，將當(dāng)前的問(wèn)題映射到原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，建立適當(dāng)?shù)谋碚?，進(jìn)而通過(guò)分析、綜合和推理去解決問(wèn)題. 所以，主體已儲(chǔ)存的數(shù)學(xué)知識(shí)信息與解題經(jīng)驗(yàn)越豐富、越清晰，其解題思路越開(kāi)闊，思維能力越強(qiáng)，問(wèn)題表征的形成就越清晰、越合理.
　　知識(shí)的儲(chǔ)存與經(jīng)驗(yàn)的形成需要重視解題的反思. 通過(guò)反思，引導(dǎo)學(xué)生回顧整個(gè)思維過(guò)程，回顧問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征及其解決過(guò)程，再現(xiàn)、抽象出其中的意義、要點(diǎn)，從過(guò)程中概括出原理性知識(shí)，使各種意義明確化. 檢查得失，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)原理、通性通法的認(rèn)識(shí)；通過(guò)系統(tǒng)化，使新知識(shí)與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識(shí)建立橫向聯(lián)系，并概括出帶有普遍性的規(guī)律，從而推動(dòng)同化、順應(yīng)的深入.
　　
　　■數(shù)學(xué)問(wèn)題表征系統(tǒng)的完善
　　中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程的表征系統(tǒng)主要包含代數(shù)表征系統(tǒng)、幾何表征系統(tǒng)、言語(yǔ)表征系統(tǒng)、表象表征系統(tǒng)等等. 代數(shù)表征系統(tǒng)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本和最重要的數(shù)學(xué)表征系統(tǒng)，它具有高度抽象性與概括性，這種表征系統(tǒng)需要在教學(xué)活動(dòng)中通過(guò)對(duì)代數(shù)知識(shí)與技能不斷地歸納、總結(jié)、概括和抽象才能形成. 幾何表征系統(tǒng)是借助代數(shù)表征系統(tǒng)，結(jié)合幾何特點(diǎn)而形成的，它具有直觀、具體、形象、便于思考等特點(diǎn)，它和代數(shù)表征系統(tǒng)是中學(xué)數(shù)學(xué)的兩大主要的表征系統(tǒng). 言語(yǔ)表征系統(tǒng)在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中其抽象性與概括性介于代數(shù)表征系統(tǒng)與幾何表征系統(tǒng)之間，一般均能將數(shù)學(xué)問(wèn)題的言語(yǔ)表征轉(zhuǎn)化為代數(shù)表征或幾何表征，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)化.表象表征系統(tǒng)比幾何更直觀、更形象，但其抽象性與概括性相對(duì)而言就顯得更弱些. 只了解數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程的表征系統(tǒng)是不夠的，還需要將其和其他一些表征系統(tǒng)（如數(shù)形結(jié)合、一題多解等）有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，進(jìn)一步對(duì)解題者所學(xué)的多種數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行不斷地抽象和概括，才能形成完整的數(shù)學(xué)問(wèn)題表征系統(tǒng).
　　數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能是建立起完善的數(shù)學(xué)問(wèn)題表征系統(tǒng)的基礎(chǔ). 教師應(yīng)不失時(shí)機(jī)對(duì)代數(shù)與幾何及其他一些數(shù)學(xué)知識(shí)與技能進(jìn)行歸納和綜合、抽象和概括，幫助學(xué)生把握知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)不斷的歸納和概括形成完整的知識(shí)與技能體系. 學(xué)生所掌握的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的完整性，直接關(guān)系到學(xué)生表征系統(tǒng)的形成與解題能力的發(fā)展.
　　
　　■思維模式的認(rèn)識(shí)
　　“數(shù)學(xué)是對(duì)模式的研究”（懷特語(yǔ)），整個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是由各種層次的大大小小的各種模式所組成的模式系統(tǒng). 在解題過(guò)程中，主體對(duì)問(wèn)題形成一定印象后，搜索原有的知識(shí)系統(tǒng)，尋找與解決問(wèn)題相似的模式，進(jìn)行類比，為解決問(wèn)題提供方向. 在實(shí)際的解題中，主體往往由于對(duì)原有模式的感覺(jué)模糊，從而容易形成錯(cuò)誤的問(wèn)題表征，使問(wèn)題無(wú)法得以順利解決.
　　“如果你希望從自己的努力中取得最大的收獲，就要從已經(jīng)解決的問(wèn)題中找出那些對(duì)處理將來(lái)的問(wèn)題可能有用的特征，如果一種解題方法是你通過(guò)自己努力而掌握的，或者是你從別處學(xué)來(lái)或聽(tīng)來(lái)并真正理解了的，那么這種解法就可以成為你的一種模式，即在解類似問(wèn)題時(shí)可用作模仿的一種模式”，波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中對(duì)模式識(shí)別的形成作出通俗而精辟的闡述.數(shù)學(xué)思維模式是識(shí)別數(shù)學(xué)知識(shí)模式的有效途徑.數(shù)學(xué)思維模式，是主體對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)內(nèi)容的思維程序和方式. 數(shù)學(xué)思維模式的形成來(lái)源于主體已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程和思維模式的運(yùn)用過(guò)程中不斷得到豐富和發(fā)展.
　　所以，教師在教學(xué)中應(yīng)從典型的問(wèn)題出發(fā)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中逐步抽象出一般的方法，然后再概括上升為更一般的模式，從而得到數(shù)學(xué)思維模式，它們是解題思維過(guò)程的一般思路的程序化的概括.
　　
　　■知識(shí)遷移與概括
　　解題主體僅完成知識(shí)的儲(chǔ)存、模式的積累只能形成比較粗糙、模糊的問(wèn)題表征，而需要形成完善、清晰的問(wèn)題則需要主動(dòng)地生成和建立與此有關(guān)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，包括有關(guān)的概念、原理、類似的問(wèn)題圖式以及其他背景性經(jīng)驗(yàn)等，將所涉及的各種意義、要點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，并將它們與作為其基礎(chǔ)的原理聯(lián)系起來(lái)，與相關(guān)的背景經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來(lái)，與探索中的各種事實(shí)資料聯(lián)系起來(lái)，積極地進(jìn)行推理和判斷，進(jìn)行嚴(yán)密、有序的推理，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu). 而且，這種聯(lián)系不只是針對(duì)問(wèn)題的表面特征，更主要的是針對(duì)問(wèn)題中的深層關(guān)系和結(jié)構(gòu)，即對(duì)原有知識(shí)進(jìn)行遷移，對(duì)獲得的信息進(jìn)行概括，這樣才能成功地解決問(wèn)題.
　　所以，教師在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在解題后思索，將思維結(jié)果進(jìn)行推廣、引申與應(yīng)用，即實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，并不斷完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)與問(wèn)題形式表述的相似及相互之間的內(nèi)在聯(lián)系，并設(shè)法利用這種相似性與聯(lián)系去解決其他問(wèn)題.
　　
　　■思維方法策略
　　解題的思維過(guò)程是探索解題方法和途徑的積極嘗試發(fā)現(xiàn)過(guò)程，當(dāng)主體面對(duì)問(wèn)題時(shí)，總是通過(guò)觀察弄清問(wèn)題，抓住題目的特征進(jìn)行廣泛的聯(lián)想，檢索信息和回憶儲(chǔ)存的信息，選擇總體思路或入手的方向、原則. 在其思維過(guò)程中，合理的思維策略是形成問(wèn)題的表征引路人，特別是在解題過(guò)程中沒(méi)有獲得直接明顯的方法僵局時(shí)，主體靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和思維的方法、策略、模式，針對(duì)具體問(wèn)題的條件和結(jié)論的特征進(jìn)行探索、分析，形成問(wèn)題表征，才能發(fā)現(xiàn)解題途徑.
　　所以，在教學(xué)中教師引導(dǎo)學(xué)生尋求客觀事物的數(shù)學(xué)關(guān)系和結(jié)構(gòu)的樣式，從已解決的問(wèn)題中概括出思維方法、策略去處理類似問(wèn)題，構(gòu)成相似系列，即各種概念、命題與方法的相似鏈，進(jìn)而完善思維方法、策略.
　　
　　■重構(gòu)問(wèn)題表征
　　在整個(gè)解題過(guò)程中思路受阻，主體應(yīng)調(diào)整思維的方向，變換角度進(jìn)行分析思考，其心理機(jī)制表現(xiàn)為重構(gòu)問(wèn)題表征，反映思維的靈活性. 所以，在解題活動(dòng)中，特別是在解題受阻或?qū)で蟾鼮楹?jiǎn)捷的方法時(shí)，主體需要消除問(wèn)題的初始表征的影響，重構(gòu)問(wèn)題表征，探索新的解題方向或方法.
　　教師在教學(xué)中應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，從不同角度分析問(wèn)題，進(jìn)行一題多解、多題一解訓(xùn)練、變式訓(xùn)練等，掌握類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化等重構(gòu)問(wèn)題表征的方法，達(dá)到對(duì)知識(shí)認(rèn)識(shí)的全面性的目的，使學(xué)生的思維變得更為廣闊，形成更為廣泛的問(wèn)題表征.
　　問(wèn)題表征是問(wèn)題解決的第一步，解題者在形成了問(wèn)題表征后，雖然不一定能迅速尋求到問(wèn)題的解法，但它就像指南針一樣，為解題者進(jìn)一步發(fā)展定好了基調(diào)，提供了各種可能.