摘要：數(shù)學(xué)家喬治·波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題． 他認(rèn)為，解題過程就是一個(gè)運(yùn)用探索法誘發(fā)學(xué)生靈感的過程． 師生在實(shí)際解題過程中，難免會(huì)遇到挫折，陷入解題“困境”． 那么如何排除解題中遇到的思維障礙，走出解題探究困境，成功解題呢？我們在長期的教學(xué)實(shí)踐中感覺到，利用波利亞的“怎樣解題表”，可以有效幫助學(xué)生走出解題探究的困境，提高探究能力．
　　關(guān)鍵詞：解題；解題表；探究；解題困境
　　
　　數(shù)學(xué)家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題． 他認(rèn)為，解題過程就是一個(gè)運(yùn)用探索法誘發(fā)學(xué)生靈感的過程．波利亞一生致力于解題思維過程的研究，最終他集數(shù)十年的教學(xué)與科研經(jīng)驗(yàn)寫成《怎樣解題》一書，其核心是一張“怎樣解題表”，它包括4個(gè)步驟：弄清問題；擬定計(jì)劃；實(shí)施計(jì)劃；回顧．
　　事實(shí)上，從教育心理學(xué)角度看，“怎樣解題表”也的確是十分可取的，教師利用這張表可對學(xué)生進(jìn)行有效的指導(dǎo)，發(fā)展學(xué)生獨(dú)立思考的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和進(jìn)行創(chuàng)造性活動(dòng)的能力． 然而，師生在實(shí)際解題過程中，難免會(huì)陷入“困境”．那么如何排除解題中遇到的思維障礙，走出解題困境呢？我們在長期的教學(xué)實(shí)踐中感覺到，利用波利亞的“怎樣解題表”，可以有效幫助學(xué)生走出解題探究的困境，提高探究能力．
　　
　　■弄清問題階段：誘發(fā)念頭，探究解題思路
　　解決數(shù)學(xué)問題，學(xué)生往往苦于沒有思路． 波利亞曾說：“弄清問題是為好念頭的出現(xiàn)做準(zhǔn)備”，這里的“弄清問題”就是認(rèn)識(shí)問題，并對問題進(jìn)行表征的過程，它是成功解決問題的一個(gè)必要前提． 研究發(fā)現(xiàn)，在解題過程中教師直接傳授給學(xué)生的思路，他們往往容易忘掉，在碰到具體問題后仍是不知所措． 因此我們必須讓學(xué)生學(xué)會(huì)自己弄清問題，探究解題思路．
　　例１ ?搖已知橢圓C：■+■=1和直線l：y=4x+m，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，使對于直線l，橢圓C上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對稱．
　　在傳統(tǒng)解題教學(xué)模式下，教師往往是先分析思路，再板書解題過程，學(xué)生往往容易養(yǎng)成思維惰性． 我們在此階段變教為誘，以誘啟思，誘導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究．
　　啟發(fā)學(xué)生思考：
　?。?）已知橢圓和直線方程，能否畫出它們的圖形？（可以）
　　（2）未知是什么？?搖圖象上兩點(diǎn)及其坐標(biāo)均沒有給出，可以設(shè)出來嗎？一定要設(shè)出來嗎？（可以設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），但未必一定要設(shè)出坐標(biāo)來才能夠解題）
　　（3）題目要求干什么？解決它的關(guān)鍵是什么？
　?。ㄇ笾本€方程中參數(shù)m的取值范圍，即建立含m的不等式）
　?。?）有哪些條件可供使用？可否數(shù)學(xué)化？
　　（①P，Q在橢圓上；②P，Q的中點(diǎn)既在直線PQ上又在直線l上；③PQ⊥l）
　　思路1：利用判別式和韋達(dá)定理
　　設(shè)所求的取值范圍為M，依兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱的定義，可知m∈M，等價(jià)于有y=－■+n（n∈R，是待定常數(shù)），使得這直線與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P，Q，且線段PQ的中點(diǎn)落在直線y=4x+m上．
　　由方程組■+■=1，①y=－■+n，②?搖②代入①，得13x2－8nx+16n2－48=0．?搖 ③
　　方程③的兩根為x1，x2，且P（x1，y1），Q（x2，y2）是不同的兩點(diǎn)，x1≠x1，故方程③的判別式（8n）2－4×13（16n2－48）>0， ④
　　解得－■　　由方程③，根據(jù)韋達(dá)定理，得x1+x2=■，從而y1+y2=－■（x1+x2）+2n=■，?搖故有■■=4■■?搖+m，
　　所以n=－■m，代入④，得－■　　思路2：利用基本不等式
　　解題中引導(dǎo)學(xué)生利用基本不等式，因?yàn)閤1≠x2，所以x■+x■>■成立． 運(yùn)用已知即可得關(guān)于m的不等式．
　　思路3：利用直線參數(shù)方程
　　設(shè)出經(jīng)過PQ中點(diǎn)的直線（參數(shù)為t）的方程，代入橢圓方程，得到關(guān)于參變量t的二次方程，由P，Q兩點(diǎn)在其中點(diǎn)兩側(cè)且對稱，故t1+t2=0且t1t2<0，由此得到關(guān)于m的不等式．
　　反思：本題還有多種解法，每建立一個(gè)關(guān)于m的不等式都得到一種解法．
　　
　　■擬定計(jì)劃階段：優(yōu)化思路，探究最佳途徑
　　波利亞說“回到定義去”“你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？”由此可見數(shù)學(xué)基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能是解題思路的源泉，離開它們，解題就成了無本之木，無源之水． 審題之后要回顧題目中涉及哪些主要概念，這些概念是如何定義的，在題目的條件和結(jié)論里，與哪些定理、公式、法則有關(guān)，可否直接應(yīng)用，題目所涉及的基本技能、方法是什么等等． 經(jīng)過這樣一番深入思考之后，解題途徑將會(huì)逐步明朗，解題計(jì)劃也就隨之形成．
　　例2 過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，作直線與此拋物線相交于兩點(diǎn)P，Q，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．
　　教師教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生分析：因過焦點(diǎn)的直線在過定點(diǎn)的直線系中除對稱軸外均與拋物線交于兩點(diǎn)，則這些線段均有中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，再用坐標(biāo)代換法，可求出軌跡方程．
　　解：設(shè)直線PQ的中點(diǎn)為M（x，y），因?yàn)镕（1，0），設(shè)直線為y=k（x－1）（k存在），得y=k（x－1），y2=4x，消去x，得ky2－4y－4k=0． 由y1+y2=■及中點(diǎn)坐標(biāo)公式知2y=y1+y2，所以y=■，即k=■，代入y=k（x－1）中，得y2=2x－2為所求的軌跡方程（當(dāng)PQ方程為x=1時(shí)，弦的中點(diǎn)為（1，0），符合這個(gè)方程）．
　　反思：此解法學(xué)生較易想到，符合其思維特點(diǎn)，在化簡時(shí)通過消去變量“x”求解，但若消去“y”，則計(jì)算量便顯著增大． 能不能優(yōu)化上述解題思路呢？
　　優(yōu)化思路１：逆向思維
　　變換視角，設(shè)直線PQ的中點(diǎn)為M（x，y），P（x′，y′），則Q（2x－x′，2y－y′）．
　　因?yàn)镻，Q兩點(diǎn)在拋物線上，所以有y′2=4x′，（2y－y′）2=4（2x－x′），
　　兩式相減得y2－yy′=2x－2x′．
　　因?yàn)榻裹c(diǎn)F（1，0）在該曲線上，所以y2=2x－2?搖為所求的軌跡方程．
　　反思：用中點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段端點(diǎn)上的坐標(biāo)，然后消去開始引進(jìn)的P點(diǎn)坐標(biāo)中的（x′，y′），相當(dāng)于一種逆向思維的解題方法． 學(xué)生在探究最佳方法的過程中，避繁就簡，優(yōu)化思路，使自己的數(shù)學(xué)思維水平和探究能力躍上新臺(tái)階．
　　優(yōu)化思路2：利用斜率相等
　　設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），因?yàn)辄c(diǎn)M（x，y）是PQ的中點(diǎn)，P，Q兩點(diǎn)在拋物線y2=4x上，代入拋物線方程，兩式相減得y■-y■=4（x1-x2），?搖即2y（y1－y2）=4（x1－x2）?搖，
　　當(dāng)x1≠x2時(shí)，2y·■=4，其中■表示直線PQ的斜率． 所以■=kPQ=■，代入上式中，y·■=2，即y2=2x－2為所求的軌跡方程．
　　當(dāng)x1=x2時(shí)，此時(shí)方程為x=1，弦的中點(diǎn)M（1，0）符合上面方程．
　　反思：此法運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線斜率相等，采用設(shè)而不求的方法，減少了運(yùn)算層次，簡化了解題過程．
　　
　　■實(shí)施計(jì)劃階段：變換角度，調(diào)控思維策略
　　在解題時(shí)，常見到一些學(xué)生還沒有分析清楚，就進(jìn)入了計(jì)劃實(shí)施階段：一味羅列公式和方程，因而誤入冗雜之途或?qū)е洛e(cuò)解；也有學(xué)生見到陌生題無所適從，使解題陷入困境． 要擺脫困境，必須做到：（1）重新審題，弄清題意，繼續(xù)挖掘隱含條件；（2）尋找各數(shù)學(xué)量之間的聯(lián)系；（3）改變思維角度，開辟新的思路．
　　例3 從圓（x－1）2+y2=1外一點(diǎn)P（2，3）向該圓引切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，求弦AB的長及直線AB的方程．
　　
　　思路分析：從直觀圖形分析入手，由切線求切點(diǎn)，再由兩點(diǎn)間距離公式和兩點(diǎn)式求直線方程．
　　解：由圓心（1，0）到切線的距離等于半徑，求得切線方程為x=2和4x－3y+1=0． 將切線方程代入圓方程，求得切點(diǎn)A■，■，B（2，0）. 再由兩點(diǎn)式，得直線AB的方程為x+3y－2=0.
　　反思：以上是典型的用待定系數(shù)法思想解題，通過解方程組求交點(diǎn)，符合學(xué)生思維習(xí)慣，易被學(xué)生理解和掌握，但運(yùn)算量比較大． 如何改進(jìn)才能使求切點(diǎn)變得更簡捷呢？
　　優(yōu)化思路１：利用幾何性質(zhì)，由兩圓相交求切點(diǎn)
　　設(shè)已知圓的圓心為C，根據(jù)平面幾何性質(zhì)，切點(diǎn)是以PC為直徑的圓與圓C的交點(diǎn)．以PC為直徑的圓方程為（x－2）·（x－1）+y（y－3）=0.
　　聯(lián)立（x－2）（x－1）+y（y－3）=0，?搖①?搖（x－1）2+y2=1，?搖② 兩式相減得x+3y－2=0. ③
　　再把直線方程代入①或②，得切點(diǎn)為A■，■，B（2，0）.
　　再由兩點(diǎn)式可得過切點(diǎn)A，B的直線方程為x+3y－2=0.
　　反思：運(yùn)用平面幾何性質(zhì)，可以有效地減少運(yùn)算層次，簡化解題過程．值得思考的是：欲求過切點(diǎn)的直線方程，是否一定要求出切點(diǎn)的坐標(biāo)呢？
　　優(yōu)化思路2：巧用設(shè)而不求法，直接求過切點(diǎn)的方程
　　設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），由優(yōu)化1知，切點(diǎn)A，B坐標(biāo)同時(shí)滿足方程①和②，亦滿足方程③，而方程③是含x，y的一次方程，這說明方程③即為過切點(diǎn)A，B的直線方程．
　　反思：優(yōu)美的改進(jìn)，無疑將會(huì)增添學(xué)生解題探究的樂趣，挖掘其新的思維潛能，促其走出探究困境．
　　
　　■回顧反思階段：感悟升華，探究解題成敗
　　解數(shù)學(xué)題絕不能解一題扔一題，這樣無助于解題能力的提高． 解題后的反思是提高解題能力的一個(gè)重要途徑．解題教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生思考：自己能否檢驗(yàn)這個(gè)論證？能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？能不能把這結(jié)果或方法用于其他的問題？促其解題思想得到升華，輕松走出探究困境．
　　例4 在棱長為a的正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別是BC，A′D′的中點(diǎn)．
　?。?）求證：四邊形B′EDF是菱形；
　　（2）求直線A′C與DE所成角的余弦值．
　　分析：對于第1問，學(xué)生往往由B′E=ED=DF=FB′就斷定四邊形B′EDF是菱形． 事實(shí)上，因?yàn)榇嬖谥倪呄嗟鹊目臻g四邊形，所以必須證明B′，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共面．這說明學(xué)生思維陷入了誤區(qū)． 此時(shí)我們要讓學(xué)生學(xué)會(huì)調(diào)控思路，尋找成功解題途徑．
　　感悟1:?搖尋找失敗原因，調(diào)整思維方向
　?。?）如圖2所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=■a. 下證B′，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共面. 取AD中點(diǎn)G，連結(jié)A′G，EG．由EG■AB■A′B′知，四邊形B′EGA′是平行四邊形，所以B′E∥A′G．又A′F ■DG，所以四邊形A′GDF為平行四邊形，所以A′G∥FD，所以B′，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共面，故四邊形B′EDF是菱形．
　　■
　　圖2
　　反思：當(dāng)思維受阻時(shí)，只要及時(shí)調(diào)控思維，就能“柳暗花明”．
　　感悟2：變換策略，另辟蹊徑
　　在解題過程中，若確實(shí)碰到此路不通的情況，此時(shí)改變思維策略，也能獲得走出困境的好方法．
　　策略１：直接法
　?。?）如圖3所示，在平面ABCD內(nèi)，過C作CP∥DE，交直線AD于P，則∠A′CP（或補(bǔ)角）為異面直線A′C與DE所成的角．?搖
　　■
　　圖3
　　在△A′CP中，易得A′C=■a，CP=DE=■a，A′P=■a，由余弦定理得cos∠A′CP=■，故A′C與DE所成角的余弦值為■．
　　策略2：向量法
　　如圖4，建立坐標(biāo)系，則A′（0，0，a），C（a，a，0），D（0，a，0），E（a，■，0），所以■=（a，a，－a），■=a，－■，0，利用向量的數(shù)量積公式，得A′C與DE所成角的余弦值為■．
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　　圖4
　　教學(xué)實(shí)踐表明，教師正確把握數(shù)學(xué)觀和教學(xué)觀，改變落后的解題教學(xué)思想和模式，以波利亞的解題思想為指導(dǎo)，以其解題系統(tǒng)為依據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究，能夠幫助學(xué)生走出解題困境，切實(shí)提高探究能力．