摘要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“數(shù)系的擴(kuò)充”是一個(gè)很好的滲透數(shù)學(xué)史的素材.本教學(xué)設(shè)計(jì)從數(shù)的概念發(fā)展的動(dòng)力入手，通過閱讀材料的方式創(chuàng)設(shè)情境，適時(shí)滲透數(shù)的發(fā)展史，開闊學(xué)生的視野，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
　　關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史；閱讀；引導(dǎo)；提煉；探究
　　
　　■教材分析?搖
　　數(shù)的概念發(fā)展的動(dòng)力來自于兩方面，一方面是生產(chǎn)、生活的需要，另一方面是數(shù)學(xué)知識(shí)本身發(fā)展和研究的需要. 數(shù)系擴(kuò)充的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的客觀需求. 通過學(xué)習(xí)，學(xué)生在問題情境中了解數(shù)系擴(kuò)充的過程以及引入虛數(shù)的必要性，體會(huì)人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的最后一次擴(kuò)充. 學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的一些基本知識(shí)，為學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和幾何意義做好知識(shí)儲(chǔ)備.
　　
　　■教學(xué)目標(biāo)?搖
　　1. 理解復(fù)數(shù)的基本概念與復(fù)數(shù)相等的充要條件.
　　2. 經(jīng)歷數(shù)的概念的發(fā)展和數(shù)系擴(kuò)充的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，以及數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的客觀需要.
　　3. 虛數(shù)單位i的引入，產(chǎn)生了復(fù)數(shù)集，讓學(xué)生體驗(yàn)在這個(gè)過程中蘊(yùn)涵的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，滲透必要的數(shù)學(xué)史；讓學(xué)生在問題生成和解決的過程中體驗(yàn)類比、化歸等思想方法，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí).
　　
　　■教學(xué)重點(diǎn)?搖
　　數(shù)的概念的發(fā)展和數(shù)系擴(kuò)充的過程，復(fù)數(shù)的有關(guān)概念.
　　
　　■教學(xué)難點(diǎn)
　　虛數(shù)單位i的引進(jìn).
　　
　　■教學(xué)方法?搖
　　閱讀·引導(dǎo)·提煉·探究.
　　
　　■教學(xué)過程
　　一、自主閱讀 提出問題
　　【閱讀材料1】
　　我們把一個(gè)數(shù)集連同相應(yīng)的運(yùn)算及結(jié)構(gòu)叫做一個(gè)數(shù)系. 在人類數(shù)的發(fā)展過程中，數(shù)集從自然數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集大致經(jīng)歷了以下過程（見圖1）.
　　問題1： 閱讀以上材料，結(jié)合社會(huì)生活發(fā)展的需要思考數(shù)系的擴(kuò)充過程，并在空格內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)集.
　　【閱讀材料2】
　　16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹（G.Cardano，1501-1576）在討論問題“將10分成兩部分，使兩者的乘積等于40”時(shí)，認(rèn)為把答案寫成“5+■和“5-■”就可以滿足要求：
　?。?+■）-（5-■）=5+5=10，
　　（5+■）·（5-■）=5×5-■×■=25-（-15）=40.
　　問題2：卡爾丹的解釋在實(shí)數(shù)集范圍內(nèi)能成立嗎？為什么？
　　設(shè)計(jì)意圖說明：在閱讀以上材料的基礎(chǔ)上，師生合作解決相關(guān)問題，學(xué)生對(duì)數(shù)系的擴(kuò)充過程便有了一種整體性認(rèn)識(shí)，并自然地猜想到數(shù)系結(jié)合新的認(rèn)知沖突的出現(xiàn)會(huì)進(jìn)一步擴(kuò)充.以閱讀材料的形式創(chuàng)設(shè)問題情境，一方面著力培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣，提高學(xué)生的閱讀能力，另一方面也潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生歸納概括、自主發(fā)現(xiàn)的意識(shí).
　　二、引導(dǎo)交流 數(shù)學(xué)活動(dòng)
　　活動(dòng)1：從數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要來看，每一次認(rèn)知沖突的出現(xiàn)就帶來了一次新的數(shù)系擴(kuò)充. 你能結(jié)合數(shù)系的擴(kuò)充過程總結(jié)數(shù)系的擴(kuò)充需要遵循哪些原則嗎？
　　活動(dòng)2：在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，是否還存在與閱讀材料1相類似的認(rèn)知沖突呢？
　　活動(dòng)3：為了使數(shù)學(xué)家卡爾丹的解釋變得合理，你認(rèn)為需要引入具有怎樣特征的數(shù)？
　　設(shè)計(jì)意圖說明：通過學(xué)生積極主動(dòng)的議論及教師的相機(jī)點(diǎn)撥，讓學(xué)生對(duì)數(shù)系擴(kuò)充的原則有清晰的認(rèn)識(shí)，并積極地尋求解決閱讀材料2的方法，為虛數(shù)單位的引入做好鋪墊.
　　三、自主提煉 數(shù)學(xué)建構(gòu)
　?。ㄒ唬?shù)系的擴(kuò)充過程
　　■
　　圖2
　　設(shè)計(jì)意圖說明：以閱讀材料為載體，在問題串的引領(lǐng)下，在師生充分的交流中，讓學(xué)生自然地、自主地實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)系向復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充，這是本節(jié)課的重點(diǎn)之一.
　?。ǘ?fù)數(shù)的有關(guān)概念
　　1. 虛數(shù)單位的引入：
　　規(guī)定：（1）i2=-1；
　?。?）實(shí)數(shù)可以與i進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加法、乘法運(yùn)算律仍然成立.
　　2. 復(fù)數(shù)的定義
　　形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，通常用字母z表示，其中a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部.
　　全體復(fù)數(shù)組成的集合叫做復(fù)數(shù)集，通常用C表示，即C=｛a+bia，b∈R｝.
　　3. 復(fù)數(shù)的分類
　　復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R），若b=0，則z為實(shí)數(shù)，若b≠0，則z為虛數(shù).
　　特別地，當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，稱為純虛數(shù).
　　（三）復(fù)數(shù)相等的充要條件
　　如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部分別相等，則稱兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，即a+bi=c+di?圳a=c且b=d（a，b，c，d∈R）.
　　設(shè)計(jì)意圖說明：通過數(shù)系擴(kuò)充過程的介紹，自然地引出虛數(shù)單位i，并順勢(shì)介紹復(fù)數(shù)的定義，再根據(jù)復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）中，a，b的取值對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，研究復(fù)數(shù)相等的充要條件.
　　四、實(shí)踐探究數(shù)學(xué)運(yùn)用
　　1. 初步運(yùn)用
　　例1指出下列復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部：
　?。?）4；?搖 （2）2-3i；?搖?搖（3）5i+■；?搖 （4）-6i； （5）0； （6）■i2.?搖
　　例2當(dāng)實(shí)數(shù)m分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m（m-1）+（m-1）i是：
　?。?）實(shí)數(shù)？ （2）虛數(shù)？ （3）純虛數(shù)？（4）6+2i？
　　例3已知復(fù)數(shù)z1=（x+y）+（x－2y）i，復(fù)數(shù)z2=（2x－5）+（3x+y）i，若z1=z2，求實(shí)數(shù)x，y的值.
　　設(shè)計(jì)意圖說明：例1的設(shè)置是為了鞏固復(fù)數(shù)的相關(guān)概念. 例2的設(shè)置是為了進(jìn)一步理解什么是實(shí)數(shù)，什么是虛數(shù)，什么是純虛數(shù)（特別要講清楚當(dāng)a=0且b≠0時(shí)才是純虛數(shù)）. 其中由第（4）問自然過渡到復(fù)數(shù)相等的概念. 例3的設(shè)置是為了引出兩復(fù)數(shù)相等的充要條件，同時(shí)進(jìn)一步鞏固復(fù)數(shù)的概念. 這個(gè)充要條件把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題，體現(xiàn)了化歸的思想方法.
　　2. 變式演練
　　練習(xí)：設(shè)z1=（m2-2m-3）+（m2-4m+3）i，z2=5+3i，當(dāng)m取何實(shí)數(shù)時(shí)， （1）z1=0；（2）z1≠z2.
　　設(shè)計(jì)意圖說明：學(xué)什么就練什么. 一方面學(xué)生鞏固剛學(xué)的知識(shí)，減輕他們的負(fù)擔(dān)；另一方面增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和信心.
　　3. 深入探究
　　下列結(jié)論從實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集是否仍然成立？
　?、?搖若a∈R，則a2≥0. 若z∈C，則z2≥0.
　?、谌鬭，b∈R，a2+b2=0，則a=b=0.
　　若z1，z2∈C，z■+z■=0，則z1=z2=0.
　?、?搖實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示.
　　復(fù)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示.
　　設(shè)計(jì)意圖說明：閱讀材料揭示了從實(shí)數(shù)擴(kuò)充到復(fù)數(shù)的過程，此處回到本節(jié)課的起點(diǎn)，進(jìn)一步說明了實(shí)數(shù)集擴(kuò)充成復(fù)數(shù)集后，解決了認(rèn)知上的沖突，證實(shí)了擴(kuò)充的合理性，并為下一節(jié)課研究復(fù)數(shù)的運(yùn)算埋下了伏筆.
　　五、回顧反思 總結(jié)提升
　　（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)：
　　■
　?。?）探究途徑：閱讀、類比、猜想、化歸.
　　（3）探究拓展：
　　你能在今天所學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義嗎？
　　設(shè)計(jì)意圖說明：從知識(shí)和方法兩個(gè)角度進(jìn)行總結(jié)，幫助學(xué)生進(jìn)一步建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)，提煉探究方法，其提出的新探究問題，將探究活動(dòng)延伸到課外.
　　六、課后作業(yè)
　　1. 必做題：
　　課本105頁習(xí)題3.1第1、2、3、4題.
　　2. 選做題：
　　利用網(wǎng)絡(luò)等資源了解數(shù)學(xué)史上的“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”.
　　設(shè)計(jì)意圖說明：適當(dāng)訓(xùn)練幫助學(xué)生及時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí)，同時(shí)讓學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)等資源了解數(shù)學(xué)史上的“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”，開闊學(xué)生的視野，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，并進(jìn)一步滲透數(shù)學(xué)史.