摘要：在研讀《數(shù)學(xué)通訊》上的《等差、等比數(shù)列的一條統(tǒng)一性質(zhì)》后，根據(jù)教學(xué)過程中等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)這個性質(zhì)可以進(jìn)行再次探討，本文對此進(jìn)行研究，整理得到5個結(jié)論.
　　關(guān)鍵詞：等差數(shù)列；等比數(shù)列；性質(zhì)
　　
　　《數(shù)學(xué)通訊》上的《等差、等比數(shù)列的一條統(tǒng)一性質(zhì)》一文中有如下結(jié)論：
　　定理 若正項(xiàng)等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則當(dāng)m+n=2p（m，n，p∈N*）時，SmSn≤S■.
　　筆者在研讀時發(fā)現(xiàn)這條性質(zhì)與等差、等比數(shù)列的等差、等比中項(xiàng)性質(zhì)有一些類似，教材中，等差數(shù)列、等比數(shù)列有一個m+n=s+t的性質(zhì)，筆者對此進(jìn)行了進(jìn)一步的研究，發(fā)現(xiàn)了一般性結(jié)論，現(xiàn)敘述如下：
　　結(jié)論1 ?搖在正項(xiàng)等差數(shù)列或等比數(shù)列｛an｝中，當(dāng)m+n=s+t，m　　證明：設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+（n-1）d（a1>0，d為公差，且d≥0）. 因?yàn)閙+n=s+t，m　　綜上所述，anam≤asat.
　　結(jié)論2?搖 正項(xiàng)等差數(shù)列或等比數(shù)列｛an｝中，當(dāng)m+n=s+t，m　　證明：設(shè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1（q>0，a1>0）. 因?yàn)閙+n=s+t，m1時，amf（as），即an+am>as+at. 同理可證，當(dāng)0as+at. 當(dāng)q=1時，an+am=as+at.
　　由等差數(shù)列性質(zhì)知，an+am=as+at.
　　綜上所述，an+an≥as+at.
　　結(jié)論3 若正項(xiàng)等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則當(dāng)m+n=s+t，m　　證明：（1）當(dāng)數(shù)列｛an｝為正項(xiàng)等差數(shù)列時，SmSn=■·■=■，
　　SsSt=■.
　　由結(jié)論1知anam≤asat.，又mn　?。?）當(dāng)數(shù)列｛an｝為正項(xiàng)等比數(shù)列時，設(shè)公比為q>0且q≠1，a1>0，
　　SmSn=■·■=■，
　　SsSt=■·■=■.
　　由結(jié)論2知－a1q（am+an）≤－a1q（as+at），又anam=asat，故SmSn≤SsSt.
　　當(dāng)公比q=1時，SmSn=mna■≤sta■=SsSt.
　　綜上所述，SmSn≤SsSt.
　　結(jié)論4若正項(xiàng)等差數(shù)列或等比數(shù)列（公比大于等于1）的前n項(xiàng)和為Sn，則當(dāng)m+n=s+t，m　　證明：（1） 當(dāng)數(shù)列｛an｝為正項(xiàng)等差數(shù)列時，Sm+Sn=ma1+■d+na1+■·d=（m+n）a1+■d，Ss+St=（s+t）a1+■d. 由結(jié)論1，2知m2+n2=（m+n）2－2mn≥（m+n）2－2st=（s+t）2－2st=s2+t2，故Sm+Sn≥St+St. （2）當(dāng)數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列時，設(shè)公比為q>1，a1>0. Sm+Sn=■+■=■，Ss+St=■+■=■. 由結(jié)論2知，－q（am+an）≤－q（as+at），1－q<0， 故Sm+Sn≥Ss+St. 當(dāng)公比q=1時，Sm+Sn=（m+n）a1=（s+t）a1=Ss+St. 綜上所述，Sm+Sn≥Ss+St.
　　結(jié)論5若正項(xiàng)等比數(shù)列（公比為正數(shù)且小于等于1）的前n項(xiàng)和為Sn，則當(dāng)m+n=s+t，m　　簡證：當(dāng)數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列時，設(shè)公比為q<1，a1>0. 由結(jié)論4的（2）證明知，－q（am+an）≤－q（as+at），1－q>0，故Sm+Sn≤Ss+St. 當(dāng)公比q=1時，Sm+Sn=（m+n）a1=（s+t）a1=Ss+St.
　　綜上所述，Sm+Sn≤Ss+St.